二维拉普拉斯方程的边值问题.ppt
1,2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题,一、矩形域上拉普拉斯方程的边值问题,对于某些特殊区域上的拉普拉斯方程边值问题，,也可以应用分离变量法来求解。,考察一矩形薄板稳恒状态时的温度分布问题。,设薄板上下两面绝热，板的两边,始终保持0度，另外两边,的温度分别,为,和,求板内稳恒状态下的温度分布规律。,我们用,来表示板上点,处的温度，即,2,(31),(30),(32),解下列定解问题：,应用分离变量法，设,(33),将(33)代入方程(30),分离变量得,其中,是常数。,因此我们得到两个常微分方程,3,(35),(34),由齐次边界条件,(32),下面求解常微分方程边值问题,(36),的非0解。,(1)当,时，问题(36)没有非平凡解。,(2)当,时，问题(36)也没有非平凡解。,4,(3)当,时，问题(36)有非平凡解。,此时,对应的,接着考虑方程,(35),将,代入方程(35)可得,其通解为,5,这样我们就可以得到方程(30)满足齐次边界,条件(32)的一系列特解,由于方程(30)和边界条件(32)是齐次的，因此,仍然满足方程和齐次边界条件(32).,再应用非齐次边界条件,(31),(37),6,则有关系式,利用傅里叶系数公式得,由上式解出,代回(37)式即得问题(30)-(32),的解。,7,补充知识点：,欧拉(Euler)方程的一般形式,求,原方程通解为,其中,是常数，,是已知函数。,满足如下欧拉(Euler)方程的函数,解,作变换,则有,代入原方程有,再将,代入还原得,问题：,8,二、圆域上拉普拉斯方程的边值问题,考察一半径为,的圆形模板稳恒状态下的温度,分布问题，,设板的上下两面绝热，圆周边界上的,温度已知为,且,试求稳恒状态下的温度分布规律。,由于稳恒状态下的温度满足拉普拉斯，,并且区,域是圆形的，,为了应用分离变量法，拉普拉斯方程,采用极坐标形式更方便。,我们用,来表示圆形薄板内,点处的温度,则所述问题可以表示成下列定解问题：,9,(39),(40),练习：验证拉普拉斯方程,在极坐标,系下的形式为,提示：,作极坐标变换,10,(39),(40),设方程(39)的解为,代入方程(39)得,分离变量则有,其中比值,为常数。,11,由此可得两个常微分方程,由于温度函数,是单值的，,所以当,从,变到,时，,成立，,从而有,同时，根据问题的物理意义，圆内各点处的温度,应该是有界的，,因而,成立，,由此知,应满足条件,12,这样，我们就得到两个常微分方程的定解问题,(42),(41),1.当,时，,方程的通解为,其中,是任意常数。,由于这样的函数不满足周期,性条件，因此,不能取负值。,我们先从问题(41)入手，对,分三种情形讨论：,13,其中,是任意常数。,只有当,时，函数,才满足周期性条件。,因此，当,时，问题(41),的解为,2.当,时，,方程的通解为,(41),其中,是任意常数。,只有当,因此，当,时，问题(42),的解为,再将,代入问题(42)中的方程,其通解为,时，函数,才满足有界性条件,从而得原方程(39)的一个非0解,14,其中,是任意常数。,3.当,时，,方程的通解为,由于,比较系数得,(41),15,其中,是任意常数。,3.当,时，,方程的通解为,由于,此时问题(41)中的方程的解可表示成,再将,代入问题(42)中的方程,得欧拉(Euler)方程,其通解为,(41),为了保证,只有取,所以,16,那么，当,时，我们得到方程(39),的一系列特解,其中,是任意常数。,由于方程(39)是线性齐次的，利用叠加原理，可,得到该方程满足单值性和有界性的级数解为,(43),为了确定系数,由边界条件(40)即,得,17,由傅里叶级数理论，知,(44),18,因此，定解问题(39)(40),(39),(40),的解由级数解(43)给出,(43),其中系数,由式(44)确定,(44),19,几种常见的固有函数系的形式,(1),(2),(3),(4),以上几种形式对于一维振动方程、热传导方程和,矩形域上的拉普拉斯方程是适用的。,圆域上的拉普拉斯方程对应的固有函数系为,(5),小结,20,例1,求下列问题的解,(44),解,利用公式,21,由于,则有,特别的，,22,又由于,则有,23,(43),将上面所求得的系数,代入级数解公式,则得所给问题的解,24,例2,求下列问题的解,于是所给问题的解,解,由于函数,是调和函数，,因此函数,也是调和函数，,其中,是两个任意常数。,不妨设所求解为,由边界条件得,比较系数可知,25,内容小结：,一、矩形域上拉普拉斯方程的边值问题,(31),(30),(32),(37),解为,其中,26,二、圆域上拉普拉斯方程的边值问题(化为极坐标),(39),(40),的解由级数解(43)给出,(43),其中系数,由式(44)确定,(44),27,三、求解欧拉(Euler)方程,欧拉(Euler)方程的一般形式,求,其中,是常数，,是已知函数。,满足如下欧拉(Euler)方程的函数,解,作变换,问题：,通解为,目前所学的分离变量法适用于什么样的 定解问题？,(1),(2),(3),以上结论对于一维振动方程、一维热传导方程,以及矩形域、圆域上的拉普拉斯方程都是适用的。,小结,方程含有两个自变量（其中空间变量有界）,方程是齐次的（即自由项为0）,边界条件中有两个是齐次的,注：定解问题中非齐次的条件往往放在最后使用,29,(43),其中系数,由下式(44)确定,(44),附：将级数解(43)化成积分形式,将(44)代入(43)得,30,化简即得,作下面恒等变形：,令,欧拉公式,31,则有,那么级数解(43)可表示成积分形式,(45),这个公式称为圆域内的泊松公式。,
