勾股定理、实数复习.docx
第一讲 勾股定理、实数复习一、勾股定理 1、熟练掌握勾股定理的各种表达形式勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。符号表达：如图，在RtAABC中，匕C=9O0, ZA、ZB、NC的对边分别为a,b,c，贝c 2 = a 2 + b 2, a 2 = c 2 一 b 2, b 2 = c 2 一 a 2练：1、某直角三角形的勾与股分别是另一直角三角形勾与股的n倍，则这个三角形与另一直角三角形的弦之比是()A. n:1B.1:nC.1:n2D.n2:12、由四根木棒，长度分别为3, 4，5，6若取其中三根木棒组成三角形，有()种取 法，其中，能构成直角三角形的是2、勾股定理的应用：(1)已知直角三角形的两边求第三边(2) 已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边(3) 利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题3、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a,b,c，且满足a2 + b2=c2，那么 ABC是直角三角形。步骤：(1)先确定最大边(如c)(2)验证c2与a2 + b2是否具有相等关系(3)若c2 = a2 + b2，则 ABC是以NC为直角的直角三角形；若c2 *2 + b2，贝丛ABC 不是直角三角形。满足a2 + b2 = c2的三个正整数，称为勾股数如(1) 3， 4， 5；(2) 5， 12， 13；(3) 6， 8， 10；(4) 8，15，17(5) 7，24，25(6) 9, 40, 41(1) 应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高例1、如图所示，等腰ABC中，AB=AC，AD是底边上的高cm.若 AB=5cm,BC=6cm，则 AD=(2) 应用勾股定理在三角形中求边长例2、如图，已知 ABC中，AB = 17，AC = 10，BC边上的高,AD = 8 则边BC的长为()A. 21 B. 15C. 6 D.以上答案都不对(3) 应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题，例3、某楼梯的侧面视图如图3所示，其中AB=4米， ZBAC=30°，ZC=90。，因某种活动要求铺设红色地毯， 则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为-(4) 应用勾股定理解决梯子问题例4、长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60角，如图所示，则梯子的顶端沿墙面升高了 m.(5) 应用勾股定理解决勾股树问题例5、如图所示，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都 是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面 积是()A. 13 B. 26 C. 47D. 94(6) 应用勾股定理解决阴影面积问题例6、已知：如图7所示，以RtAABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜 边AB = 3,则图中阴影部分的面积为.(7) 直角三角形扩展为等腰三角形问题例8、有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m,8m现在要将绿地扩充成等 腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长.例9、如图10所示，某港口 P位于东西方向的海岸线上，“远航号”和“海天号”两艘轮 船同时从港口离开，各自沿着一个固定的方向航行。“远航号”每小时航行16海里，“海 天号”每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后，两船相距30海里，如果知道 “远航号”的航行方向是东北方向，你能知道“海天号”是沿着哪个方向航行吗？练习：1、RtA一直角边的长为9,另两边为连续自然数，则Rt的周长为（）A、121 B、120C、90 D、不能确定2、等腰三角形底边上的高为6,周长为36,则三角形的面积为（A、56B、48C、40D、32D.223、已知1号、4号两个正方形面积和为7,D题6图8、如图，已知：在AABC中，题7图ACB = 90。，分别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等.2号、3号两个正方形面积和为4,则三个4、已知B 12| + |X + y-25|与Z2-10z + 25互为相反数，则以工、y、z为三边的三角形是三角形.5、 ABC 中，AB = 15，AC = 13，高 AD = 12，则 ABC 的周长为.6、如图，已知：点E是正方形ABCD的BC边上的点，现将ADCE沿折痕DE向上翻折， 使DC落在对角线DB上，则EB : CE=.9、如图，已知：ZC = 90AM = CM，MP ± AB 于 P.求证:BP2 = AP2 + BC 2 .M7、如图，AD 是ABC的中线，ZADC=45o, 把ADC沿AD对折，点C落在C的位置， 若 BC=2，则 BC =.二、实数、平方根（一）知识梳理：1、 无理数：叫做无理数。2、 无理数的类型：无限不循环小数（有些是有规律但不循环）如 等；含n的数，如 等;开方开不尽的数的方根，如.等。3、 实数的定义： 统称为实数。4、实数的分类：5、每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反之，数轴上的每一个点表示一个实数，实数与数轴上是一一对应的。6、在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义与有理数范围内的意义完全相同。7、如果x2=a，那么x叫做a的，也称 方根。8、 一个正数有 个平方根，它们互为；只有一个平方根，是；没有平方根。9、叫做a的算术平方根，零的算术平方根是。正数a的算术平方根用 表示，则正数a的平方根可用 表示。和的算术平方根只有一个。10、 已知正数a，则符号伤表示，符号-履表示，符号土展表示11、 当 时，ja有意义；当 时，ja没有意义。12、 如果x3=a，那么x叫做a的，也称 方根。立方根的性质：每个实数(3)若2 =f 则x的取值范围是(4)使 1-aJ2O+1有意义a的取值范围是,( X -1)2(5)当 一 =1时，x的取值范围是X 1x；X 2(6)若=1 贝 g x(7)若 t X + .： X = 0 则 x(8)若 I。2 = (%0)2 则 a2、判断：(1)5是25的算术平方根(3) (-4) 2的平方根是-4()(5) 5是125的立方根()(7)正数的任何次方都是正数(2)0的平方根与算术平方根都是0 ()(4) 5是25的平方根()(6)±4是64的立方根()(8)负数的任何次方都是负数() 那么这个数是.3、如果一个正数的两个平方根是2a-2和a-4(三) 例题1、把下列各数填入相应的集合内：31、3=、0、1'27、?、0.5、3.14159、-0.020020002,(兀)0 , 0.12121121112(1)有理数集合(3) 正实数集合类型之二：二次根式有关概念：(2)无理数集合(4)负实数集合(1)：4 + x(2)v4 + x 2(3) V x + 气：X5、解方程：(1) (X-1)2 - 324 = 0(2)125-8x3 = 0(3)64(x - 3)2 - 9 = 0(4)(4 x -1)2 = 225(5 )2( X -1)3 + 8 = 0125( X - 2)3 =-3434、x取何值时，下列各式有意义。(7)3(-1)2 + 3：M-11 - J3i产 3)2 - 3 5)(3-1)(9)38-f'2 T.75(10)，1 5138 2厂语+瑚-343 - 3'27-k=1 + 2 x6、已知31-2x , 38y - 2互为相反数，求代数式的值.y7、已知x, y都是实数，且y=*XD +<2二+ 3，试求xy的值.8、已知X = a+b是M的立方根，y = 3b-6是x的相反数，且M = 3a -7，请你求出 x的平方根.13、 求一个数a的 的运算，叫做开平方。开平方与互为逆运算。14、 算术平方根的双重非负性：，15、 两个公式： （'a）2=， V a* 1 2 =.（二）专题精讲：类型之一：求平方根、算术平方根与立方根1、填空：（1） 81的平方根是，算术平方根是，刷的平方根是。3的平方根是，算术平方根是，顼3的平方根是。的平方根是土4,算术平方根 ，算术平方根是4的数是。V16的负的平方根是，j52的算术平方根是。±7361 =。（2）一个数的平方等于它本身，这个数 ； 一个数的平方根等于它本身，这个数是_； 一个数的算术平方根等于它本身，这个数是；一个数的立方等于它本身，这个数是； 一个数的立方根等于它本身，这个数是；一个数的算术平方根等于它的立方根，这个数是.
