华杯赛讲义_小中组第2讲几何计数.docx

第二讲几何计数专题W从这里开始吧1、周长：对于一些不规则的比较复杂的几何图形，要求它们的周长，我们可以运用平移的方法，把它转化 为标准的长方形或正方形，然后再利用周长公式进行计算面积：在解答比较复杂的关于长方形、正方形的面积计算的问题时，生搬硬套公式往往不能奏效，可以 添加辅助线或运用割补、转化等解题技巧2、数数图形：要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。首先要弄清图形中包含的基本图形是什 么，有多少个，然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。3、轴对称和对称轴：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对 称图形；把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线 对称。4、格点问题：图形内的格点数与它周界上的格点数的一半的和（N+L）/2与它的面积S的差永远恰好是1. 在我们求格点多边形面积时，可以直接应用公式：S=（N+L）/2-15、加法原理：“加法分类，类类独立”。解题步骤：a、完成一件事分N类；b、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）；c、类类相加 解题方法：枚举法、标数法、列树状图法乘法原理：“前不影响后”，“乘法分步，步步相关”。解题步骤：a、完成一件事分N个必要步骤；b、每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）；c、步 步相乘解题方法：（1）简单的公式应用：n总=m1Xm2X Xmn（2）题图结合：画图分步计算6、抽屉原理：原理1：将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。 原理2：将多于mXn件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m+1。7、常见的数列规律：第一类是数列各项只与它的项数有关，或只与它的前一项有关。第二类是前后几项为一组，以组为单元找关系才可找到规律。第三类是数列本身要与其他数列对比才能发现其规律.图形的规律：主要从各图形的形状、方向、数量、大小及各组成部分的相对位置入手，从中找出变化规律。'幽典型例慝及详解真题回顾1、有一个长方形，如果它的长和宽同时增加6厘米，则面积增加了 114平方厘米.则这个长方形的周长 等于厘米。【解析】：如下图：由于原来长方形的长X6+原来长方形的宽X6+6X6=114平方厘米，根据乘法分配律可求 原来长方形的长+宽，从而求得原来长方形的周长。（114-6X6）：6X2,二（114T6）：6X2=78：6X2=13X2=26（厘米）2、如右图，一张长方形的纸片，长20厘米，宽16厘米.如果从这张纸上剪下一个长10厘米，宽5厘 米的小长方形，而且至少有一条边在原长方形的边上，那么剩下纸片的周长最大是（）厘米（A）72（B）82（C）92（D） 102【解析】：答案：C3、若将一个边长为6厘米的正方形盖在一个三角形上，则两个图形重叠部分的面积占三角形面积的一半，占正方形面积的三分之二，那么这个三角形的面积 平方厘米。【解析】：6X6X2/3H/2,=24X2, =48 （平方厘米）4、右图中的一个长方形纸板每个角上都被切掉了一个小长方形（含正方形），如果被切掉的小长方形的8 对对边的长度分别是一个1,四个2,两个3和一个4,那么纸板剩下部分的面积最大是多少？【解析】：原来长方形纸板的面积是：12X11=132,为定值，要使纸板剩下的部分的面积最大，则必须使切 掉的四个小长方形的面积之和最小，显然应该用1和4配对，然后用两个2和两个3分别配对，最后是两个 2配对，被切掉的4个小长方形的面积分别是：4、6、6、4,这时切掉的四个小长方形的面积之和最小，于 是即可求出纸板剩下的最大面积：132- （4+6+6+4） =1125、右图中的正方形的边长为10,则阴影部分的面积为（）（A）56（B）44（C）32（D）78【解析】：如图将正方形进行如下切割，可得到：图中每个空白的三角形都与与之相邻的阴影部分三角形面 积相等，即阴影部分比空白部分多出K这个长方形，并且K的面积S=3X4=12；设空白部分面积设为a,那 么我们就有10X10=a+a+12。则阴影部分面积S=a+12=56。选A。6、如下图，将长度为9的线段AB九等分，那么图中所有线段的长度的总和是【解析】：根据题干分析可得，每条小线段的长度都是1,据此先数出长度是1的小线段有9条；长度是2 的小线段有8条，长度是3的小线段有7条；长度是4的小线段有6条，长度是5的小线段有5条，长度是 6的小线段有4条，长度是7的小线段有3条；长度是8的小线段有2条；长度是9的线段有1条；据此再 把它们的长度加起来即可得出所有线段的长度总和。9X 1+8X2+7X3+6X4+5X5+4X6+3X7+2X8+1X9=9+16+21+24+25+24+21+16+9=1657、由若干个相同的正方体木块搭成的立体，从正面和左面看到的图形都是下图，搭这样的立体，最少用() 个这样的木块.(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 8【解析】：这个立方体图形，从正面看是4个正方形，说明从正面看是由4个小正方体组成的，分两列：并 列都是2个正方体，一共有2+2=4个小正方体；又因为从左面看也是4个正方形，说明这个图形有2行，据 此要使使用的小正方体最少，则把其中一列向后平移一行，则即满足条件，故选：A。8、在一个平面上，用若干个单位长度的木棍可以摆出由多个正方形相邻的图形 右图是一示例.现在用20 根单位长的小木棍摆出一个图形，要求除第一行的方格外，下面几行方格构成一个长方形，那么这样的图形 中最多有 个单位边长的正方形.【解析】：要摆第一个小正方形，至少要用4根小木棍： 要再多摆出一个小正方形，需至少再添3根小木棍: 只有当出现拐角时只需增添2根小木棍就可以多出一个小正方形：那么，要用有限根小木棍摆出含有尽可能多小正方形的图形，我们应设法形成更多这样的拐角。第一步：先摆一个小正方形；第二步：再多摆出一个小正方形；第三步：摆出一个拐角；第四步：添两根小 木棍，多摆出一个小正方形；第五步：再添3根木棍，又形成一个拐角；第六步：添两根小木棍，多摆出一个小正方形；第七步：再添3根木棍，增加了一个小正方形。这时刚好用完20根小木棍，一共摆出了7个小正方形。当然，摆出的图形不是唯一的，比如下面的图形也是符合条件的:9、在下面的阴影三角形中，不能由右图中的阴影三角形经过旋转、平移得到的是图（）中的三角形。【解析】：答案:11、如右图所示，一只蚂蚁从正方体的顶点A出发，沿正方体的棱爬到顶点B，要求行走的路线最短，那么【解析】：因为A点是相邻的三个正方形的面的交点，经过这三个面各有一条最短路线，这样有3种选择， 接下来再从其中一个面到B个面又有相邻的两个面可供选择，所以根据乘法原理，可得共有：3X2=6种不同 的走法。12、编号从1到10的10个白球排成一行，现按照如下方法涂红色：1）涂2个球；2）被涂色的2个 球的编号之差大于2.那么不同的涂色方法有多少种？【解析】：第一个球涂1号，则另一个球可涂4 10；有7种不同的情况；第一个球涂2号，则另一个球可涂5 10；有6种不同的情况；第一个球涂3号，则另一个球可涂6 10；有5种不同的情况； 第一个球涂4号，则另一个球可涂7 10；有4种不同的情况； 第一个球涂5号，则另一个球可涂8 10；有3种不同的情况； 第一个球涂6号，则另一个球可涂9 10；有2种不同的情况； 第一个球涂7号，则另一个球可涂10；有1种不同的情况；所以，不同的涂色方法有：7+6+5+4+3+2+1=28(种)13、甲、乙、丙、丁、戊围坐在圆形桌子边玩扑克，甲有自己的固定座位.如果乙和丁的座位不能相邻，那 么共有()种不同的围坐方法.(A)10(B)8(C)12(D)16【解析】：先暂且不考虑乙丁不能相邻的情况，乙丙丁戊坐四个位置的方法有4X3X2X1；乙丁相邻时，可 将他们看作一人，三人排座位，同时考虑乙丁的顺序，方法有2X3X2X1.所以乙丁不相邻的围坐方法有 4X3X2X1-2X3X2X1=12.故选 C。14、布袋中有60个彩球，每种颜色的球都有6个.蒙眼取球，要保证取出的球中有三个同色的球，至少要取出 个球.【解析】：6096=10，有10种彩球，考虑最不利情况，每种彩球都拿了2个，再拿一个就能保证取出的球 中有三个同色的球，所以答案为2X10+1=21.15、有一批作业，王老师原计划每小时批改6本.批改了 2小时后，他决定每小时批改8本，结果提前3小 时批改完.那么这批作业有多少本？【解析】：先考虑2小时后剩下的作业本。3X6*(8 6) = 9 (小时)，剩下的作业本9小时完成。全部作业：9x8 + 6x2 = 84 (本)16、把自然数按右图所示的方法排列，那么排在第10行第5列的数是( )(A) 79(B) 87(C) 94(D) 101124711-丫F/35.&12-¥/613-/101415 -【解析】：从表中可知排列的规律是以左上角为顶点的一个等腰三角形，斜着的每组数的个数是1，2, 3, 4, 5，那么第10行的第一列就应在斜行的第14行上，求出斜行第14行的最后一个数，再减4即可.据此解 答.根据以上分析知第14斜行的最后一个数是：1+2+3+14，=(14+1) + (13+2)+(8+7)=15X7=105, 105 4=101.故选：D.17、第一次操作将图a左下角的正方形分为四个小正方形，见图b;第二次操作再将图b左下角的小正方 形分为四个更小的正方形，见图c;这样继续下去，当完成第六次操作时，得到的图形中共有 个正方形。【解析】：图a有5个正方形，以后每次操作将一个正方形数目变成四个小正方形，每次增加4个正方形.所以答案为5+6X4=29。18、扑克牌的点数如图所示，最大是13,最小是1.现小明手里有3张点数不同的扑克牌，第一张和第二则第三张是1.19、下图是一个净化水装置，水流方向为从A先流向B,再流到C.原来容器A-B之间有10个流量相同 的管道，B-C之间也有10个流量相同的管道.现调换了 A-B与B-C之间的一个管道后，流量每小时增加 了 40立方米.问:通过调整管道布局，从A到C的流量最大可增加多少立方米？【解析】：由于调换7A-B与B-C之间的一个管道后，流量每小时增加了40立方米可得：A-B和B-C之间的 管道不一样，应该是其中的一组管道比另一组管道流量大，且调换一个管道流量每小时就增加40立方米， 因为流量较大的一组共有10个管道，那么调换5组管道应该是增加流量最大，据此依据最大增加流量=调换 管道数X一组管道增加流量即可解答：40X(10；2),=40X5,=200(立方米) 20、在七个三角形的所有内角中，有两个直角，三个钝角.那么这些三角形中有()个锐角三角形.(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4【解析】：因为一个三角形中最多有一个直角或最多有一个钝角，所以由题意可知：有2个直角三角形，3 个钝角三角形，因共有7个三角形，用7-3-2即可求出锐角三角形的个数.故选：B。步，诛后作业1、三个同样大小的长方形正好拼成一个正方形，正方形的周长是48厘米，求每个长方形的周长。【解析】：要求每个长方形的周长必须先求出每个长方形的长和宽，长方形的长正好是正方形的边长，宽是 把正方形的边长平均分成3份，其中的1份，根据正方形的周长是48厘米，可求出它的边长为4894=12厘 米，那么长方形的周长是(12+4)X2=32厘米。2、一个长方形若长增加2厘米，面积就增加10平方厘米，若宽减少3厘米，面积就减少18平方厘米。求 原来长方形的面积。3厘米18平方厘米10平方厘米2厘米【解析】：从上图可以看出，长增加2厘米，面积就增加10平方厘米，说明原来长方形的宽是1092=5厘 为；宽减少3厘米，面积就减少18平方厘米，说明原来长方形的长是1893=6厘米。所以，原来长方形的 面积是：6X5=30平方厘米。OBCOBC3、数出下图中有几个角。【解析】：数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。以AO为一边的角有：匕AOB、ZAOC、ZAOD三个；以BO为一边的角有：匕BOC、ZBOD两个；以CO为一边的角有：匕COD 一个。所以图中共有3 + 2+1=6个角。4、数出下图中有多少个长方形。【解析】：数图形中有多少个长方形和数三角形的方法一样，长方形是由长宽两对线段围成，线段CD上有3 + 2 + 1=6条线段，其中每一条与AC中一条线段对应，分别作为长方形的长和宽，这里共有6X1=6个长方形; 而AC上共2 + 1=3条线段也就有6X3=18个长方形。它的计算公式为：长方形的总数=长边线段的总数X宽边线段的总数5、右图是用皮筋在钉板上围成的一个三角形，计算它的面积 面积单位.（每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位）. * , 【解析】：格点面积：格点面积=内部格点数+周界上格点数92-1.在此题中，内部格点数是5,周界上格 点数是3,列式为5+392 - 1=5.5 （面积单位）.6、如图所示，沿线段从A到B有多少条最短路线?【解析】：图中B在A的右上方，因此从A出发，只能向上或者向右才能使路线最短，那么反过来想，如果 到达了某一个点，也只有两种可能：要么是从这个点左边的点来的，要么是从这个点下边的点来的.那么， 如果最后到达7B，只有两种可能：或者经过C来到B点，或者经D来到B点，因此，到达B的走法数目就 应该是到达C点的走法数和到达D点的走法数之和，而对于到达C的走法，又等于到达E和到达F的走法之 和，到达D的走法也等于到达F和到达G的走法之和，这样我们就归纳出：到达任何一点的走法都等于到它 左侧点走法数与到它下侧点走法数之和，根据加法原理，我们可以从A点开始，向右向上逐步求出到达各点 的走法数.如图所示，使用标号方法得到从A到B共有10种不同的走法.7、用1角、2角和5角的三种人民币（每种的张数没有限制）组成1元钱，有多少种方法？【解析】：运用加法原理，把组成方法分成三大类： 只取一种人民币组成1元，有3种方法：10张1角；5张2角；2张5角。 取两种人民币组成1元，有5种方法：1张5角和5张1角；一张2角和8张1角；2张2角和6张1角；3张2角和4张 1角；4张2角和2张1角。 取三种人民币组成1元，有2种方法：1张5角、1张2角和3张1角的；1张5角、2张2角和1张1角的。所以共有组成方法：3+5+2=10 （种）。8、如下图，一只蜜蜂从A处出发，回到家里B处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行， 共有多少种回家的方法？【解析】：蜜蜂“每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行”这意味着它只能从小号码的蜂房爬 近相邻大号码的蜂房.明确了行走路径的方向，就可以运用标数法进行计算.如右图所示，小蜜蜂从A出发 到B处共有89种不同的回家方法.9、幼儿园买来4中不同的玩具，每位小朋友可以任意选择两件，但不能是一样的.至少有几位小朋友去拿， 才能保证其中有两位小朋友所拿的玩具是完全相同的？（想一想，从4种不同的玩具中选两种共有几种不同 的情况）【解析】：抽屉原理：假设四种玩具分别是A，B，C，D；拿两种玩具有如下6情况（作为6抽屉）：（A，B） （A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D）；假设有6人，分别拿了其中的一种，那么再多1人， 拿的只能是这6种中一种情况，即：6+1=7 （人）10、从下面的盒子里任意摸出3个球，至少有2个是同颜色的，请按要求设计球的颜色。QJ QJ Io o J【解析】：抽屉原理：由题意可知，从盒子里任意摸出3个球，至少有2个是同颜色的，从最坏的情况考虑， 说明球的颜色是3-1=2种，所以据此把6个球平均分成2份，涂两种颜色即可，每种颜色涂6-2=3个。11、请认真观察下列数字的排列规律，并填最后一行.13 3114 6 +11 5 10 10 511 【解析】：经观察数阵图可知每一行最左边和最右边都是1，上一行的每两个相邻的数的和是下一行所对应 的中间的数，由此规律可得：13 3114 6 411 5 10 10 511邑回回四直日故答案为：6，15，20，15，6，1.12、找出下列各数列的规律，并按其规律在()内填上合适的数：(1) 18， 20， 24， 30， ()； (2)11， 12， 14， 18， 26，()；(3)2， 5， 11， 23， 47，()，()。【解析】：(1)因20-18=2, 24-20=4, 30-24=6,说明(后项-前项)组成一新数列2, 4, 6,其规律是“依次加2”，因为6后面是8,所以，a5-a4=a5-30=8，故a5=8+30=38。(2) 12-11=1, 14-12=2, 18-14=4, 26-18=8,组成一新数列 1, 2, 4, 8,按此规律，8 后面为 16。因此， a6-a5 = a6-26=16，故 a6=16+26=42。(3) 观察数列前、后项的关系，后项=前项X2+1,所以a6=2a5+1 = 2X47+1 = 95,a7 = 2a6+1 = 2X95+1=191。13、在下列各组图形中寻找规律，并按此规律在“？ ”处填上合适的数：【解析】：(1)观察前两个图形中的数可知，大圆圈内的数等于三个小圆圈内的数的乘积的一半，故 第三个图形中的“？” =5X3X82=60； 第四个图形中的“？ ” =(21X2)9392=7。(2)观察前两个图形中的已知数，发现有10=8+5-3，8=7+4-3，即三角形里面的数的和减去三角形外面的数就是中间小圆圈内的数。故第三个图形中的“？” =12+1-5=8；第四个图形中的“？” 二7+1-5=3。14、A、B、C三个小朋友互相传球，先从A开始发球(作为第一次传球)，这样经过了 5次传球后，球恰巧又回到A手中，那么不同的传球方式共多少种？ 2005年小数报数学邀请赛【解析】：如图，A第一次传给B，到第五次传回A有5种不同方式.同理，A第一次传给C，也有5种不同方式.所以，根据加法原理，不同的传球方式共有5 + 5 = 10种.15、一只青蛙在A，B，C三点之间跳动，若青蛙从A点跳起，跳4次仍回到A点，则这只青蛙一共有多少种 不同的跳法？【解析】：如图，第1步跳到B，4步回到A有3种方法；同样第1步到C的也有3种方法.根据加法原理， 共有3 + 3 = 6种跳法.