代数及其应用.ppt

代数及其应用,第1章 Mathematica软件 在代数中的应用,1.1 Mathematica系统简介1.2 Mathematica在线性代数中的应用1.3 Mathematica应用实例,1.1 Mathematica系统简介,Mathematica是由位于美国伊利诺州的伊利诺州大学香槟(Champaign)分校附近的Wolfram Research 公司开发的一套专门进行数学计算的软件。从1988年问世至今，已广泛地应用到工程、应用数学、计算机科学、财经、生物、药学、生命科学以及太空科学等领域，深受科学家、学生、教授、研究人员及工程师们的喜爱。数以万计的论文、科学报告、期刊杂志、图书资料、计算机绘图等都是Mathematica的杰作。,早在1995年发表的Mathematica3.0版，可谓数学计算机软件史上的一大创新，而1999年发表的Mathematica4.0，则达到了这类软件的顶峰。Mathematica除了提供数值处理与绘图的功能之外，还具有符号计算的能力，使您能够处理多项式的各种运算、函数的微分、积分、解微分方程、统计，甚至可以制作电脑动画及音效等等。,Mathematica对计算机的要求不高，只要能运行Office系列软件便能够运行Mathematica4.建议您的计算机配置达到如下要求：1.操作系统：Windows95WindowsNT3.51以上的版本 2.CPU处理器：Intel、Cyrix或AMD586级以上的中央处理器。3.硬盘空间：除了具备120MB的硬盘空间用以安装Mathematica之外，还必须由60MB的剩余硬盘空间作为交换文件（Swap files）的存取空间。若进行较复杂的运算，则必须保证有100MB的剩余硬盘空间。4.内存：至少32MB。建议64MB以上。,1.1.1 Mathematica基本操作,本节介绍Mathematica的基本操作。其中包括基本运算、Manthmatica的输入输出以及与操作界面的互动等。,基本运算,在工作窗口中输入2+3，再按Shift+Enter组合键（先按住Shift键不放，再按Enter键）执行这个简单的运算，这时在工作窗口中会显示如下图所示的结果：图中的In1=与Out1 是Mathematica自动生成的，而Inx与Outx中的数字x表示的是本次计算是运行Mathmatica之后的第x 次计算。输入算式时不能输入这些序号，否则系统将会提示错误信息。如果您的工作窗口中没有如上图所示的工具栏和标尺，可以在Format下拉菜单中分别单击Show Ruler和Show Toolbar显示它们。,注意：启动Mathmatica之后，进行第一次数学计算通常会占用较长的时间，因为这时Mathmatica正把计算的核心文件（Kernel files）加载到内存。第二次及以后的计算就会快得多。,Mathmatica的常用语法,基本运算 Mathematica的基本运算包括加、减、乘、除与乘方等。可以按照一般数学表达式的书写格式输入这些基本运算。例如2+4、2-4、5/72、32等都符合Mathematica的语法标准（注意：Mathematica以号表示乘方运算）。,乘法的表示方法 在Mathematica中，乘法的表示方法比较特殊，除了用*号之外，还可以用空格表示乘法，这一点类似于习惯的手写格式。下面三种情况都是合法的乘法运算：x*y xy x(y+1)|乘号 在两个变量中间插入 变量与整个括号相乘 一个空格表示相乘,在Mathematica的语法中规定x2属于变量，而2x则表示数字2乘以变量x，注意：2与x之间没有空格，如果在2与x之间加上一个空格，仍然表示数字2乘以变量x。2x 表示2*x x2 表示变量x2 x2 表示x*2,变量与乘法的区别,变量与函数的表示方法 习惯上在输入Mathematica的内部函数时第一个字母必须大写，变量必须用方括号括起来，而圆括号表示计算的优先级别。下图说明了变量与常数的使用规则。变量通常用小写 函数中的变量必须用方括号括起来|x=Siny*(6+4w)|圆括号具有较高的计算优先级 内部函数的第一个字母必须大写,变量可以时几个 常量的第一个字母大写 英文字母的组合|val=Mod15.5,2Pi|,若函数有两个以上的参数则参数之间用逗号隔开,1.1.2 数学表达式的输入,Mathmatica提供了多种数学表达式的方法.除了用键盘输入外，还可以使用工具栏或者快捷输入运算符、矩阵或数学表达式。,数学表达式二维格式的输入,Mathematica提供了两种格式的数学表达式。形如x/(2+3x)+12/(2y-z+w)的称为一维格式，形如 的称为二维格式。,一维格式适用于简短的运算或仅提供纯文字的DOS界面的输入环境；二维格式则适用于进行比较复杂的数学运算或Windows界面的输入环境。,矩阵的二维格式输入方法,输入二维格式的矩阵，步骤如下：（1）单击Input下拉菜单中的Create Table/Matrix/Palette命令。（2）在弹出的对话框中选择Matrix,并输入行数与列数。（3）单击OK按钮。,另外，也可以单击基本输入工具栏上的 按钮完成矩阵二维格式的输入。如果修改矩阵，例如增加一行或一列，可以使用快捷键。快捷键及其功能列表如下：,Mathematica 的运算类型,Mathematica 的运算类型可以概况为数值运算（numerial calculation）和符号运算（symbolic calculation）两种。数值运算可以再细分为精确（exact）运算与近似（approximate）运算。整数与整数相加减以及分数的运算等等都属于精确运算，而含有小数点的运算则属于近似值运算（或浮点运算）。符号运算包括不定积分的求解、函数的微分以及多项式的化简与分解等。,精确运算,通常把整数称为精确数（exact number）,因为它不带任何小数。其它如 等数也属于精确数。如果数值运算的结果是精确数，则称这一运算为精确运算。精确数能够保持计算的精度，不会因小数的取舍而导致计算上的误差，因此在实际运算中，应当尽可能地用精确数表示运算结果。,近似运算,精确值固然可以保持计算的精度，而近似值（或称为浮点数）会让我们有大小的概念。Sin(2)对大多数人而言只是个符号，但是若把它化成近似值sin(2)=0.909297则会让我们有量的概念。虽然Mathematica会尽可能精确数来保持计算的精度，但我们也可以用一些技巧强制Mathematica把计算结果转换成近似值。例如,计算2+1.4 In7=2+1.4/2注：:计算结果是一个浮点数。Out7=2.7计算322.3 In8:=3x22.3运算结果也是一个浮点数。Out8=14.7737如果sin函数的自变量是一个浮点数，Mathematica会自动用近似值表示运算 In9=Sin2.0结果。Out9=0.909297,浮点数乘以精确sin(2)，运算结果是 In10=3+2.2Sin2浮点数。Out10=5.00045这是一个精确运算。In11=Out11=N命令可以将精确值化成近似值。注意，Mathematica默认的有效数字位 In12=N数为6位。Out12=4.55581,符号运算,数值运算只是Mathematica运算功能的一小部分，Mathematica的真正用武之地表现在它的符号运算能力上。本节将对Mathematica的符号运算作初步介绍，用来比较它与数值运算的不同。在后续的章节中，我们将会把学习的重心转到Mathematica的符号运算上。,计算 In1:=我们注意到积分的结果是 Out1=一个符号运算式,而不是数值运算式,-alog,基本数学运算,有了Mathematica运算的基本概念之后，现在可以学习一些简单的数学运算。Manthmatica将数值分成了整数、实数（含有小数点的数，或称近似值或浮点数）和复数。分数可以看作是两个整数相除；整数的有效位数可以认为是无数位；而实数的有效位数则可以认为是有限的。,整数的运算,整数的基本运算命令（一）Factorialn或n!计算n的阶乘。Modm,n 计算m/n的余数，其中m,n 必须为整数Quotientm,n 计算m/n的商，其中m,n必 须为整数,整数的基本运算命令（二）FactorIntgern 因数分解GCDx1,x2,求最大公约数LCMx1,x2,求最小公倍数Divisorsn 求所有可以整除n的整数RandomInteger,m,n 随机产生m到n之间的整数，其中m,n为Primen 求第n个质数（2为第一个质数）PrimeQn 判断整数n是否为质数，若是，运算结果为True,否则结果为False.,分数与浮点数,如果m,n属于整数，则分数m/n属于精确值。如果要把精确值化成近似值或浮点数，只要把分母或分子中的任一项化成浮点数，Mathmatica就会自动用浮点数表示分式的运算结果。另外，还可以用N命令把精确值化成近似值。,Nnum或num/N 把精确数num化成浮点数（默认16位有效数字）Nnum,n 把num化成具有n个有效数字的浮点数NumberFormnum,n 以n个有效数字表示num 虽然浮点数的默认的精确度位16位有效数字，但在大多数情况下，为了节省输出空间，Mathematica只显示6位有效数字。,内部常数,Pi 常数E 欧拉常数Degree 角度转换成弧度的常数，Degree=/180Infinity 常数I 虚数I,1.2 Mathematicazai在线性代数中的应用,数组运算是Mathematica的强大功能之一，这个优点主要反映在矩阵的运算上，因为Mathematica的矩阵是由数组构成的。Mathematica不但可以完成基本向量与矩阵的运算，同时还可以处理矩阵的秩与零核空间，以及线性代数所包含的各种数学运算。,1.2.1 一维与多维数组,矩阵(array)是数组的延伸。在Mathmatica中，向量(Vector)是用一维数表示的，而矩阵(matrix)则是数组的数组(list of list,即二维数组)，但矩阵的各个次数组必须有相同的长度。a,b,c 向量ai+bj+ck a,b,c,d 22矩阵,虽然数学上有行向量（column vector）和列向量（row vector）之分，但Mathematica都用一维的数组表示这两种向量。,这是一个向量 In1=a,b,c Out1=a,b,cMatrixFormne能够以 In2=MatrixForm%列的形式显示向量 Out2/MtrixForm=,这是一个24的矩阵 In3=7,6,4,1,2,6,12,3 out3=7,6,4,1,2,6,12,3MatrixForm能把矩阵显 In4=MatrixForm%示成类似于手写的格式 Out4/MtrixForm=Dimensions可计算矩阵的维度 In5=Dimensions%Out5=2,4,一维数组与向量,除了Table命令之外，Mathematica还提供了多个命令用以生成向量。下表了列出了与向量相关的命令及其格式。Tablef,i,n 用f生成包含n个元素的向量 Arraya,n 生成一个a1,a2,an的向量 Rangen 生成一个1,2,n向量 Rangem,n 生成一个m,m+1,n的向量 Rangem,n,d 生成m.m+d,n的向量 Lengthlist 计算向量的长度,二维矩阵,有了向量的概念之后，理解矩阵就显得简单多了。向量只需1个标注便能存储所有的元素，而n维矩阵则需要n个标注。Tablef,i,m,j,n 生成一个mn矩阵 Arraya,m,n 生成一个amn的矩阵 DiagonalMatrixlist 生成一个对角矩阵 IndentityMatrixn 生成一个nn单位矩阵 Partlist,i或listi 提取矩阵的第i行 Partlist,i,j或listi,j 提取矩阵的第i行第j列元素 Dimensionslist 矩阵的阶数,另外，Mathematica也提供了把向量或矩阵输出成类似一般数学格式的命令，如下所示：ColumnFormlist 将list输出成一列 TableFormlist 将list输出成表格 MatrixFormlist 将list输出成矩阵,1.2.2 向量运算,向量的基本运算 向量的点积和叉积可以用Dot与Cross命令运算。Dotv1,v2或v1.v2 计算向量v1,v2的点积 Crossv1,v2 计算向量v1,v2的叉积 虽然在数学上标量不能和向量相加，但Mathematica会把标量k看成k,k.,k再和向量相加。,向量的大小与夹角,Mathematica没有直接提供用以计算范数与向量之间夹角的命令，但我们可以根据它们的数学表达式来定义它们。向量a,b,c的范数为 向量F,G的夹角由下来公式来求得 向量的范数计算公式 In1=normvect_:=向量的夹角计算公式 In2=anglev1_,v2:=,1.2.3 矩阵的基本运算,Mathematica提供了完整的矩阵运算命令，来协助处理矩阵的运算。基本矩阵运算 常用的矩阵运算包括矩阵的加法、乘法、常数乘以矩阵、矩阵的转置与逆矩阵。,A_1+A_2 计算矩阵A_1+A_2c*M 常数c乘以矩阵MA_1A-2 两个矩阵相乘An 对矩阵A的每个元素进行n次方运算InverseA 求矩阵A的逆矩阵TransposeA 求矩阵A的转置MatrixPowerA,n 求矩阵A的n次方MatrixExpA 求矩阵A的幂，即eATrA 求矩阵A的迹，即对角线元素的和,当然，有些数学上的限制，使得执行矩阵运算命令时会产生警告或错误信息。例如一个矩阵可能本身没有逆矩阵，而我们却对它进行Invrse运算,Mathematics会提示错误信息。另外，对一个行向量或列向量进行Transpose运算，Mathematica会提示错误信息。如果对1n或n1矩阵进行Transpose运算，则不会发生这类问题。a1,a2,an 1n矩阵 a1,a2,an n1矩阵,矩阵元素的操作命令,Mathematica还提供了一些命令用以删除矩阵的行或列，或者将具有相同行数的矩阵组合成一个新的矩阵。因为这些命令属于内部命令，所以在调用它们之前须先加载LinearAlgebrMatrixManipulation函数库。,矩阵基本操作命令（一）AppendColumnsm1,m2,以列方式合并矩阵m1,m2,AppendRowsm1,m2,以行方式合并矩阵m1,m2,BolckMatrixblocks 将多个矩阵blocks重新组成一 个 新的矩阵,矩阵基本操作命令（二）TakeColumnsm,n 提取矩阵m的前n列 TakeColumnsm,-n 提取矩阵m的倒数第n列 TakeColumnsm,n1,n2 提取矩阵m第n1列到第n2列 TakeRowsm,n 提取矩阵m的前n行 TakeRowsm,-n 提取矩阵m的倒数第n行 TakeRowsm,n1,n2 提取矩阵m第n1行到第n2行SubMatrixm,pos,dim 从m的pos位置开始，提取维 度为 dim的子矩阵,1.2.4 矩阵初等行变换,所谓的基本行运算是指下面的三种运算方式：(1)用一个非零的常数乘以矩阵的某一行.(2)将矩阵的任意两行互换。(3)将某一行乘以某个常数之后再与另一行相加。,用Mathematica进行初等行变换，需要四个命令 AgumentA,B 扩展矩阵A:B AddRowA,r1,r2,m 将矩阵A的r1行乘以m,再与A的 r2行相加 MulRowA,r,m 将矩阵A的第r列乘以m SwapRowA,r1,r2 将矩阵A的第r1行与第r2行互换,用初等行变换既可解线性方程组，又可求矩阵的逆。如果想快速求得矩阵A的简约行梯形矩阵，可用RowReduce命令。RowReduceA 将矩阵A化成简约行梯形矩阵,1.2.5 行列式,DetA 计算矩阵A的行列式 Minors 计算Ann的子行列式，其中第i,j 个元素元素是移去第n-i+1列与n-j+1 行之后的行列式.MapReverse,MinorsA,0,1 同上，但第i,j个元 素是移去第i列与第 j行所得行列式的值,代数余子式cij=(-1)i+jMapReverse,Minorsm,0,1i,j矩阵A的伴随矩阵：AdjointA_:=TransposecofactorA利用伴随矩阵可求得A的逆矩阵：AdjointA/DetA/MatrixForm,1.2.6 特征值与特征向量,Mathematica 所提供的EigenvaluesEigenvectors与Eigensystem命令可以方便地求出矩阵A的特征值与特征向量。EigenvaluesA 求矩阵A的特征值 EigenvectorsA 求矩阵A的特征向量 EigensystemA 求出矩阵A的特征值,特征向量,1.2.7 矩阵的秩与空间,若A 为mn矩阵，则由A的列向量所形成的子空间Rn称为矩阵A的列空间，而由A的行向量所形成的子空间Rm称为矩阵A的h行空间，齐次线性方程组AX=O的解空间（Solution space）,称为零核空间（null space）.另外，矩阵A的行空间与列空间共同的维度，称为矩阵A的秩（rank）,而A的零核空间的维度称为零核维度（nullity）,矩阵的维度定理告诉我们。若A为一个含有n列的矩阵，则有rank(A)+nullity(A)=n,Mathematica提供了Nullspace命令用以计算零核空间。矩阵的秩与零核维度等的计算可根据它们的数学定义进行求解。NullSpaceA 计算矩阵A的零核空间LengthNullSpaceA 计算矩阵A的零核维度,定义计算rank的函数为：in1=RankA_:=LengthDeleteCasesA,Table0,LengthPartA,1另外，Rank命令也可求出矩阵A 的秩。in2:=RankA定义计算矩阵零核维度的函数为：in3=NullityA_:=LengthNullSpaceA,1.2.8 解线性方程组,Mathematica提供了两种解线性方程组的命令，即Solve和LinearSolve.Solveeqn,x 解方程式，求变量x 的解 Solveeqn1,eqn2,x,y,z 解方程组，求变量x,y,z,的解 LinearSolvem,b 求满足矩阵方程mx=b的向 量x.,如果方程个数少于变量的个数，则会出现警告信息，但仍然能得到一个解（含有自由未知量）。当方程的个数多于要求解的变量个数，并且所有的方程式都线性独立时，Mathematica会输出一个空集（无解）。Mathematica会判断方程组是线性独立还是线性相关，然后输出一个正确的解。,