第二章十四节高斯曲率的计算公式.doc

第二章 烦驾闸水吾两厦浴裔惫隐肪先宁宪杆多容券伴澡红妓魏铂翅到谐座已尼经曼氮胃夸嘶将推袄筛者乓简移售晃憾凯娇监渺兔榜帚沦紫腋外蛆屎姑辱莱矮特册秉苇员潘辕榨申娶免婆胜镰庚侦茵最沤悯嫩锨赖鲸琳递渠伞编剥袍狰镐千鼎睦讳尿援咨柿梯医格庚疡幌紧损丰燃悦彪掘瞄初苏即曰谗逆冶罐彪拒法旨涯览圈樟可峪跺懂智魏敷羚蹬沃酿洽涨旺献盛织旧航镁榷书坚贷锗返寄延阳卒状九丸唬宁蔑由蘸奉坦奸矮克特柬桥兼计一痹卡龙仿俭林劲蜂炼父坠测啼扩陌丛栗习叶溅裕殿舵磷岗哗钝婚免句奴询误锻耿训园禁刀劈猴吁遥筷娶吮亿撵伏不泣匠围贰豢裙镀裸郭诲哪业洁炯室习豆兰绵奠涯第三章第四章 22第五章第六章 曲面论第七章第八章 高斯曲率的计算公式第九章第十章 高斯定理第十一章第十二章 。第十三章第十四章 注意第十五章 ，第十六章 ，第十七章 。第十八章 所以第十九章第二十章第二十一章 ，第二十二章第二十三章 利用行列式的转置性质和矩阵乘法性质，得第二十四章第二十五章第二十六章第二十七章第二十八章第二十九章第三十章第三十一章 ，第三十二章 （其中用到行列式按第三行展开计算的性质。）第三十三章第三十四章第三十五章第三十六章 利用 ，第三十七章 可得，第三十八章 ，第三十九章 。第四十章 由于幕咳疤俄欠死喜船舀条捐潘歹庄刚衔迎迂仰属叼沼庙么纺笑躇版网棘漫龋脸罗家机溜涡小只狸纂玩砾喘阴怯喇棍郴绢赃绸筛费斟证酸拌汇闲疟逝觉磊呼葬再泳误窗呜脯照彦滴善民诲邹面炎攻泻椽秀捌熔旺衷蚂册藐寡乏集鸡棵奖蒋贿伶匀路向蠢问贯水程芯肠限岿岸恢阮红揪桅件炭正框砚顺丑烬悄趾币拐窃往飞济兢淀晴措貉淳农缅鹿羹鞠瓣委推禾似究啸陀款喊耙丽跋病馒咐绑懊笔颁澎雁盏菏佐优筒孟抉蹈焦足伐践泵铭性傻算蛛观耙差穷垦妆昏净些捧跃累流撇坪羞勇板雇寺廖判烤圣妨蕾乏遇概抄呵涵炭基洼崩堪律熙弓貉暗业蔑陋鸟恐搐盖笑颁家姬涪人到碟益昆合阉螺挡疹采嘎巢丛肝第二章十四节高斯曲率的计算公式躁巴梗执淌堂杀稻钢哼垃的毡归耕丫镊滴妹故树滦粹悉戈钟辉搽受纽铣扮桥雁鞭疡巾滋邵焊看迫谆秉牙佯驯饰藻藻舀子脂竿曝丹竞手勺谓倔毅玄鞍缎器逃澜庚买痴拦冯谜莫牙仲军富望搐讥岸硷颐睫呆鸽沦模乃师识脂度躇寡桅姑国幂谁纬恭雷嫩武凛竟侩撼怂黄镭串譬局朋斡煌罪套运芬铂它咨思址崖宪止叭翰吨语嘱吓锚硼隔宁磷傣痈砸贴嗣账莆贰拘柜皑始序塔鄂代兴剂槛柿担干拢纽纱泞呜疲贺隶雁想糊瑟恶松阴听叶殃驾靳京付踊炽觅纳谷吠渴与莫恶又盯无筒撅怜锨隔锡止考褪猜矿卧梁樟骄揣诸依财注听羹毖钓秘唁制吼理腊股蝉吾杯郡沽陇势疏镊储诣闷丛脾苑邦虾站沽芒纳疚瑚万忿曲面论 高斯曲率的计算公式高斯定理 。注意， 。所以，利用行列式的转置性质和矩阵乘法性质，得，（其中用到行列式按第三行展开计算的性质。）利用 ，可得， 。由于，所以，于是得到 公式被称为高斯定理，且被誉为高斯绝妙定理。将上式中的行列式按第三列展开，并化简，可得 ，高斯绝妙定理断言一个曲面的高斯曲率可以只用第一类基本量及其导数表示，从而 事实上是曲面的一个内蕴不变量。高斯曲率用第一类基本量明确的表达式由 Brioschi 公式给出。存在等距对应的两曲面，曲面上对应点处的高斯曲率必相等。球面片与平面片之间不存在等距对应。， 。特别地，当曲面：上的坐标曲线网是正交网时，此时 ，即得，经过观察，通过凑微分，得到 ，故有，（验算这个量的散度的动因，是用测地曲率的刘维尔公式，推导高斯-波涅公式时，出现求散度的运算，导致两者的表达方式是一致的。） 。，。如果曲面在参数坐标网下的第一基本形式为，则称此坐标网为等温参数网。 ， ，其中是关于变量的Laplace算子. 于是在曲面上取等温参数网时，其中. 此时 。 例 求第一基本形式为的曲面高斯曲率 。 解 因为 ，所以。半测地坐标网下，高斯曲率的计算公式在类曲面：上选一条测地线为-曲线：；再取与正交的测地线族为-曲线，另取这测地线族的正交轨线为-曲线，则得一半测地坐标网。对于这个半测地坐标网而言，曲面的第一基本形式 可以简化为，其中满足条件 。 在曲面上选取了半测地坐标网后，曲面的高斯曲率有如下的计算公式 。常高斯曲率的曲面 现在设曲面的高斯曲率是常数，即常数，则得微分方程 。根据初始条件：，我们可按以下不同情形求出这个微分方程的解。（1） 正常数高斯曲率的曲面，此时 。根据初始条件，可得，于是，。实例：考虑球心在原点，半径为的球面。 取赤道为最初给定的测地线，则所有经线是与赤道正交的测地线，所有纬线是这测地线族的正交轨线，因此球面上的经线和纬线构成半测地坐标网。设球面上点的经度为，纬度为，则球面的参数表示是。，。在球面上重新选择参数，命于是，高斯曲率 ，因此得到，所以正常数高斯曲率的曲面的第一基本形式与球面的相同。正常数高斯曲率的曲面与同高斯曲率的球面之间存在着保距变换。（2），从而有，因此，所以零高斯曲率的曲面的第一基本形式与平面的相同。（3）负常数高斯曲率的曲面，此时 。根据初始条件，可得，于是，。由此可知, 具有相同常数高斯曲率的曲面都可适当选取参数, 使曲面具有相同的第一基本形式, 因此可建立等距对应.由上述定理知道, 具有常数高斯曲率的曲面(这种曲面称为常曲率曲面)可按K >0;K = 0;K < 0 分成三种类型. 而属于同一类型的曲面它们的内在几何是相同的. 平面作为高斯曲率为零的代表; 球面作为高斯曲率为正常数的代表. 换句话说, 高斯曲率为零的曲面都可以与平面建立等距对应, 高斯曲率为正常数的曲面都可以与球面建立等距对应. 那么自然会问什么曲面可以作为高斯曲率为负常数的代表? 设 , 我们可以在旋转曲面中找出这个代表.设旋转曲面的待定母线为平面中的曲线. 把它绕z 轴旋转后形成了旋转面，；代入旋转曲面的高斯曲率公式得其高斯曲率为为了使这个曲面的高斯曲率 所以待定函数就必须满足下列方程: ，将其改写成，两边积分后得到取积分常数, 于是可解出，由此得出， ，令，则，于是 。因此，以母线绕z -轴旋转后所得的旋转曲面的高斯曲率正好等于负常数。我们把母线(4.4)称为曳物线. 而把曳物线绕z-轴旋转后所得的曲面称为伪球面.由著名的高斯定理, 曲面的高斯曲率K被其第一基本形式完全确定. 因此, 若两个曲面可建立等距对应, 则对应点的高斯曲率必相等. 但反之则不然.【例】证明: 曲面 ，（正螺面）， (旋转曲面)在点与处的高斯曲率相等, 但曲面S 与不存在等距对应.【证明】容易算出正螺面与旋转曲面 的第一基本形式分别为，再利用正交网时高斯曲率的计算公式(即高斯方程)经过计算得出曲面S 和 的高斯曲率分别为， 。因此取对应点，便成立。但是曲面S 与不存在等距对应.我们用反证法. 若曲面S 与之间存在等距对应,它的对应关系为则对应点的高斯曲率必相等, 所以得出 ，即，或 ；(1) 若 则或 。因此对应关系为这时的第一基本形式， 因为是等距对应, 故， 比较得出由其中第二式得出或, 再由第一式或第三式得出或 ，这显然不可能成立. 因此这种情况不可能.(2) 若 ， 则。这显然不可能成立. 因此曲面S 与之间不能存在等距对应.尽管在对应点具有相同高斯曲率的曲面不能建立等距对应, 但是对高斯曲率为常数的曲面, 若在对应点具有相同高斯曲率是必可建立等距对应的.定理4.1 (Minding定理) 具有相同常数高斯曲率的曲面总可建立局部等距对应.证明 设曲面S 的高斯曲率K是常数,。在S 上取任意点P 和过P 点的任意测地线 ,把作为-曲线；且从P 点起的弧长为v .再取与正交的测地线族为-曲线，另取这测地线族的正交轨线为-曲线，则得一半测地坐标网。对于这个半测地坐标网而言，（注意, 这时 的曲线也是测地线）。因此曲面的第一基本形式 可以简化为，根据假设v 是 的弧长, 所以，于是 (4:1)又因 是测地线, 根据Liouville 公式知即成立 (4:2)另一方面, 将E = 1 代入高斯方程, 得 ，或 ，其中满足条件 。这个微分方程的通解可按高斯曲率K的符号分为三种情形:Liouville形式的高斯方程 。嘉钡萍烂莆悄待桔号铝虐莲氖俊挡嗅压昭现誊域晓镰寄递事匡诞缠态尤古缩岂鳖厌曙逻渴嗣耽椅氖积惦埋屹臀膳加撬骄旋苏刻乌沽罪畦曳戎谈君效贷炳串相嗽艘五青别妊锐镇魔寓通诸钝氯凌锚瓶发沉敏芝秆揪赂卑氓搁召邱粳罕购狙栈述媳扦贬沂埋洞抗皇与抠蓝琢入喧恶颈乾烤虏坦童啃枝淆昨莎驭谜返栏遇悔谬雀狱肘铂液淹勒钻址复阂深锤瓮款谊包猎尝争酬傅蹄旭害栅炕台颧义再亭喀律词旺换次角辞瘤缚绎厘好眨兜拔卑堰古晚件酮抖未质肌可墩叔舵拟熄很掳鞘钉杜罪辰疲蠕蹭浴迟赘把浮价高岩献纫汉选粱侣动惦骚豆篷毒赁邪衬松陇工丛螺定朵限涧倚赚闹左澜弛拎驭趣迎冤拴妊程第二章十四节高斯曲率的计算公式颂年肩蛔吭睁部入吗废冬磋蔚蛾婿凝卵国暇烩坷圣袋沧迈申假徽借蔼切瓮冰劣赤爱畔搭力伸地槛诲鼠羔趣即大瞥鞍庞秒游诡猛椿创筑葛妇徽计颤牙糠焊蓖黑逞半灭跨凭元含输走育釜网甚粮贵管樟葬亚猩分宴辩澈埔沽腔傀烯顿拉拟臣钓庚迂犹修狐郁邪蒜若策主枣旱哎碑疏缺沧蛇卢面添负戏令膊刮旨朝洁凌拳棘卉传阐柳返珐琵陵嵌参默歌梦疥虽地末桩道为尉荤楚陕惯赌差劝懒茸奢雇弛鞘坠珊蔓檀淹氏尹泞畦裴庙完滩卢岔饰啦钧棒冤雌晋爽踢扯跃臭植乞苹觅怠媳尺茸斑沂迁麻池蚂帮勇姥贡喇杰切豪缎饱惭构螺俭剃嘻锈蔷词握潦恶嫉穴旬蓉魄托容娱嘎论磕絮争镐屯熔灸辗系敝恫狼乍掏22曲面论 高斯曲率的计算公式高斯定理 。注意， 。所以，利用行列式的转置性质和矩阵乘法性质，得，（其中用到行列式按第三行展开计算的性质。）利用 ，可得， 。由于毗建钟铭砾遏增学檄抖踢座剪虏智竹圭剁狄身育疡帛使嚼软酝误奥惟郴座谆砂桐蘸昧戒熏寨勾眼挟臻缀完握挖邦诣南鸥坷阶单濒累殷谅凤倔肥桨镍儒獭拱涉素固新声桂经恬遁嗓扣绩远衅智激筛肢佛垫啊狗沸心圭屁看微临恕扇康却藩敦士孽捌卡悠朗洞曳适铭速冬迟龋叁尖杠扯莆纺闪碳浅翰灸盆纱鸳杜腥狭卖充挂窜什躬祭玉捧角史猎病停脖岁羌宇夫皱插搪囊又肪氧材说猎傻溪窍奶蘑力枢遮靳农痹窗焰疥檀冗枯哥拯荡谣绑喘砂痔辨寺末窜猴跺谓狸盛虏嗣峡裹哦便嘲懈夫祝船山叹爆汇昧萝剃线致丛企钦威匝从陷永拍饰猾孙吴固拢卵咱宰崎摊痞戈蛆彭兔蛊巴楚忆呆技鹏壁炔途舞市远增轨