动量定理与微元法综合应用.docx

流体及其特点微元法方法简介微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用该方法 可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。 在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵 循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的 数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。使用此方法会加强我们对已知规律的再思考， 从而引起巩固知识、加深认识和提高能力的作用。考向I 流体类问题通常液体流、气体瞩遍五液量具有连续性，通常给密度P1建M柱体”模型沿流速”的方向选取一段柱形 流体,其横截面积为S微元研究，作用时间2内的一段柱形流体的长度 为/,对应的质量为pSpN建立方程,应用动量定理研究这段柱体流体_例题精讲例1： 一根质量为M，长度为L的铁链条，被竖直地悬挂起来，其最低端刚好与水平接触， 今将链条由静止释放，让它落到地面上，如图37所示，求链条下落了长度x时，链条对地 面的压力为多大？解析：在下落过程中链条作用于地面的压力实质就是链条对地面的“冲力”加上落在地面上 那部分链条的重力.根据牛顿第三定律，这个冲力也就等于同一时刻地面对链条的反作用力， 这个力的冲量，使得链条落至地面时的动量发生变化.由于各质元原来的高度不同，落到地面 的速度不同，动量改变也不相同.我们取某一时刻一小段链条(微元)作为研究对象，就可以 将变速冲击变为恒速冲击.设开始下落的时刻t=0，在t时刻落在地面上的链条长为x，未到达地面部分链条的速度为V， 并设链条的线密度为Q .由题意可知，链条落至地面后，速度立即变为零从t时刻起取很小一 段时间'在At内又有M'Q Ax落到地面上静止.由动量定理有(F -AMg )At = M 因为 AMg -At 机 0 所以FAt = AM - v 0 = p vAx解得冲力:F = pv竺，其中竺就是t时刻链条的速度V图3-7AtAt故F = pv2链条在t时刻的速度v即为链条下落长为x时的即时速度，即v2=2gx,代入F的表达式中，得F = 2pgx 此即t时刻链对地面的冲力.所以在t时刻链条对地面的总压力为N = 2pgx + pgx = 3pgx =也邑"L例2： 一枚质量为M的火箭，依靠向正下方喷气在空中保持静止，如果喷出气体的速度为v， 那么火箭发动机的功率是多少？解析：火箭喷气时，要对气体做功，取一个很短的时间，求出此时间内，火箭对气体做的功， 再代入功率的定义式即可求出火箭发动机的功率.选取在At时间内喷出的气体为研究对象，设火箭推气体的力为F，根据动量定理，有FAt=Am v 因为火箭静止在空中，所以根据牛顿第三定律和平衡条件有F=Mg艮口 Mg At=Am v At=Am v/Mg对同样这一部分气体用动能定理，火箭对它做的功为：W = 1 Amv 221 A ，W-Amv21所以发动机的功率P = = = -MgVAt (AmV / Mg) 2例3：把一个容器内的空气抽出一些，压强降为p，容器上有一小孔，上有塞子，现把塞子拔 掉，如图313所示.问空气最初以多大初速度冲进容器？(外界空气压强为p0、密度为Q )解析：该题由于不知开始时进入容器内分有多少，不知它们在容器外如何分布，也不知空气 分子进入容器后压强如何变化，使我们难以找到解题途径.注意到题目中“最初”二字，可以 这样考虑：设小孔的面积为S，取开始时位于小孔外一薄层气体为研究对象，令薄层厚度为 L，因AL很小，所以其质量 m进入容器过程中，不改变容器压强，故此薄层所受外力 是恒力，该问题就可以解决了.由以上分析，得：F=(p0-p)S对进入的m气体，由动能定理得：FAL = -Amv2 而 Am=p SAL2联立、式可得：最初中进容器的空气速度v =:叫0 P)p针对练习为估算池中睡莲叶面承受雨滴撞击产生的平均压强，小明在雨天将一圆柱形水杯置于露台，测 得1小时内杯中水位上升了 45mm。查询得知，当时雨滴竖直下落的速度约为12m/s,据此估算该压强约为（设雨滴撞击睡莲后无反弹，不计雨滴重力，雨水的密度为1 x 103kg/m3）（）A.0.15 PaB.0.54 PaC.1.5 Pa D.5.4 Pa【解析】（i）在一段很短的攵时间内， 该时间内，喷出水柱高度： 喷出水柱质量：其中Au为水柱体积，满足:【解析】选A。由题中1小时内水位上升了 45mm，可知每秒钟水位上升的高度： h二错误！未 找到引用源。m,在t秒内雨水对睡莲叶面的冲量：I二错误！未找到引用源。 t=mv=p V v= p （S底 ht） v,可得雨滴对睡莲叶面的压强：p=错误！未找到引用源。=p hv=0.15Pa, 故选项A正确。某游乐园入口旁有一喷泉，喷出的水柱将一质量为M的卡通玩具稳定地悬停在空中。为计算方便起见，假 设水柱从横截面积为S的喷口持续以速度v0竖直向上喷出；玩具底部为平板（面积略大于S）；水柱冲击 到玩具底板后，在竖直方向水的速度变为零，在水平方向朝四周均匀散开。忽略空气阻力。已知水的密度为P，重力加速度大小为g，求：（i）喷泉单位时间内喷出的水的质量；（ii）玩具在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度。可以为喷泉喷出的水柱保持速度不变。Al = u AtAm = p AVAV = Al SAm由可得：喷泉单位时间内喷出的水的质量为奇=P % S（ii）设玩具底面相对于喷口的高度为h由玩具受力平衡得：F冲=Mg矿伸其中；七为玩具底部水体对其的作用力.由牛顿第三定律：F压=F1其中，F压为玩具时其底部下面水体的作用力印地寸为水体到达玩具底部时的速度由运动学公式：U2 - V2 = -2gh在很短At时间内，冲击玩具水柱的质量为AmAm = p v s At 由题意可知，在竖直方向上，对该部分水柱有 动量定理（F 一 + Amg ） At = Am u压由于At很小，Amg也很小，可以忽略式变为F 压 At = Am V V2 M 2 g由可得h = / 一V2 g 2 P 2 V2 S 20【考点】动量定理，流体受力分析，微元法【难点】情景比较新颖，微元法的应用微粒及其特点通常电f流、光子流、尘埃等被'"义地视为“微 粒''，质量具有独立性，通常给出单位体积内粒子 数n建立“柱体"模型，沿运动的方向选取一段微元， 柱体的横截面积为S分析步骤微元研究，作用时间内一段柱形流体的长度为2 /,对应的体积为AV=S%A则微元内的粒子 数 N=nvoS&先应用动量定理研究单个粒子,建立方程，再乘I 3 |以N计算根据量子理论，光子的能量E和动量p之间的关系式为E =pc，其中c表示光速.由于光子有动量，照到物体表面的光子被 物体吸收或反射时都会对物体产生压强，这就是"光压”，用I表示.（1）一台二氧化碳气体激光器发出的激光，功率为P0，射出的光束的横截面积为S.当它垂直照射到一物体表面并被物体全部 反射时，激光对物体表面的压力F=2p N，其中p表示光子的动量，N表示单位时间内激光器射出的光子数.试用P0和S表 示该束激光对物体产生的光压I.（2）有人设想在宇宙探测中用光作为动力推动探测器加速，探测器上安装有面积极大、反射率极高的薄膜，并让它正对太阳. 已知太阳光照射薄膜时对每平方米面积上的辐射功率为1.35 kW，探测器和薄膜的总质量为m=100 kg，薄膜面积为4x 104 m2，求此时探测器的加速度大小.（不考虑万有弓I力等其他的力）解析：激光器的功率为P0=NE（2 分）已知激光对物体表面的压力为F=2Np（2 分）由光压的定义I*（1 分）又 E=pc（1 分）联立以上各式得I= s' .（2 分）太阳光对薄膜产生的光压1=3 工- Pa=9x10-6 Pa（2 分）探测器受到的总光压F=IS（1 分）以探测器为研究对象，根据牛顿第二定律F=ma（1 分）7- _ 9xlO-ex4xlQ4所以 a= *m m/s2= 3.6x10-3 m/s2.