四重五步学习法.docx

密8中网校'S/ 空间向量及其线性运算、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标： 了解空间向量的概念，体会向量由平面向空间的推广过程. 掌握空间向量的线性运算，掌握向量共线的充要条件. 掌握空间向量的数量积，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.重点难点： 重点：空间向量的线性运算和空间向量的数量积；空间向量共线与垂直的充要条件. 难点：空间向量的数量积，空间向量共线与垂直的充要条件.学习策略： 把向量的研究范围从平面扩大到空间，就得到空间向量，因此，空间向量是平面向量的推广，学习空间向量的相关 概念及其运算时，完全类比平面向量的概念及其运算.二、学习与应用“凡事预则立，不预则废”科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。知识要点一一预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听 课学习。课堂笔记或者其它补充填在右栏。预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源 ID: #tbjx6#285416知识点一：空间向量的相关概念(一) 空间向量的定义：在空间，我们把具有 的量叫做向量.与平面向量一样，空间向量也用表示；记作：注意：(1) 空间中点的一个平移就是一个向量；(2) 数学中讨论的向量与向量的一无关，只与有关，只要不改变一，空间向量可在空间内任意，故我们称之为自由向量.（二）空间向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的叫做向量的长度或模，记作（三）空间向量的有关概念：零向量：长度为或者说起点和终点的向量，记为一单位向量：长度为的空间向量，即也1=相等向量：方向且模的向量.相反向量：方向但模的向量.共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线 ，则这些向量叫做共线向量或 a平行于b记作 共面向量：-二-.,叫做共面向量.两个规定：（1） 与任意向量平行；（2） 与任意向量垂直.注意：（1）当我们说向量a、b共线（或a /b ）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是直线,也可能是一:直线.- 一（2）向量在空间中是可以平移的.空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此我们说空间任意两个向量是的.（四）两个向量的夹角已知两非零向量a, b，在空间任取一点O,作向量OA = a , OB = b,则ZAOB叫做a与b的.一二3己作一 一一一规定厂a,b的取值范围是当a,b= 0或兀时，向量a与b ，记作兀当a,b= 3时，向量a与b二 -.,记作知识点二：空间向量的加减法因为空间任意两个向量是共面的.定义空间向量的加法、减法、数乘向量及运算律与平面向量一样.(一) 空间向量的加减法运算(1)如图，若 OA - a, AB = b ,则OB =则BA =(二) 空间向量的加法运算律:加法交换律：a + b = _加法结合律：(a M) + C =注意：空间向量加法的运算律要注意以下几点:(1)首尾相接的若干向量之和，等于-，即：AA + A A + A A + + A A1 2 2 3 3 4n-1 n因此求空间若干向量之和时刊通过平移使它们转化为.的向量;-，(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为即：AA + A A + A A + + A A + A A =1 2 2 3 3 4n-1 n n 1知识点三：空间向量的数乘(一) 实数与空间向量的积的定义:实数人与向量a的积是一个，记为，模和方向规定如下：I X a 1=（入 e R）当X0时，X a与向量a的方向.-.-.；当 X = 0 时，X a = 0 ； >>当X< 0时，Xa与向量a的方向-.（二）实数与空间向量的积的运算律：>>设X、日为实数，则有结合律：XWa）=第一分配律：（X +日）a =第二分配律：X （a + by =（三）共线向量定理和共面向量定理> >共线向量定理：空间任意两个向量a、b （ b尹0 ）, a / b的充要条件是一 一 - 一 一 -.共面向量定理：如果两个向量a、 b不共线，则向量p与a、 b共面的充要条件是一 -'一 - 一知识点四：空间向量的数量积（一）数量积定义已知空间两向量a,b，则I a I -1 b I -cos < a,b叫做a,b的，记作，即 a -b =一二二二一-一注意：空间两向量的数量积是一个.，实数与空间向量的积是一个（二）空间向量数量积的运算律（1） a -b =（交换律）；（2） a-（b + c） =（分配律）；（3） （Xa）-b=（X e R）（三）空间向量数量积的性质>>设a,b是非零向量，e是单位向量，则（1） a - e = e - a =I a I cos < a, e；(2) a-b = 0O.(3)I a |2=或 | a 1=(4)(5)经典例题-自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反 三。课堂笔记或者其它补充填在右栏。更多精彩内容请学习网校资源ID: #jdlt0#285416类型一：空间向量的线性运算例1.已知在平行六面体ABCD- A'B'C'D'中，设CD = a , CB = b , CC' = c ,试用向量a、b、c来表示向量CA、CA'.总结升华:举一反三： 【变式1】（2011四川）如图，正六边形ABCDEF中，BA + CD + EFA. 0B. BEC. ADD. CF【变式2】如图，设四面体ABCD的三条棱AB = b , AC = c ,AD = d , Q 为 ABCD的重心，M为BC的中点，试用b、c、d表示向量DM、AQ .b【变式3】如图，平行六面体AB CD ABCD, M分AC成的比为1, N分AD成111121的比为2,设菌=。，AD = b，AA1 =c，试"n、c表示mn .例2.如图，已知长方体ABCD- A'BC'D'，化简下列向量表达式:(1) AA'- CB ； (2) - AD +1 AB -1A' A .222总结升华：举一反三：【变式1】如图，已知平行六面体ABCD简下列向量表达式：(1) AA1 + A1 B1 ；(3) AA1 + 25 + 2A1 D ；A1B1C1D1，M为A；与BR 的交点，化(2)2 a1 叩 2 a1 d1 ；(4) Ab+Bc +CC + C A + AA .1111【变式2】已知空间四边形ABCD，连接AC、BD，设M、G分别是BC、CD的中点，举一反三：【变式】已知ABCD- A'B'C'D'是平行六面体.(1) 化简1AA' + BC + 2AB，并在图中标出其结果；23一一 一 3(2) 设M是底面ABCD的中心、N是侧面BCCB对角线BC'上的二分点，设4MN =aAB + PAD +yAA'，试求a、。、y 的值.例4.若三棱锥O ABC中G 是AABC的重心，求证：OG = 3(OA + OB + OC).则 MG - AB + AD 等于()A. 3DBB. 3MGC. 3GMD. 2MG例3.已知正方体ABCD-A'B'C'D厂点E是上底面A'B'C'D'的中心，求下列各式中x、y、z的值：(1) BD ' = xAD + yAB + zAA'；(2) AE = xAD + yAB + zAA'.总结升华:举一反三:【变式1】在如图所示的平行六面体中，求证：AC + AB' + AD，= 2AC'.【变式2】如图，在四边形 ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，试证:EF = 1 (AB + DC).2类型二：共线向量定理的应用例5.已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点.(1)用向量法证明BD平面EFGH； (2)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任意一点 O，有 OM = 1(OA + OB + OC + OD).4总结升华:举一反三：【变式1】设e、e是平面上不共线的向量，已知AB = 2e + ke 1212CD = 2e1 - e2，若A、B、D三点共线，求k的值.w /网校www.etkmtigmqom四重五步学习法一一让孩子终生受益的好方法解/【变式2】V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA=VB二VC二VD, VP = 3VC ,一 2_ 2.一 一VM =-VB , VN = 一 VD .求证：VA 平面 PMN. 33【变式3】如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D中，E、F、G分别是A1D1、D1D、D1C的中点.求证：平面EFG平面AB1C.类型三：空间向量的数量积的计算例 6.已知也 1= 2, I b 1= 3，a,b= 60。，求 I 2a -3b I 的值.解：举一反三：【变式1】已知向量a、b、c两两之间的夹角都为60°，其模都为，则I a -b + 2c I等于（）A. 15B. 5C. 6D. 'J6【变式 2】设 a ± b ,a,c) = ,b,c)=，且 I a 1= 1, I b 1= 2 , I c 1= 3，则向量 36a + b + c的模是【变式 3】已知：a + b + c = 0, I a I= 3,I b I= 1,I c I= 4，试计算 a -b + b - c + c - a .解.类型四利用空间向量的数量积求线段的长度例7.在直二面角的棱上有两点A、B, AC和BD各在这个二面角的一个面内，并且都垂直于棱 AB,设 AB=8cm, AC=6cm, BD=24cm,求 CD 的长.总结升华.举一反三：【变式1】已知？入上平面ABC,/ABC=120°, PA=AB二BC=6，求线段PC的长.【变式2】巳知平行六面体ABCDA' B' C' D'中，AB=4, AD=3 , AA' =5 ,/BAD = 90，匕BAA' =ZDAAZ =60°，则 AC'等于（）oA. 85B. '-'85 C. 5w'2D. 50类型五：利用空间向量的数量积求异面直线所成的角例8.正四面体SABC中，E、F分别为SA和BC的中点，求异面直线BE和SF所成角.总结升华:举一反三: 【变式1】如图所示，在空间四边形OABC中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5, ZOAC=45°，ZOAB=60°，求异面直线OA与BC所成角的余弦值.【变式2】如图，在棱长为1的正方体ABCD - ABCD中,iiiiM、N分别是AiB和BBi的中点，那么直线AM与CN所成的角的余弦值是（A.I0B.I0C.D.【变式3】正四棱锥C- ABDE中，CA = AB = 2 ,M, N分别是AC, BC的中点，求EM，AN所成角的余弦值.类型六：空间向量的数量积在立体几何中的应用例9.如图，巳知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点M、N分别是边AB、CD的中点.(1)求证：MN为AB和CD的公垂线;(2)求MN的长;(3)求异面直线AN与MC所成角的余弦值.总结升华:举一反三： 【变式】如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°.（1）求AC1的长；（2）求AC1与面ABCD所成的角.三、总结与测评要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。总结规律和方法一一强化所学相关内容请参看网校资源ID： #tbjx23#285416（一）空间向量的加法与减法如何进行运算?（二）共线向量定理的用途是什么？（三）如何利用向量知识求线段的长度?（四）如何利用空间向量知识求异面直线所成的角？成果测评现在来检测一下学习的成果吧！请到网校测评系统和模拟考试系统进行相关知识点的 测试。知识点：空间向量及其运算测评系统分数：模拟考试系统分数：如果你的分数在80分以下，请进入网校资源ID： #cgcp0#285416做基础达标部分#cgcp1#285416的练习，如果你的分数 在80分以上，你可以进行能力提升题目#cgcp2#285416的测试。自我反馈学完本节知识，你有哪些新收获？总结本节的有关习题，将其中的好题及错题分类整 理。如有问题，请到北京四中网校的“名师答疑”或“互帮互学”交流。我的收获习题整理题目或题目出处所属类型或知识点分析及注意问题好题错题注：本表格为建议样式，请同学们单独建立错题本，或者使用四中网校错题本进行记录。知识导学：空间向量及其线性运算（#285416）视听课堂：空间向量及其运算（#25557）更多资源，请使用网校的学习引领或搜索功能来查看使用。对本知识的学案导学的使用率：好（基本按照学案导学的资源、例题进行复习、预习和进行课堂笔记等，使用率达到80%以上）中（使用本学案导学提供的资源、例题和笔记，使用率在50%-80%左右）弱（仅作一般参考，使用率在50%以下）学生： 家长： 指导教师：请联系北京四中网校当地分校以获得更多知识点学案导学。