复化辛普森公式应用.docx

在公路中线坐标计算中，我们通常采用切线支距公式来计算曲线上各点的坐标。但当在不同 的曲线上计算时就需用不同的计算公式，这为计算也带来不便。在设有缓和曲线的圆曲线半 径较小或是卵形曲线上的坐标计算时，如公式选用不当就会出现较大计算误差，即便是能对 切线支距公式进行多项展开，也会增加计算的难度。而用复化辛卜生公式不仅能解决不同曲 线线型或直线上的坐标计算问题，而且用复化辛卜生公式计算完全是可逆的(即：可顺前进 方向也可逆向计算)，尤其在计算第二缓和曲线和卵形曲线时显得尤为方便。用辛卜生公式计算坐标的精度可由人为或程序自行判断，其计算结果完全能保证坐标计算的 精度要求。因此，可以说复化辛卜生公式是一个计算公路中线坐标的万能公式。下面本人就 该公式在公路中线坐标计算中的具体应用进行实例解析。一、复化辛卜生公式P=Xa+ | L=L+ Irrlrrl(cosai+4 S cosak- + 2Scosak+cosa)k=oymlrrl(sina+4 Z sinak* + SSsinat+sinaJk=0公式(1)曲 坐标 | lig瓦曲线元起点切线方位角如_曲线元骚等分点处的切线方位角 理二 曲线元昏等分点处的切线方位角 & 曲线元t待求点处切线方位角式中：H=（ZZa）/n八 18°耳=aA + -（pt H-PaX-ZJ Z瓦（公式2）Pi=Pa+无牙（Z <ZA）B A（公式3）Zi 待求点桩号ZA曲线元起点桩号ZB一曲线元终点桩号PA曲线元起点曲率PB一曲线元终点曲率a i曲线上任意一点处切线方位角的计算方法有以下三种方法：1. 利用公式（3）求得曲率代入公式（2）计算2. 利用曲线元上已知起点和终点曲率用内插法求得曲率代入公式（2）计算3. 利用切线角公式计算二、算例例：已知雅（安）攀（枝花）高速公路西昌西宁立交A匝道一卵形曲线（卵形曲线相关参数见图一，其计算略。），相关设计数据见下表。现用辛卜生公式来计算卵形曲线中桩坐标。忌11UZ AKLH-445：图一已知相关设计数据见下表：占坐标切线方位角八、(m)（e）桩号XY° ”ZHAK0+0909987.40310059.37892 17 26.2HY1AK0+1609968.98110125.341132 23 51.6YH1AK0+223.7159910.60310136.791205 24 33.6HY2AK0+271.8819880.43810100.904251 24 18.5YH2AK0+384.0329922.31610007.909337 04 54.2HZAK0+444.0329981.36310000.0000 00 00(一)由+271.881推算Zi=+223.715的坐标，n取2等分用公式(3)、公式(2)计算+247.798处曲线及方位角：P+247798=1?75+(1?50-1?75)(247.798-271.881)H223.715-271.881)=0.01666666666666667a+247798=71°2418.5” +(0.016666667+1；75)(247.798-271.881)x180；n；2=50°4226.37”其它各点依次代入公式计算，结果见下表:曲率及切线方位角计算表桩号n等分点处曲线曲率n等分点 处切线方位角° ”2n等分点处曲线曲率2n等分 点处切线方位角° ”公式(3) 计算内插法 计算公式(3) 计算内插法 计算+271.88 10.013333333=1/7571 2418.5+259.84 00.0150.01561 3752.2+247.7980.0166666670.01666666750 4226.4+235.75 70.0183333330.018333333338 38 0.96+223.71 50.02=1/5025 24 36切线方位角图示1将计算出的数据代入公式(1)求得+223.715中桩坐标如下:X=9880.438+(271.881-223.715)；2；6x(cos71°2418.5”+4(cos61°3752.22”+cos38°380.96”)+2cos50°4226.37”+ cos25°2435.99”)=9910.5975 (设计值：9910.603)Y=10100.904+(223.715-271.881)；2；6x(sin71°2418.5”+4(sin61°3752.22”+sin38°380.96”)+2sin50°4226.37”+ sin25°2435.99”)=10136.7945 (设计值：10136.791)(二)由+223.715推算Zi=+271.881的坐标，n取2等分用公式(3)计算+247.798处曲线及方位角：P+247798T?50+(1?75-1?50)(247.798-223.715)H271.881-223.715)=.01666666666666667a+247798=205 °2433.6”+ (0.016666667+1；50)(247.798-223.715)x180；n；2=230。42'23.98”其它各点依次代入公式计算，结果见下表：曲率及切线方位角计算表桩号n等分点处曲线曲率n等分点 处切线方位角° ”2n等分点处曲线曲率2n等分 点处切线方位角° ”公式(3) 计算内插法 计算公式(3) 计算内插法 计算+223.71 50.02=1/50205 2433.6+235.75 70.0183333330.0183333333218 3758.6+247.7980.0166666660.016666666230 42 24.0+259.84 00.0150.015241 3749.8+271.88 10.013333333=1/75251 2418.5切线方位角图示2X=9910.603+(271.881-223.715)；2；6x(cos205°2433.6”+4(cos218°3758.87”+cos241°3749.83” )+2cos230°4223.98”+ cos251°2416.11”)=9880.4431 (设计值：9880.438)Y=10136.791+(271.881-223.715)；2；6x(sin205°2433.6”+4(sin218°3758.87”+sin241°3749.83”)+2sin230°4223.98”+ sin251°2416.11”)=10100.9008 (设计值：10100.904)由上可知，利用复化辛卜生公式计算路线坐标时可顺向或逆向计算。(三)前面正、反向的计算均是从卵形曲线的部分推算的，现在我们从卵形曲线所在完整缓 和曲线的起点HZ=+368.213点来推算终点+223.715和中间点+271.881.a.=aA-90L2-(nRLs)公式(4)1.计算Zi=+223.715中桩坐标曲线元上等分点曲率及切线方位角计算表(n取4等分)桩号n等分点处 曲线曲率n等分点处 切线方位角 ° ”2n等分点处曲线 曲率2n等分点处 切线方位角 ° ”公式(3)计算内插法计算公式(2) 计算公式(4) 计算公式 计算内插法 计算公式(2) 计算公式 计算+368.2130108 12 02.1+350.1510.00250.0025106 5425.16106 5425.22+332.0890.0050.005103 0134.33103 0134.58+314.0260.00750.007596 3328.8396 3328.64+295.9640.010.0187 30 09.9787 309.97+277.9020.01250.012575 5137.2275 5137.54+259.8400.0150.01561 3750.5861 3751.35+241.7770.01750.017544 4844 4848.2547.8+223.7150.02=1/5025 2433.5825 2433.58切线方位角图示3X=9890.293+(368.213-223.715)；4；6x(cos108°1202.1”+4(cos106°5425.22”+cos96°3328.64”+ cos75°5137.54”+ cos44°4847.8”)+2(cos103°0134.58”+ cos87°309.97” +cos61°3751.35”)+ cos25°2433.58”)=9910.5963 (设计值：9910.603)Y=10006.838+ (368.213-223.715)；4：6x(sin108°1202.1''+4(sin106°5425.22''+sin96°3328.64”+ sin75°5137.54”+ sin44°48'47.8")+2(sin103°01'34.58''+ sin87°30'9.97" +sin61°3751.35”)+ sin25°2433.58”)=10136.7925 (设计值：10136.791)2.计算zi=+271.881中桩坐标曲线元上等分点曲率及切线方位角计算表(n取4等分)桩号n等分点处 曲线曲率n等分点处 切线方位角 ° ”2n等分点处曲 线曲率2n等分点处 切线方位角 ° ”内插法 计算公式 计算公式 计算内插法 计算公式计 算公式(4) 计算+368.2130108 12 02.1+356.1720.001666667107 3732.49+344.1300.003333333105 54 02.97+332.0890.005103 0134.58+320.0470.006666667199 00 05.6+308.0060.00833333393 4938.42+295.9640.01187 30 09.97+283.9230.01166666780 01 44.02+271.8810.013333333=1/75171 24 16.09+223.7150.02=1/5025 2433.5825 2433.58切线方位角图示4X=9890.293+(368.213-271.881)；4；6x(cos108°122.1”+4(cos107°3732.49”+cos103°0134.58”+ cos93°4938.42”+ cos80°0144.02”)+2(cos105°5402.97''+ cos99°0005.6” +cos87°3009.97”)+ cos71°24'16.09")=9880.4416 (设计值：9880.438)Y=10006.838+ (368.213-271.881)；4：6x(sin108°12'2.1''+4(sin107°37'32.49''+sin103°01'34.58”+ sin93°4938.42”+ sin80°01'44.02”)+2(sin105°54'02.97''+ sin99°00'05.6" +sin87°3009.97”)+ sin71°24'16.09")=10100.9008 （设计值：10100.904）由此我们不难看出，利用复化辛卜生公式计算公路中桩坐标不仅顺逆向很方便，而且可从中 任取一段进行计算。而计算中的关键是计算各等分点处的切线方位角，同时应分清n与2n 等分点，注意不要混淆。对于n的取值，从上我们可以看出：对一般缓和曲线取2-3即可， 对卵形曲线视推算基准点而言不少于4。其它如圆曲线、直线等中桩坐标的计算方法是一样的，在此就不一一简述。