四点共圆问题 .docx

四点共圆问题四点共圆是平面几何证题中一个十分有利的工具，四点共圆这类问题一般有以下两种形式：（1）证明某四点共圆或者以四点共圆为基础证明若干点共圆；（2）通过某四点共圆得到一些重要结论，进而解决问题下面给出与四点共圆有关的一些基本知识（1）若干个点与某定点的距离相等，则这些点在一个圆上；（2）在若干个点中有两点，其他点对这两点所成线段的视角均为直角，则这些点共圆；（3）若四点连成的四边形对角互补或有一外角等于它的内对角，则这四点共圆；（4）若点C、D在线段AB的同侧，且ZACB = ZADB，则A、B、C、D四点共圆；（5） 若线段AB、CD交于E点，且AE.EB = CE.ED，则A、B、C、D四点共圆；（6） 若相交线段PA、PB上各有一点C、D，且PA.PC = PB.PD，则A、B、C、D四点共圆。四点共圆问题不但是平面几何中的重要问题，而且是直线形和圆之间度量关系或者位置关系相互转化 的媒介。例1、已知PQRS是圆内接四边形，/PSR = 900,过点Q作PR、PS的垂线，垂足分别为点H、K求证：HK平分QS例2、给定锐角ABC，以AB为直径的圆与边AB上的高线CC'及其延长线交于点M、N，以AC为直径的圆与AC上的高线88'及其延长线交于点P、Q。证明：M、P、N、Q四点共圆。例3、在等腰aABC中，P为底边BC上任意一点，过点P做两腰的平行线分别与AB、AC交于点B PQ、R，又点P'是点P关于直线QR的对称点。求证：点P'在ABC的外接圆上。分析:例4、ABCD是圆内接四边形，AC是圆的直径，BD ± AC , AC与BD的交点为E,点F在DA的延长线上，连结BF ,点G在BA的延长线上，使得DG / BF，点H在GF的延长线上，CH ± GF.C例5、在左ABC的边AB、AC上分别取点Q、P，使得ZPBC = ZQCB =1 /A。求证:BQ = CP证明：B、E、F、H四点共圆。P'例 6、在梯形 ABCD 中，AD/BC，BC = BD = 1，AB = AC,CD v 1，且ZBAC + 匕BDC = 1800，求CD的长CG例7、在锐角aABC中AB丰AC, AD是高，H是AD上一点，联结8"并延长交AC于点E，联结 CH并延长交AB于F，已知B、C、E、F四点共圆，问：点H是否一定是a ABC的垂心？证明你 的结论例8、已知 ABC的重心G关于边BC的对称点是G '，证明：A、B、G C四点共圆的充要条件是 AB 2 + AC 2 = 2 BC 2/"aCK G'例9、若过一点的三个圆的三个不同的交点共线，则三个圆的圆心和它们的公共点共圆。E例10、已知凸五边形ABCDE中，/BAE = 3a , BC = CD = DE，且满足ZBCD = /CDE = 1800 - 2，求证：A、B、C、D、E 五点共圆例11、已知。A和。B相交于C、D，延长AC交。B于E，延长BC交。A于F，试证：C是DEF 的内心课后思考题：1、设D是等腰RtABC底边BC的中点，过C、D两点（但不过点A ）任作一圆交直线AC于E, 联结BE，交此圆于点，求证：AF 1 BE2、AB为。的直径，点C在。上且OC1 AB，P为。上一点，位于点B、C之间，直线CP 与AB的延长线交于点Q，过Q作直线与AB垂直，交直线AP于点R，求证：BQ = QRCABCD的内切圆，切边AB、BC、CD、DA的切点分别为ABCR，联结3、如图，在 ABC 中，AD 1 BC,BE 1 CA，CQ 1 PH，垂足为 Q，求证：PE2 = PH.PQCD、DA，点 E、F、G、H 分别为 AB、BC、CD、ii iiii ii 11D1 A1的中点，4、凸四边形AB、BC、i i i i求证：四边形EFGH为矩形的充分必要条件是A、B、C、D四点共圆5、如图，在锐角ABC中，AB<AC，AD是边BC上的高，P是线段AD内一点。过P作PELAC， 垂足为E，做PFLAB，垂足为F。OO2分别是BDF、CDE的外心。求证：O O2、E、F四 点共圆的充要条件为P是ABC的垂心。（2007全国高中联赛）四点共圆问题四点共圆是平面几何证题中一个十分有利的工具，四点共圆这类问题一般有以下两种形式：（3）证明某四点共圆或者以四点共圆为基础证明若干点共圆；（4）通过某四点共圆得到一些重要结论，进而解决问题下面给出与四点共圆有关的一些基本知识（7）若干个点与某定点的距离相等，则这些点在一个圆上；（8）在若干个点中有两点，其他点对这两点所成线段的视角均为直角，则这些点共圆；（9）若四点连成的四边形对角互补或有一外角等于它的内对角，则这四点共圆；（10）若点C、D在线段AB的同侧，且ZACB = ZADB，则A、B、C、D四点共圆；（11）若线段AB、CD交于E点，且AE.EB = CE.ED，则A、B、C、D四点共圆；（12）若相交线段PA、PB上各有一点C、D，且PA.PC = PB.PD，则A、B、C、D四点共圆。 四点共圆问题不但是平面几何中的重要问题，而且是直线形和圆之间度量关系或者位置关系相互转化的媒介。例1、已知PQRS是圆内接四边形，ZPSR = 900，过点q作PR、PS的垂线，垂足分别为点H、K求证：HK平分QS证法一：利用P、K、H、Q四点共圆从而得出ZTKS=ZQRP = ZTSK然后得出ZTKQ=ZTQK进而证明TS = TK = TQ证法二：利用P、K、H、Q四点共圆得出G、K、S、Q四点共圆进而有四边形GSKQ为矩形例2、给定锐角ABC，以AB为直径的圆与边AB上的高线CC及其延长线交于点M、N，以AC为直径的圆与AC上的高线BB'及其延长线交于点P、Q。证明：M、P、N、Q四点共圆。证法一：设MN、PQ交于点D则DPDQ = DCDC' DN.DM = DB.DB'，又易知B、B'、C、C'四点共圆则 DPDQ = DC.DC' = DB.DB '=DNDM故M、P、N、Q四点共圆。证法二：利用射影定理有AM2 = ACAB，AP2 = ACAB'；又易知B、B'、C、C'四点共圆则AM = AP，又 AP = AQ，AM = AN，故 AP = AQ =AM = AN，故M、P、N、Q 四点共圆证法三：AM 2 = AC AB，AP 2 = ACAB'；而 AC ' = ACcos ZBAC，AB ' = AB cos ZBAC ；以 下同证法二例3、在等腰 ABC中，P为底边BC上任意一点，过点P做两腰的平行线分别与AB, AC交于点Q、R，又点P'是点P关于直线QR的对称点。求证：点尸'在左ABC的外接圆上。分析：此题即证明A、P'、B、C四点共圆，于是只需证明ZBP'C = ZBAC o 证法一：先证RP = RP，= RC、QP = QP* = QB ；由此ZPP'C = -/A;ZBP'P = - AA ；从而 ABPPC = ABAC 点 P'ABC 的外接圆上b。22例4、ABCD是圆内接四边形，AC是圆的直径，BD 1 AC， AC与BD的交点为E,点F在DA 的延长线上，连结BF，点G在BA的延长线上，使得DG / BF，点H在GF的延长线上，CH 1GF. 证明：B、E、F、H四点共圆。提示：由 BAGAD及 ABE3CD得FA AC=，又/FAE = /CAG ；故左FAE KAGEA AG故/AFE = /ACG=ZABD于是B、E、F、H四点共圆C例5、在左ABC的边AB、AC上分别取点Q、P，使得/PBC =/QCB = 1 /A。求证：BQ = CP提示：B、P'、C、Q 四点共圆；再又ZP'BC = ZPBC = ZQCB得QC/BP'；于是BQ = P'C = CP说明：ZBQC和ZCPB是对线段BC的两个视角，当点P、Q在BC的P'F两侧时B、Q、P、C四点共圆；当点P、Q在BC的同侧时，常常做对称点，然后便有四点 共圆了，这会给解题带来极大的方便 例 6、在梯形 ABCD 中，AD/BC，BC = BD = 1，AB = AC,CD < 1，且ABAC + ABDC = 1800，求 CD 的长 提示：设 CE = CD = x ； AF = FE = m ；由 A、B、E、C 四点共圆 DB得AF.FE = BF.FC ；设CF = y ；则m2 = y(1 y)；又 /CBE = /ACF = /ABC =/AEC ；故左BFE pACE ；因此竺=生=生；故2m2 =x ； AE AC EC又由角平分线性质凳=笑=-；故y = CF = 一= 可解得CD = x =1 1CF CE xx +1定是aABC的垂心？证明你BG例7、在锐角aABC中AB主AC, AD是高，H是AD上一点，联结BH并延长交AC于点E，联结 CH并延长交AB于F，已知B、C、E、F四点共圆，问：点H是 的结论提示：H 一定是AABC的垂心；在AD延长线上取一点G使得AH.AG = AF.AB = AAC，再证明G、D重合例8、已知ABC的重心G关于边BC的对称点是G '，证明：A、B、 是 AB 2 + AC 2 = 2 BC 2提示：A、B、G'、C四点共圆则A、E、G、F四点共圆，在BC上 取一点S使得E、G、S、C四点共圆，再证明F、G、S、B四点共圆 然后便得出AB2 + AC2 = 2BC2，反之，在AD延长线上取一点K使得DG = DK,然后证明A、B、K、C四点共圆即可例9、若过一点的三个圆的三个不同的交点共线，则三个圆的圆心和它们的公共点共圆I" 提示：如图，11/。只=-OC = ZOBC = ZOBA =亏 OA = 2OO。E故。、。1、O。3四点共圆 例10、已知凸五边形ABCDE中，ZBAE = 3a , BC = CD = DE，且满足ZBCD = ZCDE = 1800 2a，求证：A、B、C、D、E 五点共圆提示：如图，ZCBD = ZCDB =1G-ZBCD )=1G -ZCDE ) = a = ZDCE = ZCED 22于是B、C、D、E 四点共圆；ZBCE = K-ZDCE =兀一3a ；故ZBCE + ZBAE =兀于是A、B、C、E四点共圆；于是A、B、C、D、E五点共圆例11、已知。A和。B相交于C、D，延长AC交。B于E，延长BC交。A于F，试证：C是DEF的内心提示：如图，ZAFC = ZACF,ZACB = ZADB 故 ZAFB + ZADB = 1800，A、F、D、B 四点共圆，同理 A、E、D、B，故 A、E、D、B、F 五点共圆，于是 /DFB = /EFB, ZFEA = ZDEA于是C是DEF的内心1、设D是等腰RABC底边BC的中点，过C、D两点(但不过点A)任作一圆交直线AC于E， 联结BE，交此圆于点F，求证：AF 1 BE2、AB为。O的直径，点C在OO上且OC1 AB , P为OO上一点，位于点B、C之间，直线CP 与AB的延长线交于点Q，过Q作直线与AB垂直，交直线AP于点R，求证：BQ = QRP为边AB的中点，过点C作3、如图，在 ABC 中，AD 1 BC,BE 1 CA，AD 与 BE交于点 H，CQ 1 PH，垂足为Q，求证：PE2 = PH.PQ提示：连结QE、CH，易知/ABE = /ACH注意到AP = BP = EP所以 /ABE = /PEB 从而 ZACH =/PEB，易知 C、H、E、Q Q四点共圆，所以/EQH =ZACH，从而ZEQH = ZPEB =/PEH又ZQPE = ZEPH，所以 QPE &EPH，故PE2 = PHPQ4、凸四边形ABCD的内切圆，切边AB、BC、CD、DA的切点分别为A, % % Di，联结AB、BC、CD、DA，点 E、F、G、H 分别为 AB、BC、CD、DA 的中点，i i i i i i i ii i i i i i i i求证:提示:四边形EFGH为矩形的充分必要条件是A、B、C、D四点共圆 如图，易知点H在AI上，且AI1 AD，又ID 1 AD由射影定理得HIA = ID： = r2，其中r为内切圆半径，同理IE.IB =”,于是IH.IA = IE.IB，所以 A、H、B、E 四点共圆，所以 ZEHI = ZABE，类似的，ZIHG = ZADG,ZIFE = ZCBE,ZIFG = ZCDG，将这四个式子相加得ZEHG + ZEFG = ZABC + ZADC，所以A、B、C、D四点共圆的充要条件是E、F、G、H四点共圆，而熟知一个四边形各边中点围成的四边形是平行四边形，平行四边形为矩 形的充要条件是该四边形的四个顶点共圆，由此四边形EFGH为矩形的充分必要条件是 A、B、C、D四点共圆5、如图，在锐角MBC 中, AB<AC，AD是边BC上的高，P是线段AD内一点。过P作PEVAC， 垂足为E，做PHLAB，垂足为F。01、02分别是»"、»£的外心。求证：O1、O2、E、F四 点共圆的充要条件为P是ABC的垂心。(2007全国高中联赛)证明：连结 BP、CP、OO2、EO2、EF、FO。因为 PD±BC，PF±AB，故 B、D、P、F 四点共圆，且 BP为该圆的直径。又因为Oi是BDF的外心，故Oi在BP上且是BP的中点。同理可证C、D、P、 E四点共圆，且O2是的CP中点。综合以上知OiO2 BC，所以匕PO2Oi= / PCB。因为 AFAB=APAD=AEAC，所以 B、C、E、F 四点共圆。充分性：设P A ABC的垂心，由于PEL AC，PF±AB，所以B、Oi> P、E四点共线，C、O2、P、F 四点共线，工FO2O=ZFCB=ZFEB=ZFEO，故 O、O2、E、F 四点共圆。必要性：设O、O2、E、F四点共圆，故匕OiO2E+NEFOi=i8O。由于ZPO2Oi= ZPCB= ZACB-ZACP，又因为O2是直角ACEP的斜边中点，也就是ACEP的外心， 所以ZPO2E=2ZACP。因为Oi是直角ABFP的斜边中点，也就是ABFP的外心，从而ZPFO=9O°- ZBFO=9O°-ZABP。因为 B、C、E、F 四点共圆，所以ZAFE=ZACB，ZPFE=90°-ZACB。于是， 由 ZOiO2E+ZEFOi=i8O° 得(/ACB-/ACP)+2/ACP+(90°-/ABP)+(90°-/ACB)=i80°，即匕ABP= /ACP。又因为 ABvAC， ADLBC，故 BDvCD。设B是点B关于直线AD的对称点，则8在线段DC上且BD=BD。连结AB PBL由对称性，有ZABfP=ZABP，从而/AB'P=/ACP，所以A、P、B'、C四点共圆。由此可知ZPBfB= ZCAP=90°-ZACB。因为 ZPBC=ZPB'B，故ZPBC+ZACB=(90°-ZACB)+ZACB=90。，故直线BP和AC垂直。由题设P在边BC的高上，所以 P是ABC的垂心。