二次函数全部课件.ppt

第二十六章 二次函数,26.1.1 二次函数的意义,创设情境，导入新课,（2）你们知道：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？,（1）你们喜欢打篮球吗？,问题：,二次函数,讨论与思考：,1、正方形的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x，表面积为y，显然对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，他们的具体关系是可以表示为什么？,2、多边形的对角线数d与边数n有什么关系？,3、某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量。如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？,y=6x2,即,y=20(1+x)2,即,y=20 x2+40 x+20,x,y,y,d,x,x,n,观察与发现,认真观察以上出现的三个函数解析式，分别说出哪些是常数、自变量和函数,这些函数有什么共同点？,这些函数自变量的最高次项都是二次的！,二次函数的定义：,注意：,1、其中，x是自变量，ax2是二次项，a是二次项系数 bx是一次项，b是一次项系数 c是常数项。,归纳与总结,2、函数的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项.,一次函数,正比例函数,反比例函数,二次函数,这些函数的名称度反映了函数表达式与自变量的关系。,1.下列函数中,哪些是二次函数？,(1)y=3(x-1)+1,(3)s=3-2t,(5)y=(x+3)-x,(6)v=10r,（是）,（否）,（是）,（否）,（否）,（是）,(7)y=x+x+25,(8)y=2+2x,（否）,（否）,(2),1.下列函数中,哪些是二次函数?,抓住机遇 展示自我,是,不是,是,不是,先化简后判断,、下列函数中，哪些是二次函数？,(),(),(),否,是,否,否,(),是,(),知识运用,、下列函数中，哪些是二次函数？(1)y=3x-1(2)y=3x2(3)y=3x3+2x2(4)y=2x2-2x+1(5)y=x-2+x(6)y=x2-x(1+x),例1、判断：下列函数是否为二次函数，如果是，指出其中常数的值.(1)y1-(2)yx(x5)(3)y x2 x1(4)y3x(2x)3x2(5)y(6)y(7)y x42x21(8)yax2bxc,例1:关于x的函数 是二次函数,求m的值.,解:由题意可得,注意:二次函数的二次项系数不能为零,练习、m取何值时，函数是y=(m+1)x+(m-3)x+m 是二次函数？,知识运用,练习2、请举1个符合以下条件的y关于x的二次函数的例子,练一练:,（1）二次项系数是一次项系数的2倍，常数项为任意值。,（2）二次项系数为-5，一次项系数为常数项的3倍。,展示才智,3、若函数 为二次函数，求m的值。,解：因为该函数为二次函数，则,解（1）得：m=2或-1,解（2）得：,所以m=2,(2)它是一次函数？,(3)它是正比例函数？,(1)它是二次函数?,超级链接,如果函数y=(k-3)+kx+1是二次函数,则k的值一定是_,敢于创新,0,如果函数y=+kx+1是二次函数,则k的值一定是_,0,3,知识的升华,已知函数(1)k为何值时，y是x的一次函数？(2)k为何值时，y是x的二次函数？,例2、当m为何值时，函数y(m2)xm224x5是x的二次函数,m-20且m2-2=2m2 m=2 m=-2,练习：y(m3)xm2m4(m2)x3，当m为何值时，y是x的二次函数？,m=2,小试牛刀,圆的半径是1cm,假设半径增加xcm时,圆的面积增加ycm.（1）写出y与x之间的函数关系表达式；（2）当圆的半径分别增加1cm,2cm时,圆的面积增加多少？,在种树问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多？,60375,60420,60455,60480,60495,60500,60495,60480,60455,60420,60375,问题再探究,y=-5x+100 x+60000,你能根据表格中的数据作出猜测吗？,你发现了吗？,回味无穷,定义中应该注意的几个问题:,1.定义：一般地,形如y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a0)的函数叫做x的二次函数.y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a0)的几种不同表示形式:(1)y=ax(a0,b=0,c=0,).(2)y=ax+c(a0,b=0,c0).(3)y=ax+bx(a0,b0,c=0).2.定义的实质是：ax+bx+c是整式,自变量x的最高次数是二次,自变量x的取值范围是全体实数.,例2写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；（2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；（3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系,（2）由题意得 其中y是x的二次函数；,（3）由题意得 其中S是x的 二次函数,解:（1）由题意得 其中S是a的二次函数；,例3:已知关于x的二次函数,当x=1时,函数值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的解析试.,待定系数法,4.已知二次函数y=x+px+q,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为-5,求这个二次函数的解析式.,牛刀小试,5.已知二次函数,当x=1时,函数y有最小值为4,x取任意实数,（1）你能说出此函数的最小值吗？,（2）你能说出这里自变量能取哪些值呢？,开动脑筋,注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必须根据题意确定自变量的取值范围.,其中自变量x能取哪些值呢？,问题：是否任何情况下二次函数中的自变量的取值范围都是任意实数呢？,试一试:要用长20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，设连墙的一边为x,巨形的面积为y,试(1)写出y关与x的函数关系式.(2)当x=3时,距形的面积为多少?,(ox10),小试牛刀,圆的半径是1cm,假设半径增加xcm时,圆的面积增加ycm.（1）写出y与x之间的函数关系表达式；（2）当圆的半径分别增加1cm,2cm时,圆的面积增加多少？,在种树问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多？,60375,60420,60455,60480,60495,60500,60495,60480,60455,60420,60375,问题再探究,y=-5x+100 x+60000,你能根据表格中的数据作出猜测吗？,你发现了吗？,回味无穷,定义中应该注意的几个问题:,1.定义：一般地,形如y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a0)的函数叫做x的二次函数.y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a0)的几种不同表示形式:(1)y=ax(a0,b=0,c=0,).(2)y=ax+c(a0,b=0,c0).(3)y=ax+bx(a0,b0,c=0).2.定义的实质是：ax+bx+c是整式,自变量x的最高次数是二次,自变量x的取值范围是全体实数.,知识回顾,1、二次函数的一般形式是怎样的？,y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a 0),26.1.2 二次函数y=ax2 的图象和性质,第26章,二次函数,二次函数的定义：,注意：,1、其中，x是自变量，ax2是二次项，a是二次项系数 bx是一次项，b是一次项系数 c是常数项。,2、函数的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项.,回顾,反比例函数的图象,一次函数的图象,二次函数的图象是什么样子的？,一条直线,双曲线,画二次函数 的图象。,解：（1）列表：在 x 的取值范围内列出函数对应值表：,y,3,2,1,0,-1,-2,-3,x,（2）在平面直角坐标系中描点：,x,y,o,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,10,8,6,4,2,-2,1,y=x2,（3）用光滑曲线顺次连接各点，便得到函数y=x2 的图象.,观察 这个函数的图象，它有什么特点?,画二次函数 的图象。,解：（1）列表：在 x 的取值范围内列出函数对应值表：,y,3,2,1,0,-1,-2,-3,x,（2）在平面直角坐标系中描点：,x,y,o,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,-2,-4,-6,-8,y=-x2,（3）用光滑曲线顺次连接各点，便得到函数y=-x2 的图象.,-10,观察 这个函数的图象，它有什么特点?,观察姚明的投篮,二次函数的图象是不是跟投篮路线很像？,抛物线：像这样的曲线通常叫做抛物线。二次函数的图象都是抛物线。一般地，二次函数 的图象叫做抛物线。,抛物线,抛物线,这条抛物线关于y轴对称，y轴就 是它的对称轴.,对称轴、顶点、最低点、最高点,对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.,抛物线 y=x2在x轴上方(除顶点外)，顶点是它的最低点，开口向上，并且向上无限伸展;当x=0时,函数 y的值最小，最小值是0.,当x=-2时，y=4当x=-1时，y=1,当x=1时，y=1当x=2时，y=4,y,抛物线 y=-x2在x轴下方(除顶点外)，顶点是它的最高点，开口向下，并且向下无限伸展，当x=0时，函数y的值最大，最大值是0.,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=x2,y=-x2,（0，0）,（0，0）,y轴,y轴,在x轴上方(除顶点外),在x轴下方(除顶点外),向上,向下,当x=0时,最小值为0,当x=0时,最大值为0,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.,y=x2、y=-x2,a0，开口都向上;对称轴都是y轴;增减性相同,顶点都是原点(0,0),只是开口大小不同,在同一坐标系中作二次函数y=x2和y=2x2的图象，会是什么样?,1.列表：,2.描点：,3.连线：,顶点坐标,y=x2,y=2x2,a0，开口都向上;对称轴都是y轴;增减性相同,只是开口大小不同,顶点都是原点(0,0),1.列表：,2.描点：,3.连线：,y=-x2,y=-2x2,y=x2,y=2x2,a 0，开口都向下;对称轴都是y轴;增减性相同.,只是开口大小不同,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax2(a0),y=ax2(a0),（0，0）,（0，0）,y轴,y轴,在x轴的上方(除顶点外),在x轴的下方(除顶点外),向上,向下,当x=0时,最小值为0.,当x=0时,最大值为0.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.,y=ax2,一般地，抛物线 y=ax2 的对称轴是_轴，顶点是_.当a 0时，抛物线的开口向_，顶点是抛物线的_，a 越大，抛物线的开口越_;当a 0时，抛物线的开口向_，顶点是抛物线的最_点，a 越大，抛物线的开口越_.,y,原点,最低点,上,小,下,高,大,形如（a、b、c是常数，a0）的函数叫做 x 的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项。,1.二次函数：,2、抛物线：,二次函数的图象都是抛物线。,一般地，抛物线 y=ax2 的对称轴是_轴，顶点是_.当a 0时，抛物线的开口向_，顶点是抛物线的_，a 越大，抛物线的开口越_;当a 0时，抛物线的开口向_，顶点是抛物线的最_点，a 越大，抛物线的开口越_.,y,原点,最低点,上,小,下,高,大,3、抛物线 y=ax2 的图象：,4、抛物线 y=ax2 的图象 中a决定开口方向和形状。a相同开口方向相同、形状相同，|a|越大，开口越小。,再见,只有不断的思考,才会有新的发现;只有量的变化,才会有质的进步.,结束寄语,二次函数的图象和性质,勤奋学习踏实求知,九年级数学(下)第二十六章 二次函数,二次函数y=ax2与y=ax2+c图象和性质,1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.,3.当a0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.当a0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.,二次函数y=ax2的性质,2.当a0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展；当a0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.,4.越大,开口越小,越小,开口越大.,二次函数y=ax2的性质,.顶点坐标与对称轴,.位置与开口方向,.增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax2(a0),y=ax2(a0),（0，0）,（0，0）,y轴,y轴,在x轴的上方(除顶点外),在x轴的下方(除顶点外),向上,向下,当x=0时,最小值为0.,当x=0时,最大值为0.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.,根据图形填表：,我思，我进步,在同一坐标系中作出二次函数y=2x+1的图象与二次函数y=2x的图象.,驶向胜利的彼岸,二次函数y=2x+1的图象与二次函数y=2x的图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?作图看一看,二次项系数为2,开口向上;开口大小相同;对称轴都是y轴;增减性与也相同.,顶点不同,分别是原点(0,0)和(0,1).,二次函数y=2x2+1的图象形状与y=2x2一样,仍是抛物线.,二次函数y=2x2+1的图象是什么形状?它与二次函数y=2x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?,位置不同;最小值不同:分别是1和0.,想一想,在同一坐标系中作二次函数y=-2x2+1和y=-2x2的图象,会是什么样?,二次项系数为-2,开口向下;开口大小相同;对称轴都是y轴;增减性与也相同.,顶点不同,分别是原点(0,0)和(0,1).,二次函数y=-2x2+1的图象形状与y=-2x2一样,仍是抛物线.,二次函数y=-2x2+1的图象是什么形状?它与二次函数y=-2x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?,位置不同;最大值不同:分别是1和0.,想一想,二次函数y=ax2+c和y=ax2的图象和性质?,我思，我进步,在同一坐标系中作出二次函数y=3x-1的图象与二次函数y=3x的图象.,驶向胜利的彼岸,二次函数y=3x一l的图象与二次函数y=3x的图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?,二次项系数为正数3,开口向上;开口大小相同;对称轴都是y轴;增减性与也相同.,顶点不同,分别是原点(0,0)和(0,-1).,二次函数y=3x2-1的图象形状与y=3x2一样,仍是抛物线.,二次函数y=3x2-1的图象是什么形状?它与二次函数y=3x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?,位置不同;最大值不同:分别是-1和0.,想一想,在同一坐标系中作二次函数y=-3x2-1和y=-3x2的图象,会是什么样?,二次项系数为负数-3,开口向下;开口大小相同;对称轴都是y轴;增减性与也相同.,顶点不同,分别是原点(0,0)和(0,-1).,二次函数y=-3x21的图象形状与y=-3x2一样,仍是抛物线.,二次函数y=-3x2-1的图象是什么形状?它与二次函数y=-3x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?,位置不同;最大值不同:分别是0和-1.,请你总结二次函数y=ax2+c的图象和性质.,二次函数y=ax2+c的图象和性质,.顶点坐标与对称轴,.位置与开口方向,.增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax2+c(a0),y=ax2+c(a0),（0，c）,（0，c）,y轴,y轴,当c0时抛物线,与Y轴交于正半轴当c0时,抛物线与Y轴交于负半轴.,当c0时,.抛物线,与Y轴交于正半轴,向上,向下,当x=0时,最小值为c.,当x=0时,最大值为c.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.,根据图形填表：,二次函数y=ax+c与=ax的关系,1.相同点:(1)图像都是抛物线,形状相同,开口方向相同.(2)都是轴对称图形,对称轴都是y轴.(3)都有最(大或小)值.(4)a0时,开口向上,在y轴左侧,y都随x的增大而减小,在y轴右侧,y都随 x的增大而增大.a0时,开口向下,在y轴左侧,y都随x的增大而增大,在y轴右侧,y都随 x的增大而减小.,2.不同点:(1)顶点不同:分别是(0,c),(0,0).(2)最值不同:分别是c和0.3.联系:y=ax+c(a0)的图象可以看成y=ax的图象沿y轴整体平移|c|个单位得到的.(当c0时向上平移;当c0时,向下平移).,驶向胜利的彼岸,回味无穷,y=3x2-1是由y=3x2向下平移一个单位得到的,二次函数y=3x2-1的图象形状与y=3x2一样,仍是抛物线.,二次函数y=3x2-1的图象与二次函数y=3x2的图象有什么联系，它们之间有怎样的转化关系?,结论：y=3x2-1是由y=3x2向下平移一个单位得到的。,y=-3x21是由y=-3x2向下平移一个单位得到的,二次函数y=-3x21的图象形状与y=-3x2一样,仍是抛物线.,二次函数y=-3x2-1的图象与二次函数y=-3x2的图象呢?,结论：y=-3x21是由y=-3x2向下平移一个单位得到的。,y=ax2,y=ax2+k,k0,k0,上移,下移,小结,二次函数y=ax2+c的性质,开口向上,开口向下,a的绝对值越大，开口越小,关于y轴对称,顶点是最低点,顶点是最高点,在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增,在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减,c0,c0,c0,c0,(0,c),课堂小结,1、抛物线 向上平移3个单位，,得到抛物线；,2、抛物线 向 平移 个单位，得到抛物线。,练习,九年级数学(下)第二十六章 二次函数,二次函数y=ax2与y=a(x-h)2图象和性质,探究,在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 和 的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点。比较一下它们的值之间有何内在联系。,先列表：,0,2,2,0,2,2,0,2,2,0,2,2,0,2,2,y,x,o,1,可以看出，抛物线 的开口方向_、对称轴是经过点(1，0)且与x轴垂直的直线，我们把它记作，顶点是_。,向下,(1，0),(1，0),向下,(1，0),1,-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9,-8,-6,-4,-2,2,4,6,8,y,x,0,（2）抛物线 与抛物线 有什么位置关系？,把抛物线 向左平移1个单位，就得到抛物线把抛物线 向右平移1个单位，就得到抛物线,（3）它们的位置由什么决定的？,用平移观点看函数：,抛物线 可以看作是由抛物线 平移得到。,(1)当h0时，向右平移 个单位；,(2)当h0时，向左平移 个单位。,归纳,4、二次函数 是由二次函数 向 平移 个单位得到的。,5、二次函数 是由二次函数 向左平移3个单位得到的。,巩固,观察三条抛物线：,(4)顶点各是什么？,(1)开口方向是什么？,(2)开口大小有没有变化？,(3)对称轴是什么？,(5)增减性怎么样？,探 究,1.抛物线y=a(x-h)2的顶点是(h,0),对称轴是平行于y轴的直线x=h.,3.当a0时,在对称轴(x=h)的左侧,y随着x的增大而减小;在对称轴(x=h)右侧,y随着x的增大而增大;当x=h时函数y的值最小(是0).当a0时,在对称轴(x=h)的左侧,y随着x的增大而增大;在对称轴(x=h)的右侧,y随着x增大而减小;当x=h时,函数y的值最大(是0).,二次函数y=a(x-h)2的性质,2.当a0时,抛物线y=a(x-h)2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展;当a0时,抛物线y=a(x-h)2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.,X=h,X=h,4.越大,开口越小,越小,开口越大.,二次函数y=a(x-h)2与y=ax2的图象形状相同,可以看作是抛物线y=ax2整体沿x轴平移了 个单位(当h0时,向右移 个单位;当h0时,向左移 个单位)得到的.,二次函数y=a（x-）2的性质,开口向上,开口向下,a的绝对值越大，开口越小,直线,顶点是最低点,顶点是最高点,在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增,在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减,h0,h0,h0,h0,(,0),说出下列二次 函数的开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性(1)y=2(x+3)2(2)y=-3(x-1)2(3)y=5(x+2)2(4)y=-(x-6)2(5)y=7(x-8)2,向上,x=-3,(-3,0),向下,x=1,(1,0),向上,x=-2,(-2,0),向下,x=6,(6,0),向上,x=8,(8,0),1.函数y=-2（x+3）2的图象的对称轴是，顶点坐标是，当x=时，y有最 值为。,2.把二次函数y=-3x2往左平移2个单位，再与x轴对称后，所形成的二次函数的解析式为。,3、已知抛物线y=a(x+h)2的顶点是（-3，0）它是由抛物线y=-4x2平移得到的，则a=，h=。,4、把抛物线y=(x+1)2向 平移 个 单位后，得到抛物线y=(x-3)2,5、把抛物线y=x2+mx+n向左平移4个单位，得到抛物线y=(x-1)2,则m=,n=.,二次函数y=a(x-h)2的性质,.顶点坐标与对称轴,.位置与开口方向,.增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=a(x-h)2(a0),y=a(x-h)2(a0),（h，0）,（h，0）,直线x=h,直线x=h,在x轴的上方(除顶点外),在x轴的下方(除顶点外),向上,向下,当x=h时,最小值为0.,当x=h时,最大值为0.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.,根据图形填表：,小结：,知识回顾：,向上,直线x=h,（h，0）,Y随x的增大而减小,最小值是0,Y随x的增大而增大,向下,直线x=h,（h，0）,最大值是0,Y随x的增大而增大,Y随x的增大而减小,九年级数学(下)第二十六章 二次函数,二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质,复习二次函数y=ax2的性质,开口向上,开口向下,|a|越大，开口越小,关于y轴对称,顶点坐标是原点（0，0）,顶点是最低点,顶点是最高点,在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增,在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减,O,O,复习二次函数y=ax2+k的性质,开口向上,开口向下,a的绝对值越大，开口越小,关于y轴（x=o）对称,顶点是最低点,顶点是最高点,在对称轴左侧，y随x的增大而减小在对称轴右侧，y随x的增大而增大,k0,k0,k0,k0,(0,k),在对称轴左侧，y随x的增大而增大 在对称轴右侧，y随x的增大而减小,复习二次函数y=a（x-）2的性质,开口向上,开口向下,a的绝对值越大，开口越小,直线,顶点是最低点,顶点是最高点,在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增,在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减,h0,h0,h0,h0,(,0),（0,3）,（0,-3）,如何由,的图象得到,的图象。,上下平移,、,x=-2,(-2,0),(2,0),x=2,如何由,的图象得到,的图象。,、,左右平移,y=ax2,y=a(x-h)2,y=ax2+k,y=ax2,k0,k0,上移,下移,左加,右减,说出平移方式，并指出其顶点与对称轴。,上正下负,左加右减,探究,例3.画出函数 的图像.指出它的开口方向、顶点与对称轴、,解:先列表,再描点 后连线.,-5.5,-3,-1.5,-1,-1.5,-3,-5.5,直线x=1,解:先列表,再描点、连线,-5.5,-3,-1.5,-1,-1.5,-3,-5.5,讨论,抛物线 的开口向下,对称轴是直线x=1,顶点是(1,1).,抛物线 的开口方向、对称轴、顶点?,向左平移1个单位,向下平移1个单位,向左平移1个单位,向下平移1个单位,平移方法1:,平移方法2:,二次函数图像平移,x=1,(2)抛物线有什么关系?,y=2x2,y=2(x1)2,y=2(x1)2+1,在同一坐标系内画出y=2x2、y=2(x-1)2、y=2(x-1)2+1 的图象,联系：将函数 y=2x的图象向右平移1个 单位,就得 到 函数y=2(x-1)的图象;再向上平移1个单位,就得到函数y=2(x-1)+1的图象.,相同点:(1)图像都是抛物线,形状相同,开口方向相同.(2)都是轴对称图形.(3)顶点都是最低点.(4)在对称轴左侧,y值都随 x 值的增大而减小,在对称轴右侧,y值都随 x值 的增大而增大.,不同点:(1)对称轴不同.(2)顶点不同.(3)最小值不相同.,的图像可以由,向上平移一个单位,向右平移一个单位,向右平移一个单位,向上平移一个单位,先向上平移一个单位,再向右平移一个单位,或者先向右平移一个单位再向上平移一个单位而得到.,归纳,一般地,抛物线y=a(xh)2k与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到抛物线y=a(xh)2k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.,向左(右)平移|h|个单位,向上(下)平移|k|个单位,y=ax2,y=a(xh)2,y=a(xh)2+k,y=ax2,y=a(xh)2+k,向上(下)平移|k|个单位,y=ax2+k,向左(右)平移|h|个单位,抛物线y=a(xh)2+k有如下特点:,(1)当a0时,开口向上;,当a0时，开口向下;,(2)对称轴是直线x=h;,(3)顶点是(h,k).,二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质,抛物线,顶点坐标,对称轴,开口方向,增减性,最值,y=a(x-h)2+k(a0),y=a(x-h)2+k(a0),（h，k）,（h，k）,直线x=h,直线x=h,向上,向下,当x=h时,最小值为k.,当x=h时,最大值为k.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.,练习,向上,(1,2),向下,向下,(3,7),(2,6),向上,直线x=3,直线x=1,直线x=3,直线x=2,(3,5),y=3(x1)22,y=4(x3)27,y=5(2x)26,1.完成下列表格:,2.请回答抛物线y=4(x3)27由抛物线y=4x2怎样平移得到?,3.抛物线y=4(x3)27能够由抛物线y=4x2平移得到吗?,如何平移：,1抛物线的上下平移（1）把二次函数y=(x+1)2的图像，沿y轴向上平移个单位，得到_的图像；（2）把二次函数_的图像，沿y轴向下平移2个单位，得到y=x 2+1的图像.,考考你学的怎么样：,y=(x+1)2+3,y=x2+3,2抛物线的左右平移（1）把二次函数y=(x+1)2的图像，沿x轴向左平移个单位，得到_的图像；（2）把二次函数_的图像，沿x轴向右平移2个单位，得到y=x 2+1的图像.,y=(x+4)2,y=(x+2)2+1,3抛物线的平移：（1）把二次函数y=3x 2的图像，先沿x轴向左平移个单位，再沿y轴向下平移2个单位，得到_的图像；（2）把二次函数_的图像，先沿y轴向下平移2个单位，再沿x轴向右平移3个单位，得到y=-3(x+3)22的图像.,y=3(x+3)2-2,y=-3(x+6)2,二次函数,y=a(x+h)2+k的图像和性质,1.填表,复习回顾:,(0,0),(1,0),(-1,0),(0,0),(0,1),(0,-1),向下,向下,向下,向上,向上,向上,x=0,x=0,x=0,x=0,x=1,x=-1,（0,3）,（0,-3）,如何由,的图象得到,的图象。,2.上下 平移,、,x=-2,(-2,0),(2,0),x=2,如何由,的图象得到,的图象。,、,3.左右 平移,y=ax2,当h0时,向左平移h个单位,当h0时,向右平移 个单位,y=a(x+h)2,y=ax2,当c0时,向上平移c个单位,当c0时,向下平移 个单位,4.上下平移规律,左右平移规律,5.二次函数y=ax2的图象和性质,抛物线,顶点坐标,对称轴,开口方向,增减性,最值,y=ax2(a0),y=ax2(a0),（0，0）,（0，0）,直线x=0,直线x=0,向上,向下,当x=0时,最小值为0.,当x=0时,最大值为0.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.,6.二次函数y=a(x+h)2的图象和性质,抛物线,顶点坐标,对称轴,开口方向,增减性,最值,y=a(x+h)2(a0),y=a(x+h)2(a0),（-h，0）,（-h，0）,直线x=-h,直线x=-h,向上,向下,当x=-h时,最小值为0.,当x=-h时,最大值为0.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.,y=2x2,y=2(x1)2,y=2(x1)2+1,在同一坐标系内画出y=2x2、y=2(x-1)2、y=2(x-1)2+1 的图象,的图像可以由,向上平移一个单位,向右平移一个单位,向右平移一个单位,向上平移一个单位,先向上平移一个单位,再向右平移一个单位,或者先向右平移一个单位再向上平移一个单位而得到.,平移的规律总结：,y=ax2,y=a(x+h)2,y=a(x+h)2+k,当h0时,向左平移h个单位,当h0时,向右平移 个单位,当k0时,向上平移k个单位,当k0时,向下平移 个单位,观察的图像,x=-2,(-2,2),(-2,-3),抛物线,顶点坐标,对称轴,开口方向,增减性,最值,（-2，2）,（2，-3）,直线x=-2,直线x=2,向上,向下,当x=-2时,最小值为2,当x=2时,最大值为-3,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.,二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质,抛物线,顶点坐标,对称轴,开口方向,增减性,最值,y=a(x+h)2+k(a0),y=a(x+h)2+k(a0),（-h，k）,（-h，k）,直线x=-h,直线x=-h,向上,向下,当x=-h时,最小值为k.,当x=-h时,最大值为k.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.,指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.,开口 对称轴 顶点坐标,向上,直线x=3,(3,5),向下,直线x=1,(1,0),向下,直线x=0,(0,1),向上,直线x=2,(2,5),向上,直线x=4,(4,2),向下,直线x=3,(3,0),1抛物线的上下平移（1）把二次函数y=(x+1)2的图像，沿y轴向上平移个单位，得到_的图像；（2）把二次函数_的图像，沿y轴向下平移2个单位，得到y=x 2+1的图像.,考考你学的怎么样：,y=(x+1)2+3,y=x2+3,2抛物线的左右平移（1）把二次函数y=(x+1)2的图像，沿x轴向左平移个单位，得到_的图像；（2）把二次函数_的图像，沿x轴向右平移2个单位，得到y=x 2+1的图像.,y=(x+4)2,y=(x+2)2+1,3抛物线的平移：（1）把二次函数y=3x 2的图像，先沿x轴向左平移个单位，再沿y轴向下平移2个单位，得到_的图像；（2）把二次函数_的图像，先沿y轴向下平移2个单位，再沿x轴向右平移3个单位，得到y=-3(x+3)22的图像.,y=3(x+3)2-2,y=-3(x+6)2,(-1,0),(-1,3),x=-1,7把二次函数y=4(x1)2的图像,沿x轴向 _ 平移_个单位，得到图像的对称轴是直线x=3.8把抛物线y=3(x+2)2，先沿x轴向右平移2个单位，再沿y轴向下平移1个单位，得到_的图像9把二次函数y=2x 2的图像，先沿x轴向左平移个单位，再沿y轴向下平移2个单位，得到图像的顶点坐标是_,右,2,y=-3x2-1,(-3,-2),10.如图所示的抛物线：当x=_时，y=0；当x0时，y_0；当x在 _ 范围内时，y0；当x=_时，y有最大值_.,3,0或-2,2 x0,-1,3,11、试分别说明将抛物线的图象通过怎样的平移得到y=x2的图象：(1)y=(x-3)2+2；(2)y=(x+4)25,12.与抛物线y=4x 2形状相同，顶点为（2，-3）的抛物线解析式为,先向左平移3个单位，再向下平移2个单位,先向右平移4个单位，再向上平移5个单位,y=-4(x-2)2-3或y=4(x-2)2-3,13.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示（1）求解析式,(1,-1),(0,0),(2,0),当x 时，y0。,当x 时，y=0;,（2）根据图象回答：当x 时，y0;,解：二次函数图象的顶点是(1,-1)，设抛物线解析式是y=a(x-1)2-1，其图象过点(0,0)，0=a(0-1)2-1，a=1y=(x-1)2-1,x2,0 x2,x=0或2,26.1.4 二次函数图象和性质,1 的顶点坐标是_，对称轴是_,2怎样把 的图象移动，便可得到 的图象？,（h，k）,复习提问,直线xh,3 的顶点坐标是，对称轴是,(2，5),直线 x2,4在上述移动中图象的开口方向、形状、顶点坐标、对称轴，哪些有变化？哪些没有变化？,有变化的：抛物线的顶点坐标、对称轴，没有变化的：抛物线的开口方向、形状,我们复习了将抛物线 向左平移2个单位再向下平移5个单位就得到 的图象，将 化为一般式为，那么如何将抛物线 的图像移动，得到的 图像呢？,新课,的图象怎样平移就得到,那么一般地，函数,的图象呢？,解：,顶点坐标为（3，2），对称轴为x3,答案：，顶点坐标是(1，5)，对称轴是直线 x1,的形式，求出顶点坐标和对称轴。,练习1 用配方法把,化为,的方法和我们前面学过的用配方法解二次方程“”类似具体演算如下：,化为,的形式。,2用公式法把抛物线,把,变形为,所以抛物线,的顶点坐标是,，对称轴是直线,。,的形式，求出对称轴和顶点坐标,例2 用公式法把,化为,解：在,中，,，,顶点为（1，2），对称轴为直线 x1。,的形式，并求出顶点坐标和对称轴。,答案：，顶点坐标为（2，2）对称轴是直线 x2,练习2 用公式法把,化成,3,图象的画法,步骤：1利用配方法或公式法把,化为,的形式。,2确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。,3在对称轴的两侧以顶点为中心左右对称描点画图。,的图像，利用函数图像回答：,例3 画出,(1)x取什么值时，y0？(2)x取什么值时，y0？(3)x取什么值时，y0？(4)x取什么值时，y有最大值或最小值？,分析：我们可以用顶点坐标公式求出图象的顶点，过顶点作平行于y轴的直线就是图象的对称轴在对称轴的一侧再找两个点，则根据对称性很容易找出另两个点，这四个点连同顶点共五个点，过这五个点画出图像,(1)用顶点坐标公式，可求出顶点为(2，2)，对称轴是x2.,(2)当x1时，y0，即图象与x轴交于点(1，0)，根据轴对称，很容易知道(1，0)的轴对称点是点(3，0)又当x0时，y6，即图象与y轴交于点(0，6)，根据轴对称，很容易知道(0，6)的轴对称点是点(4，6)用光滑曲线把五个点(2，2)，(1，0)，(3，0)，(0，6)，(4，6)连结起来，就是,