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第七节 初等函数的连续性与 连续函数的性质,一、连续函数的运算性质,二、初等函数的连续性,三、闭区间上连续函数的性质,第一章函数与极限,一、连续函数的运算性质,四则运算性质,定理1 若函数f(x),g(x)在点x0皆连续，那么函数在点x0也是连续的,利用连续函数的定义及函数极限的四则运算性质很容易得到,例1 由于函数y=sinx，y=cosx在 整个实数范围内都是连续的，因此三角函数 在其定义域内都是连续的,所有的三角函数在其定义域内都是连续的.,2反函数的连续性,定理2 若函数y=f(x)在区间Ix上单调增加 且连续,那么它的反函数x=f-1(y)在区间Iy上单调增加 且连续，其中Iy=y|y=f(x),xIx.,由此我们有下面的,(或单调减少),(或单调减少),例2 由于函数y=sinx在 内单调增加且连续，由定理2，它的反函数y=arcsinx在闭区间-1,1上也是单调增加且连续的,以此类推,所有的反三角函数在其定义域内都是连续的.,由于对任意的x0，即指数函数 在定义域内是连续的，同时，它也是单调的因此，由定理2，它的反函数 在 内也是连续的且单调的,所有的指数函数和对数函数在其定义域内都是连续的.,3复合函数的连续性,定理3(1)设函数y=fg(x)是由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成,且在x0的某邻域U(x0)内有定义(2)函数u=g(x)在点x0连续,(3)函数y=f(u)在点u0连续，其中g(x0)=u0.则复合函数y=fg(x)在点x0也连续.即有,例3 证函数y=sin(x+1),y=cos(x-2)2在实数范围内都是连续的,证明 函数y=sin(x+1)是由y=sinu和u=x+1复合而成的,函数y=cos(x-2)2是由y=cosu和u=v2及v=x-2复合而成的,由复合函数的连续性，它们都是连续的.,定理3的简单表述,对复合函数fg(x)，若g在x0点连续，f在点u0=g(x0)连续，则有,f连续,g连续,该如何利用前面的结论来说明幂函数的连续性？,例4 幂函数y=x在(0,+)是连续的,y=x=e lnx由指数函数y=eu及对数函数u=lnx复合而成.,证明,而y=eu及u=lnx都是连续的,由定理3,幂函数y=x在区间(0,+)内连续,该函数由lnu和 复合而成，lnu是连续的，但 在x=0处是不连续的，因而不能直接使用定理3下面的定理4是定理3的推广.,定理4 设有复合函数y=fg(x)，函数g(x)在x0点的某去心邻域内有定义，且，而函数f在点y0连续则有,定理4的简单表述,您看出来定理3与定理4的区别了吗?观察两定理的简述中的式子,您看它们有什么特点?您有何考虑?,它们的区别在于对内层函数的要求不同,定理3中要求内层函数连续,而定理4中仅要求内层函数极限存在.从两个式子可以看出若函数连续,则极限号可以移到函数符号里面.,当“外”函数连续时，有,f连续,于是,g不一定连续,f连续,g连续,解,分析 函数 是如何复合的,它们都连续吗?,例5 求,显然该函数是由两个连续函数 与 复合而成的，,这里用的是哪个定理？为什么？,因此,注 把定理4中的 换为，而其他不变，结论仍成立，,例6 求 并求,分析 第一个式子分母中的x应如何处理?第二题与第一题之间有何联系？,解,对 令ax-1=t，,则x=loga(1+t),并且x0时t0,于是,这里用的是哪个定理？为什么？,解,分析 该式可通过适当的变形将其和第二个重要极限联系起来.,例7 求,因此,这里用的是哪个定理？为什么？,一般地，对形如 的函数（通常称为幂指函数），如果,那么,其中 都是自变量的同一变化过程中的极限,二、初等函数的连续性,基本初等函数在其定义域内都是连续的,一切初等函数在其定义区间内都是连续的,例如 上面的例5，求，根据复合函数的连续性，我们知道 在 点是连续的，而且，因此有,利用连续的定义，若y=f(x)在x0点连续，如果要求函数y=f(x)在xx0时的极限，那么由,就把求极限的问题就转化为求函数值的问题了,例9的整个解题过程,可以认为分两步,您看是哪两步?通过本题的解法,有何体会?,解,=,第一步 通过变形“去掉”可去间断点;第二步 对连续函数求极限.,例9 求,分析 函数在x=0点连续吗？是否可以将其转化为求连续函数的极限？,三、闭区间上连续函数的性质,有界性与最大值、最小值定理,从这个图形可以看到,在闭区间上连续的函数是有界的,而且能够取到最大和最小值，这就是定理5.,定理1中的“闭区间”,“连续”两个条件能不能缺少?,缺一不可!,定理1 在闭区间上连续的函数在该区间上有界，并且在该区间上，它取得最大值与最小值.,再如，函数,该函数在 x=1 处不连续,在定义区间0,2上虽有界,但取不到最大值和最小值.,定理1 在闭区间上连续的函数在该区间上有界，并且在该区间上，它取得最大值与最小值.,注：若f(x0)=0，称x0为函数 f(x)的零点.,定理2(零点定理)设函数y=f(x)在闭区间a,b上连续，,在区间两端点上的函数值分别f(a)为和f(b)，且f(a)f(b)0.,那么，在区间(a,b)内至少存在一点，使得f()=0,2零点定理与介值定理,证,要证方程f(x)=0在一个区间上有实根相当于求函数f(x)在这个区间上有零点。因此利用零点定理，关键是要找到函数f(x)和相应的(闭)区间.,例10 证明x3-x2-1=0在区间(0,2)内至少有一个根,令f(x)=x3-x2-1,它在 0,2上连续,且 f(0)=-10.,由推论2,在区间(0,2)内至少存在一点,使得f()=0也就是,这说明方程x3-x2-1=0在区间(0,2)内至少有一个根,讨论：方程的根与零点有关系吗？利用零点定理，我们需要做是什么？,函数和区间应该怎么找?您有何考虑?,证明方程,有一小于2的正根”,即要证明函数f(x)=x3-x2-1有一小于2的正零点,这个闭区间可以考虑0,2.,定理3（介值定理）设函数y=f(x)在闭区间a,b上连续，在该区间的两端点处分别取值A,B(AB)，那么对A,B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少存在一点，使得f()=C.,不仅如此，如果把区间两端点改为最大最小值点，有,推论与定理3，两者的区别是什么?,推论 闭区间上的连续函数必取得介于其最大值与最小值之间的任意一个值,一个是取得介于两端点处函数值之间的任意值,另一个是取得介于最大值和最小值之间的任意值.,定理3（介值定理）设函数y=f(x)在闭区间a,b上连续，在该区间的两端点处分别取值A,B(AB)，那么对A,B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少存在一点，使得f()=C.,
