圆度、直线度、平面度误差测量及数据处理.docx

圆度、直线度、平面度误差测量及数据处理1圆度误差测量及数据处理11.1圆度误差概述11.2平面圆公差带和圆度误差的定义11.3圆度误差的评定方法21.4最小二乘法评定圆度误差4 基本原理4 数学模型4 算法设计52直线度误差测量及数据处理62.1直线度误差概述62.2给定平面直线度72.3最小二乘法评定给定平面的直线度误差92.4最小包容区域法评定给定平面的直线度误差112.5任意方向的直线度132.6最小二乘法评定的任意方向的直线度误差143平面度误差测量及数据处理183.1平面度误差概述183.2 平面度公差带和平面度误差的定义 183.2 平面度误差的评定方法 193.3最小二乘法评定平面度误差201圆度误差测量及数据处理1.1度误差概述机械零件回转表面正截面轮廓的圆度误差对机器和仪器的功能有直接的影 响，因此在设计机器和仪器时根据零件的功能要求须给定适宜的公差。而完工零 件的圆度误差是否在控制的公差之内，则要通过测量加以判定。对回转体零件的 典型截面进行圆度误差测量是检验该类零件加工质量的重要指标之一。1.2平面圆公差带和圆度误差的定义根据相关标准，圆的公差带是在同一正截面上，半径为公差值t的两同心圆 之间的区域。被测柱面、锥面、环面等回转体任一正截面圆周必须位于半径差为 公差值t的两同心圆之间。如图1所示。圆度误差是指回转体在同一正截面上实际被测轮廓相对其理想圆的变动量。误差值等于包容所有被测点的两同心圆半径之差，差值应符合最小条件。实测圆轮廓图1圆的公差带1.3圆度误差的评定方法在GB723487圆度测量术语、定义及参数中，圆度误差的评定方法有: 最小外接圆法(RGC)、最大内切圆法(PGC)、最小二乘圆法(LSC)和最小区域圆 法(MZC)。最小外接圆法主要用来评定外表面的圆度误差，它是与实际轮廓相接触的最 小外接圆作为圆度误差的评定标准，圆度误差值实际上是各点至最小外接圆中心 的最大半径与最小半径之差。这种评定方法一般适用于轴类零件，相当于用一只 精密环规去密配，如图2a所示，以最小外接圆中心作为包容圆的中心，也就是 以偏离外接圆的最大偏差来表示圆度误差。最大内切圆法是以与实际轮廓相接触的最大内切圆作为圆度误差的评定基 准，圆度误差值为实际轮廓上各点至最大内切圆心的最大半径与最小半径之差。 这种评定方法一般适用于孔类零件，相当于用一只塞规去密配。如图3.2b所示， 以最大内切圆中心作为包容圆的中心，也就是以偏离内切圆的最大偏差来表示圆 度误差。以上最小外接圆法和最大内切圆法的优点是比较符合装配后的实际状况，能 够最逼近地描述配合件中的定位性质，但所评定的圆度误差值较另两种方法偏 大，而且评定结果随记录图形的大小和放大倍数不同而有所改变，即数值可能并 不唯一。最小二乘圆法的中心位置和半径是应用最小二乘法原理，实际轮廓上各被测 点到该圆径向距离的平方和为最小这个最佳条件来确定的，以该最小二乘圆圆心 作为评定基准，画出包容轮廓曲线的两个同心圆，以其半径差为圆度误差。如图 2c所示(图中R为最小二乘圆半径)。从误差理论的角度看，以最小二乘圆作为评定基准是最合理和最可信赖的。 这种方法突出的优点是：圆度误差的数值和中心都是唯一的，不会发生争议；评图2圆度误差的评定方法定结果不易受个别大误差的影响，能反映整个实际轮廓的综合情况，更符合对零 件的功能要求；而且和表面粗糙度确定评定基准（中线）的原则相一致。因此，最 小二乘圆法一直被推荐作为优先使用的评定方法。最小区域圆法是指用两同心圆包容基于仪器坐标的实际测量曲线，且两同心 圆与测量曲线应至少有内外交替的4点接触，满足此条件的两同心圆半径差为最 小，两圆的圆心为满足最小区域条件的零件坐标系原点，如图2d所示。两圆的 半径差为被测工件的圆度误差。最小区域圆法是符合上述圆度定义的评定方法。求出包容记录图形且半径差 为最小的两个同心圆及其中心的坐标，以此中心作为包容圆的中心。最小区域圆 法是不仅可以获得较小的误差评定结果，而且对零件的性质有稳定的约束（通过 包边界）。上述四种评定方法各有优缺点，一般都可选用。在计算机中实现圆度评定的 实质归根结底为：根据采样数据以不同的标准寻找符合条件的理想圆圆心。其中MZC法和LSC法是优先选用的评定基准。当用计算机进行数据处理时，LSC法 的计算程序较MZC法简单得多。我们选用最小二乘法作为本软件的评定算法。1.4最小二乘法评定圆度误差 基本原理最小二乘圆法是评定圆度误差较为重要的方法之一，同时也是比较易于理 解、掌握和实现的方法之一。最小二乘圆是实际轮廓上各个点到该圆距离的平方 和为最小的圆。以被测实际轮廓的最小二乘圆作为理想圆，其最小二乘圆圆心至 轮廓的最大距离与最小距离之差即为圆度误差，如图3所示。图3最小二乘法评定圆度误差数学模型 数学模型1) 如图3.3所示，由最小二乘法的定义可知才(R - R)2 = min (i = 1,2, , n)( 1)i i=1式中，R 最小二乘圆半径R,一实际被测轮廓上各点到最小二乘圆心的距离2) 使用三坐标测量机测量圆度误差时，最好是在被测圆周等间距地采n点：户(x ,y ), P (x ,y )，P 3 , j )，采点时，若在XY平面测量，则必须 111222n n n锁紧Z轴，若在YZ平面测量，则锁紧X轴，而在ZX平面测量时，需锁紧Y 轴。圆度误差根据实际被测轮廓线，以测量中心0为测量实际轮廓时所采用坐标 系的原点，令最小二乘圆的圆心直角坐标为G0,b），按直角坐标测得的实际轮廓 上各测点坐标为Pi =（七,七），则最小二乘圆的圆心坐标G（a,b）的计算公式为：'2项a =福乙xin日b = _£ynvi=1R = (X 2 + y2(3)n i=1实际被测轮廓上的测点到最小二乘圆圆心的距离:R = ；'(x a )2 + (y. b)2(4)将各测量点的坐标值代入上式计算出R，并比较R的值，找出R 和R ，根 iimax min据圆度误差评定的最小区域要求，只有使Rmax值尽可能小，Rmin的值尽可能大 时，此时圆度误差f为最小。爵 fS = Rmax - Rmin式中，n 实际轮廓等分角间隔数，n越大，计算结果越精确i 测点序号（i = 1,2, , n）fLS 一圆度误差R：x, Rmin实际被测轮廓上各点到最小二乘圆心的距离中的最大值 和最小值 算法设计1）由公式（2）和（3）求出最小二乘圆心G（a,b）和半径R；2）由公式（4）求得各点到最小二乘圆圆心的距离R ；i3）比较并找出到圆心G（a,b）距离的最大点Rmax和最小点Rmin ；4） 求得圆度误差f。其流程图如图4所示、mm开始V J输入测量数据求最小二乘圆心6 (a,b)和半径R, * ,求各点到最小二乘圆心的距离Ri求出距离最小二乘圆心最大点Rmax和最小点Rmin求出圆度误差Fls=Rmax-Rmin尸 "、结束图4最小二乘法评定圆度误差流程图2直线度误差测量及数据处理2.1直线度误差概述对于任何一个加工完的零件，其精确度、形状误差是否符合技术要求，需要 经过准确地测量和利用测量数据进行误差评定才能知道。因而，准确地测量和评 定零件的直线度，不但可作为零件验收合格的依据，还可以用来分析误差产生的 原因，为提高零件加工精度和装配精度提供可靠的依据。直线度误差用于限制给定平面内或空间直线的形状误差，应用非常广泛，如 加工零件的直线度、直线运动部件的直线度。主要用于测量圆柱体和圆锥体的素 线直线度误差、机床和其他机器的导轨面以及工件直线导向面的直线度误差等。 直线度分为三类：空间直线度、给定平面上的直线度，给定方向上的直线度。前 两者运用较多，因此本文主要研究空间直线度和给定平面直线度。2.2给定平面直线度给定平面直线度公差带和直线度误差定义给定平面内的公差带是距离为t的两平行线间的区域，被测表面的素线必须 位于距离为共差值t的两平行线之间。如图5所示。实测直线轮廓图5平面直线度公差带给定平面内的直线度误差是指被测实际平面直线对其理想直线的变动量，误 差值等于包容所有被测点的给定平面内的两平行线间的距离，此距离应符合最小 条件。给定平面直线度误差的评定方法直线度误差的评定方法较多，常用的有两端点连线法、最小二乘法、最小包 容区域法。1）两端点连线法两端点连线法的原理为：以测得的误差曲线首尾二点的连线作为理想要素, 作平行于该连线的两平行直线将被测要素包容，两平行直线间的纵坐标距离即 为直线度误差，图6所示。它是以两端点连线作为评定基线的一种评定方法。作图步骤：a. 在直线图形上绘出首末两端点连线；b. 以该连线作为评定基线找出各点相对于它的最大、最小偏移量；c. 直线度误差：f =匕一、0图6两端点连线法2）最小二乘法最小二乘法是以各采样点偏差值的最小二乘直线为评定基线，求得基线两 侧的最远点到基线的纵坐标距离，这两者的绝对值之和为被测件的直线度误差， 下节将详细介绍。图7最小二乘法、3）最小包容区域法在给定平面内，二平行直线与实际线呈高低相间接触状态，即高低高或低 高低准则。此理想要素为符合最小包容区域的理想要素，如图8所示。可以这样 来理解，在包容实际轮廓线的许多对两两平行的直线中，纵向距离为最小的两 平行直线间的距离作为直线度误差的评定值。这两条平行直线为评定直线度误差 的基线，称为包容线。最小区域法就是找出包容被测线的许多对两两平行的直线中距离最小的一 对包容线 从而得出直线度的误差。I'.'S低图8最小包容区判别准则对于给定平面直线度误差的评定，两端点连线法作图直观，主要适用于给 定平面内的直线度误差的评定，但由于采用两端点连线法获得的理想直线并不 能满足最小条件，故其评定误差大，在精密测量特别是仲裁检验中不能采用。最 小包容区域法符合最小条件。但是很难用解析法直接求出，不易于计算机实现。 最小二乘法是根据残余误差平方和为最小的原理建立理想直线，由于其理论成 熟，算法简便，在包括直线度误差在内的形位误差评定中得到广泛的应用，而且 采用计算机计算非常方便。因此，对给定平面直线度误差的评定采用最小二乘法 和最小区域包容法。2.3最小二乘法评定给定平面的直线度误差 基本原理最小二乘法是以各采样点偏差值的最小二乘直线为评定基线。求得距评定基 线两侧最远点至该基线的纵坐标距离的差Vx及V血然后求出平面内直线度误 差值："3' mmV =V max -V min 数学模型图9最小二乘法评定平面直线度误差数学模型1）根据各测点的坐标值，求出最小二乘直线系数m、b 如图所示，设工作平面为XOY。理想拟合直线为：（8）其中m、b分别为直线的斜率和在轴上的截距。并由三坐标测量机精确地测得一组数据3 , ni = 1,2, ,n）因为测量总是有误差的，所以x和j中都含有误i ii i差，但相对来说x的误差远比j的误差小。我们认为x值是准确的，而所有的误 iii差都只与j,联系着。那么每次测量值与按方程叫+ b计算出来的y值之间偏差为：v = j （mx + b）（9）根据最小二乘原理，所有偏差平方和为最小，即s （m, b）= 工 V 2 =£ j （mx + b）2 = miniiii=1i=1（10）式中，j,、x,是已经测定的数据点，它们不是变量，要使方程达到最小，变 动量只能是m和b，如果设法确定这两个参数，那么该直线也就确定了。根据求 极值的条件，式（10）对山和b的一阶导数分别为0，即£ = 2E (j. - mx - b) = 0 8s=2" x (j mx b) = 0i=1（11）由式可求得m和b：Ex " n £ (xj ) i ii im = i = 1i=1i=1(Ex )2 nEx2h 1 £1=£b = L j m _ J x,=1,=1（12）2）通过各测点坐标值（x, j,），计算出各点的偏移量vi: v = j mx b（13）3）在v 中找出v max和v min，求出直线度误差f： f =vvmax min（14）算法设计1）由公式（12）计算出最小二乘直线的参数m和b；2）求取各个点与理想直线的距离v ；i3）找出被测点距离直线的最大值V哑和最小值V m.n；4）给定平面直线度误差值f，其流程图如图10所示。图10最小二乘法计算平面直线度误差流程图2.4最小包容区域法评定给定平面的直线度误差 基本原理利用最小二乘拟合直线，将测量点分为高点和低点，任选两高点（两低点） 作直线，如果此直线上方（下方）无采样点，则把此直线作为上（下）包容线； 通过与此直线最远采样点作与基线平行的下（上）包容线，算出两包容线之间的 距离；计算出所有符合包容条件的两高点与对应低点、两低点与对应高点所构成 平行线的距离；找出最小的距离，这个值就是符合最小条件的直线度误差值。 数学模型图11最小包容区域法评定平面直线度误差数学模型最小区域法不能以解析形式来表达，目前近似求解直线度误差的最小区域法 多采用旋转法，即改变一元线性方程中的斜率以进行搜索逼近。如逐次逼近旋转 法,精确求解直线度误差的最小区域法有分割逼近法、构造包容线法等。本文采 用的是构造包容线法：1) 求最小二乘直线根据各测得点偏差值3,七)计算实际误差线的最小二乘直线。2) 确定高点和低点以最小二乘直线为基线，将各测点分为高点和低点，在基线上及在其上方的 点定为高点，以G,表示；在基线下方的点定为低点，以巳表示。3) 构造包容线L和L首先任选两高点p和P.作直线L(i, j),其中,j ,如果L(i, j)上方无测得 点，则确定其为一条上包容线，并过与L(ij相距最远的一个测得点，作与 L(i, j)平行的线L(i,j)作为相应的一条下包容线。这样，每次任选两个高点确定 所有符合上述条件的上、下包容线，并计算出它们各自的包容线之间的距离 h(i, j)。按照同样的方法，任选两低点作直线，构造下、上包容线。然后计算出 它们各自的包容线之间的距离h'(i, j)。4) 计算符合最小条件的直线度误差值上面计算出的所有h(i, j)和h (i,j)中的最小值，即是符合最小条件的直线 度误差值。该方法的程序框图如图12所示。开始图12最小包容法评定平面直线度误差流程图2.5任意方向的直线度任意方向直线度公差带和直线度误差定义空间直线的公差带是直径为t的圆柱面内的区域，被测轴线必须位于直径为 公差值t的圆柱面内。如图13所示。空间直线度误差是指被测实际空间直线对其理想直线的变动量，误差值等于 包容所有被测点的圆柱面的直径，此直径应符合最小条件。图13空间直线公差带任意方向直线度误差的评定方法目前，对于平面直线度误差的评定技术已经相当成熟，而对于空间直线度误 差尚处于探索阶段。对这方面的研究较少。我们常用的空间直线度评定方法有： 两端点连线法，最小二乘法，最小区域包容法。评定方法与评定给定平面直线度 中类似，在此就不再重复。通常评定空间直线度误差的数学模型维数高（5维），且为非线性模型，计算 难度较大，如采用其他常用算法存在计算量大、运算复杂、运算时间长等不足。 而最小二乘评定法计算简单、运算速度快、便于运用。因此，选用最小二乘法评 定出空间直线度。2.6最小二乘法评定的任意方向的直线度误差 基本原理采用最小二乘评定法来评定空间直线度误差时，是采用最小二乘轴线代替最 小的理想圆柱体的轴线。由最小二乘原理得：实际轴线上各点到最小二乘轴线的 距离不等，它们之中总有一个点到最小二乘轴线的距离为最大，以这个最大距离 为半径，以最小二乘轴线为轴线作理想圆柱，该理想圆柱的直径就是轴线直线度 误差。由此可见，实际轴线的直线度误差是实际轴线上距离最小二乘轴线最远的 点到最小二乘轴线距离的2倍。 数学模型图14最小二乘法评定空间直线度误差数学模型如图14a所示。将被测零件置于空间直角坐标系OXYZ中，且令OZ坐 标轴为采样时的回转轴线，在垂直于OZ轴且彼此等距的正截面轮廓上等角度间 隔地离散采样，采样数据为P （Ar ,9 ,乙）（j = 1,2,m; i = 1,2,n），其中Ar为 ij ij j ij各采样点的半径增量，七为各采样点处于X轴正向可见的角度值，Z,为各采样 截面沿Z轴的坐标值。样截面轮廓的最小二乘圆心为o（气,b,z），则有a =LAr cos9i m ij ij2 ?A< b =乙Ar sin9（i = 1,2,n） m尸一z = zii（15）式中，m各采样截面轮廓上的采样点数n一采样截面数如图14b所示，将所有被测点置于空间直角坐标系OXYZ中，且令测量时的基准轴线与OZ轴重合。各被测点的坐标为O （ai ,气,* ）（i = 1,2,.,n），n为 被测点数）。 若取被测点最小二乘直线L与XOY坐标平面的交点为A°（%, *,0）,其一组 方向向量为u、v和1,则最小二乘直线L的直线方程为：工一y -z.-*0*0 >（I = 1,2, , n）（16）u v1即最小二乘直线L的直线方程可写作：（17）x = x + uzy, = y0 + vz*各被测点气至最小二乘直线L的偏差为：£ = <(a- x)2+ (b- y)2=：(a- x - uz )2 + (b- y - vz )2(18)ii ii i* i 0 ii 0 i根据最小二乘法原理，应使偏差的平方和为最小，即求:（19）£ 2i=1的最小值。分别求Q对x0，u，y0，v的偏导数并令其等于零，整理后得到方程 组：nx 0 + u 乙=£ax » + u 支 z 2 Uz（20）0 iii ii=1M1= 1ny + v乙 z =乙。y 乙 + v支 z2 Ebz0 iii ii =1i =1i = 1上述方程组可分为两部分：第一部分包括前两式，是关于x0和u的方程组； 第二部分包括后两式，是关于y0和v的方程组。这两部分的形式和性质基本一致， 其系数矩阵为对称矩阵，且是正定的。由方程组（20）可解出唯一的x0，u，y0， v，然后代人式（17）中，即可确定最小二乘直线L。观察可知系数矩阵是病态 的，为避免求解病态方程组，需进行正交化处理。取各被测点的对称中心平面为 XOY坐标平面，则由方程组（20）可求得£ (有)» 一&乙i i ii iX i = 1i1i1 ii 0(上)2n £z；£a£z -芝(az )i ii iU = i=1 i=1i=1(£z. )2-n £Z2£(bz)z -£z2£bi i ii iy = -nr=1i=1i=1 i=10(£z.)2 - n£z.2£bEz. - n £= (bz.)v = 4=1 Ti=1(£z.)2 -n£z2i=1i=1（21）令各被测点O.至最小二乘直线L的距离为R，则R =、： （a - x - uz ）2 + （b - y - vz ）2i v i 0 ii 0 i（22）根据空间直线度误差的定义，最小二乘评定法的空间直线度误差为f = 2maxR （i = 1,2, , n）算法设计1）利用公式（21）计算出空间最小二乘直线的参数：x0, y0, u, v ；2）计算各点至最小二乘直线的距离R ；° °i3）找出被测点距离轴线的最大值人皿密和最小值R m.n；4）任意方向直线度误差值f，其流程图如图15所示。（23）图15最小二乘法计算空间直线度误差流程图3平面度误差测量及数据处理3.1平面度误差概述零件在加工过程中会产生或大或小的形状和位置误差，这些误差的存在不仅 会影响机械产品的整体质量更会影响零部件的互换性。平面度误差是机械零部件 工作表面的形状误差，它直接影响机器工作表面的质量，工作性能和机器寿命。 因而有效地对零部件的平面度误差加以正确的评定和控制是十分重要的工作。3.2平面度公差带和平面度误差的定义平面度是限制实际表面对理想平面变动量的一项指标。它的公差带仅有一种 形式，如图4,该图表示被测平面的平面度公差值为t=0.1mm，其公差带是距 离为0.1mm的两平行平面的区域2。图16平面度公差带3.2平面度误差的评定方法平面度的测量方法，GB/T 17421 1-1998中规定了 5种：用平板测量、用平 尺测量、用精密水平仪测量、用光学方法测量和用坐标测量机测量。测量平面度 最先进的方法是使用三坐标测量机。只要用它的测头在平台上测若干点，就可以 从与之相连的计算机得知其平面度。平面度误差的评定方法较多，常用的有最小区域法、最小二乘法和三远点法 和对角线法。其中最小包容区域法是国家标准规定的方法，采用最小包容区域法 评定时产生的误差最小，精确度最高。虽然平面度数据处理方法不同，但计算平 面度误差的主要任务都是找出理想的基准平面，求出实际平面上各个点到该基 准平面的距离，再找出最大距离点和最小距离点，二者到基准平面的距离代数 差就是该平面的平面度误差值。 最小区域法平面度误差的最小区域评定法原理是，必须保证两个与理想平面平行的平面包容 实际平面采样点数据且距离为最小。对于被测平面采样点为9点均布的情况，经 线性变换后的数据应满足交叉准则、三角形准则或直线准则之一，所得平面度误 差的评定结果应满足最小区域条件。 最小二乘法最小二乘平面是个理想平面，它使从实际被测轮廓上各点到该平面的距离 的平方和为最小。因此，最小二乘法的目标函数，即各测点到最小二乘基准平面 的距离的平方和。其满足最小化时，所得平面即为最小二乘基准平面的法向量， 距离平面最大距离与最小距离之差，即为最小二乘法平面度误差值。 三远点法三远点法求平面度误差是按被测实际表面上相距最远的三点建立基准平面， 以各测点对此平面的偏差中最大值与最小值的代数差作为被测实际表面的平面 度误差值。三远点法的评定结果不是唯一的，其原因是测量点的选取影响评定结 果。 对角线法对角线法求平面度误差是过实际被测要素的一条对角线的两端点的连线、且 平行于另一条对角线的两端点连线的平面作为评定基准面。若基准平面过其中对 角线1,且与另一条对角线2平行。基准平面的法向量与对角线2的方向向量垂 直，可得出的目标函数。最后由这些条件求得基准平面法向量。上述四种方法只有最小二乘法适于用计算机实现，其他方法大都采用作图实 现误差的计算，本软件采用最小二乘法作为评定算法。3.3最小二乘法评定平面度误差 基本原理平面度误差的最小二乘评定法原理是测量结果的最可信赖值应在残余误差 平方和为最小的条件下求出。平面度误差最小二乘法评定的关键在于根据测量采 样点的数据拟合出最小二乘平面。图17最小二乘法评定平面度误差数学模型 数学模型被测实际平面的测量采样点数据为(%.,七,z,) (i = 1,2,.,n)，设规范化最小二 乘平面方程为：z = Ax + By + C(24)其中A，B，C为待求系数；残余误差为：£ . = z. - (Ax + By + C) (i = 1,2,n)(25)最小二乘法的目标函数为：J(A, B, C) = U £2i=1(26)约束条件为:J (A, B, C) = min(27)利用数学中求极值的方法，即求出J（A，B，C）后，对A，B 再使偏微分等于零，得到A，B，C应满足如下方程：C求偏微分,简化上述方程得:dC= 2f (z. - Ax - By - C) x = 0 =-2f (z. - Ax - By - C) y = 0 -=2f (z, - Ax - By - C) = 0i=1(28)(fx 2)A + (fxy ) B + (fx )C = fxyi i iii i(fxy )A Jfy2)B + (fy )C = fii iii=1i=1i=1(f x.)A + (f y )B + nC = fi=1y.z,i=1zi(29)i=1i=1由式（34）用矩阵表示如下:fxR f y z.Wii=1fx 2if1xi y i专1xii=1*ff y2ifyii=1ifyii=1n（30）由式（35）可以求得最小二乘平面的待定系数为:fx 2if'xyiii fxii=1fxiff y2ifyii=1fyii=1fxziif yziifzI1- i=1（31）则各点到最小二乘平面的距离为:（32）d = z一尹+空：c）（i=i,2, , n1 V A 2 + B 2 + 1（33）由此可得到被测平面度误差的最小二乘法评定结果为：f =d max - d mm 算法设计1）2）3）4）利用公式（31）计算出空间最小二乘平面的参数：A，B，C；计算各点至最小二乘平面的距离d ；i找出被测点距离最小二乘平面的最大值d和最小值d .；maxmin平面度误差值f，其流程图如图18所示。图18最小二乘法计算平面度误差流程图