南大数值分析课件167;3厄米插值.ppt
3 厄米插值/*Hermite Interpolation*/,不仅要求函数值重合，而且要求若干阶导数也重合。即：要求插值函数(x)满足(xi)=f(xi),(xi)=f(xi),(mi)(xi)=f(mi)(xi).,注：N 个条件可以确定 阶多项式。,N 1,一般只考虑 f 与f 的值。,3 Hermite Interpolation,例：设 x0 x1 x2,已知 f(x0)、f(x1)、f(x2)和 f(x1),求多项式 P(x)满足 P(xi)=f(xi)，i=0,1,2，且 P(x1)=f(x1),并估计误差。,模仿 Lagrange 多项式的思想，设,解：首先，P 的阶数=,3,h0(x),有根,x1,x2，且 h0(x1)=0 x1 是重根。,又:h0(x0)=1 C0,h2(x),h1(x),有根 x0,x2,由余下条件 h1(x1)=1 和 h1(x1)=0 可解。,与h0(x)完全类似。,有根 x0,x1,x2,与 Lagrange 分析完全类似,3 Hermite Interpolation,例1,3 Hermite Interpolation,一般地，已知 x0,xn 处有 y0,yn 和 y0,yn，求 H2n+1(x)满足 H2n+1(xi)=yi，H2n+1(xi)=yi。,解：设,hi(x),由余下条件 hi(xi)=1 和 hi(xi)=0 可解Ai 和 Bi,有根 x0,xn,除了xi 外都是2重根,这样的Hermite 插值唯一,3 Hermite Interpolation,例2,3 Hermite Interpolation,斜率=1,求Hermite多项式的基本步骤：,根据多项式的总阶数和根的个数写出表达式；,根据尚未利用的条件解出表达式中的待定系数；,最后完整写出H(x)。,HW:p.120-121#21，#22，#23,4 分段低次插值/*piecewise polynomial approximation*/,Remember what I have said?Increasing the degree of interpolating polynomial will NOT guarantee a good result,since high-degree polynomials are oscillating.,例：在5,5上考察 的Ln(x)。取,n 越大，端点附近抖动越大，称为Runge 现象,4 Piecewise Polynomial Approximation,分段线性插值/*piecewise linear interpolation*/,在每个区间 上，用1阶多项式(直线)逼近 f(x):,分段Hermite插值/*Hermite piecewise polynomials*/,How can we make a smooth interpolation without asking too much from f?Headache,5 三次样条/*Cubic Spline*/,注：三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别在于S(x)自身光滑，不需要知道 f 的导数值（除了在2个端点可能需要）；而Hermite插值依赖于f 在所有插值点的导数值。,f(x),H(x),S(x),5 Cubic Spline,构造三次样条插值函数的三弯矩法/*method of bending moment*/,对每个j,此为3次多项式,则 Sj”(x)为 次多项式，需 个点的值确定之。,1,2,设 Sj”(xj1)=Mj1，Sj”(xj)=Mj,对应力学中的梁弯矩，故名,对于x xj1,xj 可得到,Sj”(x)=,积分2次，可得 Sj(x)和 Sj(x)：,5 Cubic Spline,下面解决 Mj：,利用S 在 xj 的连续性,xj1,xj:Sj(x)=,xj,xj+1:Sj+1(x)=,j,1,n1,即：有 个未知数，个方程。,n1,n+1,还需2个边界条件/*boundary conditions*/,5 Cubic Spline,第1类边条件/*clamped boundary*/：S(a)=y0，S(b)=yn,类似地利用 xn1,b 上的 Sn(x),第2类边条件：S”(a)=y0”=M0，S”(b)=yn”=Mn,这时：,特别地，M0=Mn=0 称为自由边界/*free boundary*/，对应的样条函数称为自然样条/*Natural Spline*/。,第3类边条件/*periodic boundary*/：当 f 为周期函数时，yn=y0，S(a+)=S(b)M0=Mn,5 Cubic Spline,注：另有三转角法得到样条函数，即设 Sj(xj)=mj，则易知xj1,xj 上的Sj(x)就是Hermite函数。再利用S”的连续性，可导出关于mj 的方程组，加上边界条件即可解。,Cubic Spline 由boundary conditions 唯一确定。,即:提高精度只须增加节点,而无须提高样条阶数。,稳定性：只要边条件保证|0|,|0|,|n|,|n|2，则方程组系数阵为SDD阵，保证数值稳定。,HW:p.204#24#25,5 Cubic Spline,Sketch of the Algorithm:Cubic Spline 计算 j,j,gj;计算 Mj(追赶法等);找到 x 所在区间(即找到相应的 j);由该区间上的 Sj(x)算出 f(x)的近似值。,5 Cubic Spline,5 Cubic Spline,5 Cubic Spline,
