因式分解地常用方法(方法全面最详细).docx

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Hsvah*+K戾、着成Ilsvfr蓄N着着豪、£i q樊素 &8Mg妥曜- Kratts ,8 屋 着费fcsI SSH (III)OI + m+ M9 (b)+r?I ZX2富)(2) m2 - 6mn + 8n 2 (3) a 2 - ab - 6b 2(四)二次项系数不为1的齐次多项式例 9、2 x 2 - 7 xy + 6 y 2fy2-3y(-3y)+(-4y)= -7y例10、 x 2 y 2 - 3 xy + 2把xy看作一个整体-1-2 (-1)+(-2)=解:®式=( -1)(xy 2)(2) a 2 x 2 - 6ax + 8-3解:原式= (x - 2y)(2x - 3y)练习9、分解因式:(1) 15 x 2 + 7 xy 一 4 y 2综合练习 10、(1) 8x6-7x3-1(2)12x2 - 11xy -15y2(3)(x + y)2 一 3(x + y) -10(4)(a + b)2 4a 一 4b + 3(5)x 2 y 2 - 5 x 2 y 一 6x 2( 6)m 2 - 4mn + 4n 2 - 3m + 6n + 2(7)x2 + 4xy + 4y2 - 2x - 4y - 3(8)5(a + b)2 + 23(a2 - b2) -10(a -b)2 (9)4x2 - 4xy - 6x + 3y + y2 -10( 10)12(x + y)2 +11(x2 - y2) + 2(x- y)2思考：分解因式： abcx 2 + (a 2 b 2 + c 2) x + abc五、换元法。(1) ,换单项式例1分解因式X6 + 14x3 y + 49y2.分析:注意到X6 = ( X3)2，若把单项式X3换元，设X3= m，则X6= m2 , 原式变形为m2 + 14m y + 49y2= (m + 7y)2 = ( X3 + 7y)2.(2) 、换多项式例 2分解因式(X2+4X+6) +(X2+6X+6) +X2.分析:本题前面的两个多项式有相同的部分，我们可以只把相同部分 换元，设X2 +6= m，则 X2+4X+6= m+4x，X2+6x+6= m+6x，原式变 形为(m+4x)(m+6x)+X2=m2+10mx+24x2+X2=m2+ 10mx+25x2=(m+5x)2= ( X2 +6+5x)2=(x+2)(x+3)2= (x+2) 2 (x+3)2.以上这种换元法，只换了多项式的一部分，所以称为"局部换元法". 当然，我们还可以把前两个多项式中的任何一个全部换元，就成了 "整体 换元法".比如，设X2+4x+6=m，则X2+6x+6=m+2x，原式变形为m(m+2x)+ X2 = m2+2mx+X2= (m+x)2= ( X2+4x+6+x)2= (X2 + 5x + 6)2=(x+2)(x+3)2= (x+2) 2 (x+3)2.另外，还可以取前两个多项式的平均数进行换元，这种换元的方法被(寸+X)(TX)&+X)(邛 X)国、方因-、邮ffiK- 、朦耍黑E贺wwaf同、s.s+?+xxmAR+XXAKHtt m 屋冬+x) "& + X) nq(rn+x)(CN+x)J Hcsl(9+xLn+cslx) HCSIlu HCSIx+CSIxCSIlu 3+?lu)(x+lu)、X+LUH9+X9+CSIX 、XIUH9+X17+CSIX =m 、 9+xLn+cslx HM9+X9+CSIX) + (9+x17+csix)j icnhe愁、尽长诉友ttla®宿7噩何汁旺昶同、6.oox + ZXHrn+XHUX) Hoox + zx )(9x + "x ) nI + "x+"xTccEHI + luTrzluHIZCN+LnUZEHIZCN+G EHLn+E)K能加宿眼、TE Hux+zx、Ln+EHUX+"X=M、"x+s【(mx+£ +(UX+£J he、俱值堡狗旺|*漏.wrw宿能"尽？£w®E¥f、&rx+£ (ux+£ n?+x)(Tx)=("+x) (1*)灵黑例 1分解因式 x2（x+1）-2003x2004x.分析：此题若按照一般思路解答，很难奏效注意到2003、2004两个数字之间的关系，把其中一个常数换元.比如，设m=2003，则2004二m + 1.于是，原式变形为X2(x+1) - m(m+1)x= xx(x+1)-m(m + 1) = x(x2+x-m2-m)=x(x2 -m2) +(x-m)= x(x+m) (x-m) + (x-m) =x(x-m)(x+m + 1)= x(x-2003)(x+2003 + 1)= x(x-2003)(x+2004).例 13、分解因式(1) 2005* (20052 1)x - 2005(2) (x +1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) + x2解：(1)设 2005= a，则原式=ax2 (a2 1)x a=(ax +1)( x a)=(2005 x +1)( x 2005)(2阀如abed + e的多项式分解因式时可以把四个因式两两分组相乘原式=(x 2 + 7 x + 6)( x 2 + 5 x + 6) + x 2设 x 2 + 5 x + 6 = A，则 x 2 + 7 x + 6 - A + 2 x原式=(A + 2 x) A + x 2 = A 2 + 2 Ax + x 2=(A + x)2 = (x 2 + 6 x + 6)2练习 13、分解因式(1) (x2 + xy + y2)2 4xy(x2 + y2)(2) (x2 + 3x + 2)(4x2 + 8x + 3) + 90(3) (a2 +1)2 + (a2 + 5)2 4(a2 + 3)2例 14、分解因式（1） 2 x 4 x 3 6 x 2 x + 2观察：此多项式的特点一一是关于x的降幂排列，每一项的次数依次少1, 并且系数成"轴对称"。这种多项式属于"等距离多项式"。方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法.解：原式=X2 (2X2 - X - 6 - + ) = X2 b(X2 + ) - (X + ) - &X X21 1设 X + = t，则 X2 += 12 - 2-L1X 2 ( 一)C= X2 2( 12 -2) - t - 6 = X2 板12 - t - 10)2 ')X2 一 5X + 2)(2 + 2X +1)r 2 r1)X-2 x + - 一 5x X + 2k x )kX)=(X +1)2(2 X -1)( X - 2)=X 2(21 - 5)( + 2)= X / 2 X + 2 - 5 丫 X + 一(2) X4 -4X3 + X2 +4X + 1r 1、x 2 +一 4x 一1、+1kX2 )kx )解：t= X2(X2 - 4X + 1 + 4 + ) = X2XX 211设X -= y，则 X2 + 一 = y2 + 2XX2.,原式=X2 (y2 - 4y + 3) = X2(y - 1)(y - 3)=X2(X- - 1)(X - - 3) = (C2 - X - 1)(2 - 3X - 1)XX练习 14、( 1) 6X4 + 7X3 - 36X2 - 7X + 6(2) X4 + 2X3 + X2 + 1 + 2(X + X2 )六、添项、拆项、配方法.例15、分解因式(1) X 3 - 3 X 2 + 4解法1拆项。原式=X 3 + 1 - 3 X 2 + 3=(X +1)(X2 - X +1) - 3(X +1)(X -1)=(X +1)(X2 - X +1 - 3X + 3)=(X +1)(X2 - 4X + 4)=(X + 1)(X - 2)2解法2添项。一 3x 2 一 4x + 4x + 4=x(x2 - 3x - 4) + (4x + 4)=x(x +1)(x 一 4) + 4(x +1)=(x +1)(x2 - 4X + 4)=(x +1)( x - 2)2解：(X 9 - 1) + (X 6 - 1) + (X 3 - 1)=(X3 - 1)(X6 + X3 + 1) + (X3 - 1)(X3 + 1) + (X3 - 1)=(X 3 1)( X 6 + X 3 + 1 + X 3 + 1 + 1)=(X - 1)(X2 + X + 1)(X6 + 2X3 + 3)练习15、分解因式(1) X 3 -9X + 8(3) X 4 -7X2 + 1(5)x 4 + y 4 + ( x + y )4(2) (X + 1)4 + (X 2 - 1)2 + (X - 1)4(4) X 4 + x 2 + 2ax +1 一 a 2(6 )2a2b2 + 2a2c2 + 2b2c2 一 a4 一 b4 一 c4七、待定系数法。例 16、分解因式 x 2 + Xy - 6 y 2 + x +13 y - 6分析：原式的前3项X2 + xy - 6y 2可以分为(x + 3y)(x - 2y)，则原多项式 必定可分为(X + 3y + m)(X - 2y + n)解：设 x 2 + xy - 6 y2 + x +13 y - 6 = ( x + 3 y + m)( X - 2 y + n)( x + 3 y + m)( x 一 2 y + n) = x 2 + xy - 6 y 2 + (m + n) x + (3n - 2m) y - mnX 2 + xy - 6 y 2 + x +13 y - 6 = X 2 + xy - 6 y 2 + (m + n) X + (3n - 2m) y - mnm + n = 1对比左右两边相同项的系数可得3n - 2m = 13，解得J * =-2 .n = 3mn = -6C=(X + 3 y 一 2)(x - 2 y + 3)例17、(1 )当m为何值时，多项式x 2 - y 2 + mx + 5 y - 6能分解因式，并分 解此多项式(2)如果X3 + ax2 + bx + 8有两个因式为X +1和X + 2，求a + b的值。(1)分析：前两项可以分解为(x + y)(x - y),故此多项式分解的形式必 为(x + y + a)(X - y + b)解：设 X2 - y 2 + mx + 5y - 6 = (x + y + a)(x 一 y + b)则 x2 - y 2 + mx + 5 y 一 6 - x2 - y 2 + (a + b)x + (b 一 a) y + ab a = 2a + b = m比较对应的系数可得："a = 5，解得叩ab = 6、.当m = 土1时，原多项式可以分解；者 m = 1 时，原式=(x + y 2)(x y + 3);当 m = 1 时，原式=(x + y + 2)(x - y 一 3)a = 2b = 3 或<b = 3 m = 1m = -1(2)分析：x 3 + ax 2 + bx + 8是一个三次式廊以它应该分成三个一次式相乘, 因此第三个因式必为形如x + c的一次二项式解：设 x 3+ax 2 + bx + 8 = (x +1)( x + 2)( x + c)则 x 3+ax 2 + bx + 8 = x 3+(3 + c) x 2 + (2 + 3c) x + 2c a = 3 + c. <b = 2 + 3c2c = 8 a + b =21练习 17、(1)分解因式 x 2 3 xy 10 y 2 + x + 9 y 2(2) 分解因式 x 2 + 3 xy + 2 y 2 + 5 x + 7 y + 6(3) 已知：x 2 2 xy 一 3 y 2 + 6 x 14 y + p能分解成两个一次因式 之积，求常数p并且分解因式。(4) k为何值时，x2 2xy + ky2 + 3x 5y + 2能分解成两个一次 因式的乘积，并分解此多项式第二部分：习题大全经典一：一、填空题1.把一个多项式化成几个整式的的形式，叫做把这个多项式分解因式。2分解因式：m3-4m= .3. 分解因式：X2-4y2= _.4、分解因式：尤2 - 4x 4 =。5.将xn-yn分解因式的结果为（X2+y2）（x+y）（x-y），则n的值为.6、若 x - y = 5,xy = 6，则 x2y xy2 = 二、选择题7、多项式153/ + 5m2n - 20m2n的公因式是()A、5mnB、5m2n2c、5m2nD、5mn28、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（）A、(a + 3)(a - 3)= a 2 - 9D a2 -b2 =(a + b)(a -b)B、C、a 2 4a 5 = a (a 4)-5m 2 - 2m - 3 =D、10.下列多项式能分解因式的是（）(A)X2-y(B)X2+1(C)X2+y+y2(D)X2-4x+411 把(x-y)2-(y-x)分解因式为()A.(x-y)(x-y-1)B. (y-x) (x-y-1)C .(y-x)(y-x-1)D.(y-x)(y-x + 1)12 .下列各个分解因式中正确的是()A . 10ab2C + 6ac2 + 2ac = 2ac ( 5b2 + 3c )B. (a-b)2-(b-a)2=(a-b)2(a-b+1)C. x(b + c-a)-y(a-b-c)-a + b-c=(b + c-a) (x + y-1)D . (a-2b) (3a + b)-5(2b-a)2=(a-2b) (11b-2a)13若k-12xy+9x2是一个完全平方式，那么k应为()A.2B.4C.2y2D.4y2三、把下列各式分解因式：14、n - ny15、4m 2 - 9n 216、m(m - n)+ n G - m)项函-2a2b + ab218、2 + 4 ) - 16 X 219、9(m + n)2 一 16(m 一 n)2 ./五、解答题20、如图，在一块边长a =6.67cm的正方形纸片中，挖去一个边长b =3.33cm的正方形。求纸片剩余部分的面积。21、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是径d = 45cm ,外径D = 75cm，长I = 3m。利用分解因式计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土？（兀取3.14，结果保留2位有效数字）l22、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第(5)个等式。(1) X 2 - 1 = (x + 1)(x - 1)(2) X4 -1 = (X2 + 1)(X + 1)(X - 1) X8 - 1 = Cx 4 + 1)(X 2 + 1)(X + 1)(X - 1)(4) X16 - 1 = (X8 + 1)(X4 + 认2 + 1)(x + 1)(X - 1)(5) 经曲_.-I-/、 ,1. 通过基本思路达到分解多项式的目的例1.分解因式分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把 分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取 公因式后，再进一步分解；也可把，分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。解一：原式解二：原式二2. 通过变形达到分解的目的例1.分解因式解一：将拆成 ，则有解二：将常数 拆成 ，则有3. 在证明题中的应用例：求证：多项式的值一定是非负数分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。证明：设，则4. 因式分解中的转化思想例：分解因式：分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a + b，b+c与 a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法。解：设 a + b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行"代换"是很重要 的。中考点拨例1.在 中，三边a,b,c满足求证：证明：说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不 能丢分。例2.已知： 解：说明：利用等式化繁为易。题型展示1. 若X为任意整数，求证：的值不大于100。解：(7 f)(3 f)(4 f 2)-100说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大 于100，即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形 成完全平方是一种常用的方法。2. 将实战模拟1. 分解因式：2. 已知：的值。3. 矩形的周长是28cm，两边x,y使，求矩形的面积。4.求证：是6的倍数。（其中n为整数）5. 已知：a、 b、 c 是非零实数，且，求a + b+c的值。6. 已知：a、b、c为三角形的三边，比较的大小。IN -.螳回蜀翻：一、填空：(30分)1若x 2 + 2(m - 3)x +16是完全平方式，则m的值等于。2、x2 + x + m = (x 一 n)2 贝U m =n =3、2x3y2与12x6y的公因式是一4、若xm - yn = (x + y2)(x- y2)(x2 + y4)，则 m=,n=.5、在多项式3y2 5y3 =15 y5中，可以用平方差公式分解因式的有，其结果是。6、若x2 + 2(m - 3)x +16是完全平方式，则m=.7、x 2 + () x + 2 = (x + 2)( x +)8、已知1 + x + x2 + x 2004 + x 2005 = °,贝"x 2006 = 9、若16(q-b)2+ M + 25是完全平方式M=。10、x 2 + 6 x +(_)= (x + 3) 2 , x 2 + ()+ 9 = (x - 3)211若9 x 2 + k + y 2是完全平方式，则k=。12、若x2 + 4x 4的值为0，则3x2 +12x 5的值是13、若 x2 ax 15 = (x +1)(x 15)则 a =。14、若 x + y = 4, x2 + y2 = 6 贝口 xj =。15、方程 x2 + 4x = °，的解 。二选择题：(10分)1、多项式一 a(a - x)(x - b) + ab(a - x)(b - x)的公因式是()A、-a、 B、- a(a - x)(x - b) C、a(a - x)D、- a(x - a)2、若mx2 + kx + 9 = （2x - 3）2，则 m，k 的值分别是（）A、m=2 , k=6 , B、m=2 , k=12 , C、m=4 ,k=12、D m=4 , k=12、 3、下列名式： x2 - y2,-x2 + y2,-x2 - y2,(x)2 + (-y)2,x4 - y4 中能用平方差公式分解因式的有（）A、1 个，B、2 个，C、3个，D、4 个 4、计算（1一 5 -9 （1一 A点的值是（）A、1 B、L,C.L,D.112 201020三、分解因式：（30分）1、 x4 - 2x3 - 35x22、 3x6 - 3x23、25(x - 2y)2 - 4(2y - x)24、x 2 - 4 xy -1 + 4 y 25、x 5 一 x6、x 3 -17、ax 2 一 bx 2 一 bx + ax + b 一 a8、x 4 -18 x 2 + 819、9x4 - 36y210、(x +1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) 一 24四、代数式求值(15分) 1 已知 2x- y = 3 , xy = 2 ,求 2x4 y3 - x3 y4 的值。2、若X、y互为相反数，且(x + 2)2-(y + 1)2 = 4，求x、y的值3、已知a + b = 2，求(a2 -b2)2 -8(a2 + b2)的值五、计算：(15)(1) 0.75 x 3.66 - x 2.6620004(2)(3 ) 2x562 + 8x56x22 + 2x442六、试说明：(8分)L对于任意自然数n , (n + 7)2 - (n - 5)2都能被动24整除。2、两个连续奇数的积加上其中较大的数，所得的数就是夹在这两个连续 奇数之间的偶数与较大奇数的积。七、利用分解因式计算(8分)1、一种光盘的外D=11.9厘米，径的d = 3.7厘米，求光盘的面积。(结果保留两位有效数字)2、正方形1的周长比正方形2的周长长96厘米，其面积相差960平方 厘米求这两个正方形的边长。八、老师给了一个多项式，甲、乙、丙、丁四个同学分别对这个多项式进 行了描述：甲：这是一个三次四项式乙：三次项系数为1，常数项为1。丙：这个多项式前三项有公因式丁：这个多项式分解因式时要用到公式法若这四个同学描述都正确请你构造一个同时满足这个描述的多项式，并将 它分解因式。（4分）经典四：式分解一、选择题1、代数式 a3b2 - 1 a2b3, 1 asb4 + a4b3,a4b2 - a?b4 的公因式是22()A、a3b2 B、a2b2C、a2b3D、a3b32、用提提公因式法分解因式5a(x- y) -10b(x- y),提出的公因式应当为()A、5a - 10b B、5a + 10b C、5(x-y) D、y-x3、把-8m3 + 12m2 + 4m分解因式，结果是()A、-4m(2m2-3m)B、-4m(2m2 + 3m-1)C、-4m(2m2-3m-1)D、-2m(4m2-6m + 2)4、把多项式-2x4 - 4x2分解因式，其结果是()A、2(-x4-2x2)B、-2(x4+2x2) C、-x2(2x2+4) D、-2x2(x2+2)5、(- 2 ) 1998+(- 2 ) 1999等于()A、- 21998B、21998C、- 21999 D、219996、把16 - X4分解因式，其结果是()A、(2-x)4B、(4 + X2)( 4 - X2)C、(4 + X2)(2 + x)(2-x)D、(2 + x)3(2-x)7、把a4 - 2a2b2 + b4分解因式，结果是()A、a2(a2 -2b2)+ b4B、(a2 - b2)2C、(a -b)4 D、(a+b)2(a-b)28、把多项式2x2 -2x+ 1分解因式，其结果是()2A、(2x- 1 )2B、2(x- 1 )2 C、(x- 1 )2D、1 (x-22221)29、若9a2 + 6(k-3)a + 1是完全平方式，则k的值是()A、±4B、±2C、3D、4 或 210、- (2x-y )(2x + y)是下列哪个多项式分解因式的结果()A、4x2-y2B、4x2 + y2C、-4x2-y2D、-4x2+ y211、多项式x2 + 3x-54分解因式为()A、(x + 6)(x-9) B、(x-6)(x + 9)C、(x + 6)(x + 9) D、(x - 6)(x - 9)二、填空题1、2x2 - 4xy - 2x =(x-2y- 1)2、4a3b2 - 10a2b3 = 2a2b2()3、(1 - a)mn + a - 1=()(mn -1)4、m(m - n)2 - (n - m)2 =()()5、x2 - () + 16y2=()26、x2 - ()2=(x + 5y)( x - 5y)7、a2 - 4(a - b)2=()()8、a(x + y-z) + b(x + y-z)-c(x + y-z)= (x + y- z)-()9、16(x-y)2-9(x + y)2=()10、(a + b)3 - (a + b) = (a + b)()()11、x2 + 3x + 2=()()12、已知 x2 + px+12 = (x - 2)(x - 6)，则 p=.三、解答题1、把下列各式因式分解。(1)x2-2x3(2)3y3-6y2+3y(3) a2(x - 2a)2 - a(x - 2a)2(4)(x -2)2-x + 2(5)25m2 - 10mn + n2(6)12a2b(x - y)-4ab(y - x)(7)(x-1)2(3x-2) + (2 - 3x)(8)a2 + 5a + 6(9)x2 - 11x + 24(10)y2 - 12y - 28(11)X2 + 4x-5(12)y4 - 3y3 - 28y22、用简便方法计算。( 1 ) 9992 + 999( 2 ) 2022 - 542 + 256x352(3) 199719972 -1996 x 19983、已知：x + y= 1 ,xy=1.求 X3y + 2x2y2 + xy3 的值。2四、探究创新乐园1、若 a - b=2,a - c= 1，求(b - c)2 + 3(b - c) + 9 的值。242、求证：1111 - 1110 -119 = 119X109五、证明（求值）1.已知 a + b=0，求 a3 - 2b3 + a2b - 2ab2 的值.2.求证：四个连续自然数的积再加上1,定是一个完全平 方数.3 .证明：(ac - bd)2 + (bc + ad)2=(a2 + b2)(C2 + d?).4 .已知 a = k + 3 , b=2k + 2 , c=3k - 1 ,求 a2 + b2 + C2 +2ab - 2bc - 2ac 的值.5 .若 X2 + mx + n = (x - 3)(x + 4),求(m + n)2 的值.6 .当a为何值时，多项式X2 + 7xy + ay2 - 5x + 43y - 24可 以分解为两个一次因式的乘积.7 .若x , y为任意有理数，比较6xy与X2 + 9y2的大小.8 .两个