二次型与二次曲面.ppt
2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,1,第六章,二次型与二次曲面,3 惯性定理与规范性,2 二次型的标准形,1 二次型的基本概念,4 正定二次型与正定矩阵,5 曲面及其方程,6 空间曲线及其方程,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,2,第一节 二次型的基本概念,定义,一、二次型及其矩阵,称为一个(n元)二次型.,本书只讨论实二次型，即系数全是实数的二次型。,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,3,于是上述二次型可以写成如下求和形式,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,4,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,5,记,则上述二次型可以用矩阵形式表示为,A称为二次型 的矩阵。,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,6,A的秩称为该二次型的秩。,A称为二次型 的矩阵。,A是一个实对称矩阵。,事实上，由一个实对称矩阵也可构造唯一的实二次型，也就是说，实二次型与实对称矩阵是互相唯一确定的，所以，研究二次型的性质可以转化为研究它的矩阵A所具有的性质。,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,7,例1,设二次型,求二次型的矩阵A和二次型的秩。,解,所以r(A)=3，即二次型的秩等于3。,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,8,例2,求二次型,的矩阵A和二次型的秩，,解,所以二次型 f 的矩阵为,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,9,二、线性变换,在平面解析几何中，为了确定二次方程,所表示的曲线的性态，通常利用转轴公式：,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,10,定义,关系式,记,则上述线性变换可以写成矩阵形式：,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,11,C 称为该线性变换的矩阵。,如果C 为正交矩阵，则此线性变换称为正交变换。,容易验证，转轴公式,是一个正交变换。,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,12,三、矩阵的合同关系,由于C是可逆矩阵，所以A和B秩相等,从而两个二次型的秩相等。,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,13,定义,与矩阵的相似关系类似，矩阵之间的合同关系也具有以下性质。,(1)反身性：,(2)对称性：,(3)传递性：,证明,只证(3)，其余留作练习。,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,14,第二节 二次型的标准形,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,15,一、二次型的标准形,定义,下面介绍二次型化为标准形的方法。,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,16,1、用正交变换法化二次型为标准形,定理,任何二次型都可以通过正交变换化为标准形。,而由正交阵性质可知，,因此这样的正交,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,17,用正交变换化二次型为标准形的具体步骤：,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,18,例1 用正交变换将二次型,解,化为标准形，并求所作的正交变换。,二次型的矩阵,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,19,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,20,再单位化，合在一起，即得所求正交变换的矩阵,正交化，,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,21,于是所求正交变换为,标准形为,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,22,解,化为标准形，并求所作的正交变换。,二次型的矩阵,例2 用正交变换将二次型,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,23,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,24,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,25,正交化，,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,26,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,27,再单位化，合在一起，即得所求正交变换的矩阵,所作正交变换为,标准形为,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,28,例3,解,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,29,由题意,这两个矩阵相似,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,30,第三节 惯性定理与二次型的规范形,一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的。,但是，标准形中系数不为零的项数是确定的，项数等于二次型的秩,实际上，不仅标准形中的非零系数的个数是确定的，其中正的系数个数和负的系数个数也被原二次型所确定，这就是下面的“惯性定理”。,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,31,定理(惯性定理),p为正惯性指数,正负惯性指数的差 称为二次型的符号差.,为负惯性指数,无论用何种可逆线性变换把它化为标准形,其中正的系数个数(称正惯性指数)和负的系数个数(称负惯性指数)唯一确定.,证略,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,32,继续作可逆线性变换，,矩阵形式为,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,33,二次型化为,称之为二次型的规范形.,定理 任一二次型都可以通过可逆线性变换化为规范形,且规范形是唯一的.,化二次型为规范形时，所作的线性变换不一定是正交变换。,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,34,定理 任一实对称矩阵 A 与对角阵,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,35,推论 两个 n 阶实对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩和正惯性指数分别相等。,第四节 正定二次型与正定矩阵,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,36,一、基本概念,定义,如果二次型的取值有正有负，就称为不定二次型。,设 A 为实对称矩阵，,对任意非零向量X，,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,37,二、正定矩阵、正定二次型的判别,由定义，可得以下结论：,充分性是显然的；下面用反证法证必要性：,代入二次型，得,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,38,由上述两个结论可知，研究二次型的正定性，只要通过非退化线性变换，将其化为标准形，就容易由以下定理判别其正定性。,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,39,定理,准则1,实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的特征值,全为正。,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,40,解,例1 判别二次型,是否正定。,二次型对应的矩阵为,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,41,全为正，,因此二次型正定。,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,42,准则2,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,43,解,例2 判别二次型,是否正定。,二次型对应的矩阵为,它的顺序主子式为：,因此 A是正定的，,即二次型 f 正定。,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,44,解,例3 设有实二次型,问 t 取何值时，该二次型为正定二次型？,f 的矩阵为,顺序主子式为：,解得,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,45,三、正定矩阵的性质,1、若 A 为正定矩阵，则 A 的行列式为正，因而可逆。,其中 k 为正整数。,这是因为：,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,46,3、若 A 为正定矩阵，则 A 的主对角元全为正。,证,4、若 A 和 B 为正定矩阵，则 A+B 也为正定矩阵。,证,对任意非零向量X，,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,47,5、实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵P，使得,实际上，正定二次型的规范形为,即A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E，,即存在可逆矩阵P，使,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,48,证,因为,于是,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,49,类似结论有：,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,50,显然，A是负定（半负定）的当且仅当-A是正定（半正定）的。由此，容易得出以下结论：,（2）A负定的充分必要条件是A的特征值全负；,（3）A半负定的充分必要条件是A的特征值非正；,（4）A负定的充分必要条件是A的奇数阶顺序主子式全为负而偶数阶顺序主子式全为正；,（1）A半正定的充分必要条件是A的特征值非负；,（5）若A负定，则A的对角元全为负。,注意:1.最后一条只是必要条件。,2.A的顺序主子式全非负，A也未必是半正定的。,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,51,例4 设矩阵,显然A的顺序主子式,但对角元有正有负，显然A是不定的。,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,52,例5,判定下列二次型是否为有定二次型。,解,(1)f 的矩阵为,顺序主子式,所以 f 是负定的。,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,53,例5,判定下列二次型是否为有定二次型。,(2)f 的矩阵为,顺序主子式,所以 f 是不定的。,解,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,54,备用例题,1、,解,C是正定的。,且C是实对称阵，故C是正定矩阵。,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,55,证,必要性：,充分性:,将上述过程逆推,即可得证.,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,56,四、二次曲面,第五节,一、曲面方程的概念,二、旋转曲面,三、柱面,曲面及其方程,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,57,一、曲面方程的概念,求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的,化简得,即,说明:动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.,引例:,显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程.,解:设轨迹上的动点为,轨迹方程.,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,58,定义1.,如果曲面 S 与方程 F(x,y,z)=0 有下述关系:,(1)曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;,则 F(x,y,z)=0 叫做曲面 S 的方程,曲面 S 叫做方程 F(x,y,z)=0 的图形.,两个基本问题:,(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2)不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.,(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状,(必要时需作图).,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,59,故所求方程为,例1.求动点到定点,方程.,特别,当M0在原点时,球面方程为,解:设轨迹上动点为,即,依题意,距离为 R 的轨迹,表示上(下)球面.,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,60,例2.研究方程,解:配方得,此方程表示:,说明:,如下形式的三元二次方程(A 0),都可通过配方研究它的图形.,其图形可能是,的曲面.,表示怎样,半径为,的球面.,球心为,一个球面,或点,或虚轨迹.,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,61,定义2.一条平面曲线,二、旋转曲面,绕其平面上一条定直线旋转,一周,所形成的曲面叫做旋转曲面.,该定直线称为旋转,轴.,例如:,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,62,建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:,故旋转曲面方程为,当绕 z 轴旋转时,若点,给定 yoz 面上曲线 C:,则有,则有,该点转到,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,63,思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,64,例3.试建立顶点在原点,旋转轴为z 轴,半顶角为,的圆锥面方程.,解:在yoz面上直线L 的方程为,绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为,两边平方,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,65,例4.求坐标面 xoz 上的双曲线,分别绕 x,轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.,解:绕 x 轴旋转,绕 z 轴旋转,这两种曲面都叫做旋转双曲面.,所成曲面方程为,所成曲面方程为,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,66,三、柱面,引例.分析方程,表示怎样的曲面.,的坐标也满足方程,解:在 xoy 面上，,表示圆C,沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆,故在空间,过此点作,柱面.,对任意 z,平行 z 轴的直线 l,表示圆柱面,在圆C上任取一点,其上所有点的坐标都满足此方程,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,67,定义3.,平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成,的轨迹叫做柱面.,表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;,准线为xoy 面上的抛物线.,z 轴的椭圆柱面.,z 轴的平面.,表示母线平行于,(且 z 轴在平面上),表示母线平行于,C 叫做准线,l 叫做母线.,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,68,一般地,在三维空间,柱面,柱面,平行于 x 轴;,平行于 y 轴;,平行于 z 轴;,准线 xoz 面上的曲线 l3.,母线,柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.,母线,准线 yoz 面上的曲线 l2.,母线,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,69,四、二次曲面,三元二次方程,适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅,就几种常见标准型的特点进行介绍.,研究二次曲面特性的基本方法:截痕法,其基本类型有:,椭球面、抛物面、双曲面、锥面,的图形通常为二次曲面.,(二次项系数不全为 0),2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,70,1.椭球面,(1)范围：,(2)与坐标面的交线：椭圆,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,71,与,的交线为椭圆：,(4)当 ab 时为旋转椭球面;,同样,的截痕,及,也为椭圆.,当abc 时为球面.,(3)截痕:,为正数),2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,72,2.抛物面,(1)椭圆抛物面,(p,q 同号),(2)双曲抛物面（鞍形曲面）,特别,当 p=q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.,(p,q 同号),2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,73,3.双曲面,(1)单叶双曲面,椭圆.,时,截痕为,(实轴平行于x 轴；,虚轴平行于z 轴）,平面,上的截痕情况:,双曲线:,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,74,虚轴平行于x 轴）,时,截痕为,时,截痕为,(实轴平行于z 轴;,相交直线:,双曲线:,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,75,(2)双叶双曲面,双曲线,椭圆,注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:,双曲线,单叶双曲面,双叶双曲面,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,76,4.椭圆锥面,椭圆,在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线.,可以证明,椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上.,(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换,得到。),2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,77,例8.直线,绕 z 轴旋转一周,求此旋转,转曲面的方程.,提示:,在 L 上任取一点,旋转轨迹上任一点,则有,得旋转曲面方程,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,78,例9.求一正交变换，将二次型,解,对应特征向量为,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,79,再单位化，合在一起，即得所求正交变换的矩阵,二次型的标准形,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,80,一、空间曲线的一般方程,二、空间曲线的参数方程,三、空间曲线在坐标面上的投影,第六节,空间曲线及其方程,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,81,一、空间曲线的一般方程,空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组,例如,方程组,表示圆柱面与平面的交线 C.,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,82,又如,方程组,表示上半球面与圆柱面的交线C.,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,83,二、空间曲线的参数方程,将曲线C上的动点坐标x,y,z表示成参数t 的函数:,称它为空间曲线的 参数方程.,例如,圆柱螺旋线,的参数方程为,上升高度,称为螺距.,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,84,例1.将下列曲线化为参数方程表示:,解:(1),根据第一方程引入参数,(2)将第二方程变形为,故所求为,得所求为,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,85,例2.求空间曲线:,绕 z 轴旋转,时的旋转曲面方程.,解:,点 M1绕 z 轴旋转,转过角度 后到点,则,这就是旋转曲面满足的参数方程.,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,86,例如,直线,绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为,消去 t 和,得旋转曲面方程为,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,87,绕 z 轴旋转所得旋转曲面(即球面)方程为,又如,xoz 面上的半圆周,说明:一般曲面的参数方程含两个参数,形如,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,88,三、空间曲线在坐标面上的投影,设空间曲线 C 的一般方程为,消去 z 得投影柱面,则C 在xoy 面上的投影曲线 C为,消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程,消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,89,例如,在xoy 面上的投影曲线方程为,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,90,又如,所围的立体在 xoy 面上的投影区域为:,上半球面,和锥面,在 xoy 面上的投影曲线,二者交线,所围圆域:,二者交线在,xoy 面上的投影曲线所围之域.,2023/6/2,南京邮电大学 邱中华,91,例3.,求平面曲线,绕 z 轴旋转的曲面与平面,的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.,解：,旋转曲面方程为,交线为,此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为,此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为,它与所给平面的,
