材料力学(I)第五章.ppt

第 5 章 梁弯曲时的位移,5-1 梁的位移挠度和转角,直梁在对称平面xy内弯曲时其原来的轴线AB将弯曲成平面曲线AC1B。梁的横截面形心(即轴线AB上的点)在垂直于x轴方向的线位移w称为挠度(deflection)，横截面对其原来位置的角位移q 称为横截面的转角(angle of rotation)。,弯曲后梁的轴线挠曲线(deflection curve)为一平坦而光滑的曲线，它可以表达为w=f(x)，此式称为挠曲线方程。由于梁变形后的横截面仍与挠曲线保持垂直，故横截面的转角q 也就是挠曲线在该相应点的切线与x轴之间的夹角，从而有转角方程：,直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与梁的弯曲变形程度(挠曲线曲率的大小)有关，也与支座约束的条件有关。图a和图b所示两根梁，如果它们的材料和尺寸相同，所受的外力偶之矩Me也相等，显然它们的变形程度(也就是挠曲线的曲率大小)相同，但两根梁相应截面的挠度和转角则明显不同。,在图示坐标系中，挠度w向下为正，向上为负；顺时针转向的转角 为正，逆时针转向的转角为负。,5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分,I.挠曲线近似微分方程的导出,在4-4中曾得到等直梁在线弹性范围内纯弯曲情况下中性层的曲率为,这也就是位于中性层内的挠曲线的曲率的表达式。,在横力弯曲下，梁的横截面上除弯矩M=M(x)外，还有剪力FS=FS(x)，剪力产生的剪切变形对梁的变形也会产生影响。但工程上常用的梁其跨长l 往往大于横截面高度h的10倍，此时剪力FS对梁的变形的影响可略去不计，而有,注意：对于有些l/h10的梁，例如工字形截面等直梁，如同在核电站中会遇到的那样，梁的翼缘由不锈钢制作，而主要承受剪力的腹板则由价廉但切变模量较小的复合材料制作，此时剪切变形对梁的变形的影响是不可忽略的。,从几何方面来看，平面曲线的曲率可写作,式中，等号右边有正负号是因为曲率1/r为度量平面曲线(挠曲线)弯曲变形程度的非负值的量，而w是q=w 沿x方向的变化率，是有正负的。,再注意到在图示坐标系中，负弯矩对应于正值w，正弯矩对应于负值的w，故从上列两式应有,由于梁的挠曲线为一平坦的曲线，上式中的w2与1相比可略去，于是得挠曲线近似微分方程,II.挠曲线近似微分方程的积分及边界条件,求等直梁的挠曲线方程时可将上式改写为,后进行积分，再利用边界条件(boundary condition)确定积分常数。,当全梁各横截面上的弯矩可用一个弯矩方程表示时(例如图中所示情况)有,以上两式中的积分常数C1，C2由边界条件确定后即可得出梁的转角方程和挠曲线方程。,边界条件(这里也就是支座处的约束条件)的示例如下图所示。,若由于梁上的荷载不连续等原因使得梁的弯矩方程需分段写出时，各段梁的挠曲线近似微分方程也就不同。而对各段梁的近似微分方程积分时，都将出现两个积分常数。要确定这些积分常数，除利用支座处的约束条件(constraint condition)外，还需利用相邻两段梁在交界处的连续条件(continuity condition)。这两类条件统称为边界条件。,试求图示悬臂梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。梁的EI为常量。,例题 5-1,1.列挠曲线近似微分方程，并积分。该梁的弯矩方程为,挠曲线近似微分方程为,通过两次积分得,(b),例题 5-1,解:,2.确定积分常数，并求转角方程和挠曲线方程,转角方程,挠曲线方程,由(3)、(4)两式得,该梁的边界条件为：在 x=0 处 w=0，w=0,将C1和C2代入(3)、(4)两式，得,例题 5-1,根据该梁边界条件和全梁横截面上弯矩均为负值，描出挠曲线的示意图(图c)。,转角方程,挠曲线方程,(c),例题 5-1,由挠曲线可见，该梁的qmax和wmax均在x=l的自由端处。由(5)、(6)两式得,2.求qmax和wmax,(c),例题 5-1,3.由此题可见，当以x为自变量对挠曲线近似微分方程进行积分时，所得转角方程和挠曲线方程中的积分常数是有其几何意义的：,此例题所示的悬臂梁，q0=0，w0=0，因而也有C1=0，C2=0。,例题 5-1,4.因为，是在x向右为正、y向下为正的条件下建立的，所以用积分法求位移时也必须用这样的坐标系。,例题 5-1,思考:试求图示等截面悬臂梁在所示坐标系中的挠曲线方程和转角方程。积分常数C1和C2等于零吗？,试求图示简支梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。梁的EI为常量。,例题 5-2,列挠曲线近似微分方程，并积分。支反力FA=FB=ql/2,挠曲线近似微分方程为,通过两次积分得：,弯矩方程为,例题 5-2,解:,2.确定积分常数。该梁的边界条件为：在 x=0 处 w=0，在 x=l 处 w=0,把边界条件分别代入(4)式，得,解得,例题 5-2,将C1和C2代入(3)、(4)两式，得,转角方程,挠曲线方程,例题 5-2,3.求qmax和wmax根据挠曲线的对称性可知，两支座处的转角qA及qB 的绝对值相等，且均为最大值。将x=0及x=l代入(5)式，得,最大挠度在跨中，将x=l/2代入(6)式，得,例题 5-2,试求图示简支梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。梁的EI为常量,例题 5-3,约束力为,两段梁的弯矩方程分别为,为了后面确定积分常数方便，列弯矩方程M2(x)时仍取x截面左边的梁段为分离体，使方程M2(x)中的第一项与方程M1(x)中的项相同。且不要把M2(x)中的F(x-a)展开。,1.分段列弯矩方程,例题 5-3,解:,2.分别列梁的挠曲线近似微分方程，并积分：,例题 5-3,值得注意的是，在对右段梁进行积分运算时，对于含有(x-a)的项是以(x-a)作为积分变量进行积分的，因为这样可在运用连续条件，即x=a时，w1=w2及w1=w2，由(1)、(1)和(2)、(2)式得C1=D1，C2=D2。,3.确定积分常数,例题 5-3,再利用支座位移条件，即：在x=0处 w1=0，在 x=l 处 w2=0,由两个连续条件得：,例题 5-3,将x=l，代入(2)式，得,即,从而也有,例题 5-3,将C1、C2、D1、D2代入(1)、(1)和(2)、(2)式得两段梁的转角方程和挠曲线方程如下：,4.建立转角方程和挠度方程,例题 5-3,左、右两支座处截面的转角分别为,当ab时有,5.求qmax和wmax,例题 5-3,根据图中所示挠曲线的大致形状可知，当ab时，最大挠度wmax可能发生在AD段的=0处，令，得,ab时，x1a，可见w发生在AD段，即wmax发生在AD段。,例题 5-3,将x1的表达式(6)代入左段梁的挠曲线方程(4)得,例题 5-3,由(7)式还可知，当集中荷载F作用在右支座附近时，b值甚小，以致 b2 和 l2 相比可略去不计，则有,它发生在 处。而 处(跨中点C)的挠度wC为,6.求wmax的近似表达式,例题 5-3,当集中荷载F作用于简支梁的跨中时(a=b=l/2)，最大转角qmax和最大挠度wmax为,可见在集中荷载作用于右支座附近这种极端情况下，跨中挠度与最大挠度也只相差不到3%。因此在工程计算中，只要简支梁的挠曲线上没有拐点都可以用跨中挠度代替最大挠度。,例题 5-3,当分两段建立挠曲线近似微分方程时，为确定积分常数简便，必须遵守以下规则：(1)列每段的弯矩方程时，均以x截面左面的梁段为分离体。第II段的弯矩方程中含有(x-a)的项，不能展开。(2)对第II段的挠曲线近似微分方程进行积分时，均以(x-a)作为积分变量。这样，在利用位移连续条件后，将4个积分常数简化为2个，否则将用4个方程联立求解4个积分常数。,例题 5-3,思考:试绘出图示两根简支梁的弯矩图，并描出它们的挠曲线。并指出：(1)跨中挠度是否最大？(2)跨中挠度的值是否接近最大挠度值？,5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角,当梁的变形微小，且梁的材料在线弹性范围内工作时，梁的挠度和转角均与梁上的荷载成线性关系。在此情况下，当梁上有若干荷载或若干种荷载作用时，梁的某个截面处的挠度和转角就等于每个荷载或每种荷载单独作用下该截面的挠度和转角的代数和。这就是计算梁的位移时的叠加原理(principle of superposition)。,悬臂梁和简支梁在简单荷载(集中荷载，集中力偶，分布荷载)作用下，悬臂梁自由端的挠度和转角表达式，以及简支梁跨中挠度和支座截面转角的表达式已在本教材的附录中以及一些手册中给出。根据这些资料灵活运用叠加原理，往往可较方便地计算复杂荷载情况下梁的指定截面的挠度和转角。,试按叠加原理求图a所示简支梁的跨中截面的挠度 wC 和两端截面的转角qA 及 qB。已知EI为常量。,例题 5-4,为了能利用简单荷载作用下梁的挠度和转角公式，将图a所示荷载视为与跨中截面C正对称和反对称荷载的叠加(图b)。,例题 5-4,解:,在集度为q/2的正对称均布荷载作用下，查有关梁的挠度和转角的公式，得,例题 5-4,注意到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零，而且该截面上的弯矩亦为零，但转角不等于零，因此可将左半跨梁 AC 和右半跨梁 CB分别视为受集度为 q/2 的均布荷载作用而跨长为 l/2 的简支梁。查有关梁的挠度和转角的公式得,在集度为q/2的反对称均布荷载作用下，由于挠曲线也是与跨中截面反对称的，故有,例题 5-4,按叠加原理得,例题 5-4,试按叠加原理求图a所示外伸梁的截面B的转角qB，以及A端和BC段中点D的挠度wA和wD。已知EI为常量。,例题 5-5,为利用简支梁和悬臂梁的挠度和转角公式，将图a所示外伸梁看作由悬臂梁AB(图b)和简支梁BC(图c)所组成。外伸梁在支座B左侧截面上的剪力 和弯矩 应当作为外力和外力偶矩施加在悬臂梁和简支梁的B截面处，它们的指向和转向如图b及图c所示。,例题 5-5,解:,图c中所示简支梁BC的受力情况以及约束情况与原外伸梁BC段完全相同，注意到简支梁B支座处的外力2qa将直接传递给支座B，而不会引起弯曲。简支梁BC，由q产生的Bq、wDq(图d)，由MB产生的 BM、wDM(图e)。可查有关式，将它们分别叠加后可得 B、wD，它们也是外伸梁的 B和wD。,例题 5-5,例题 5-5,图b所示悬臂梁AB的受力情况与原外伸梁AB段相同，但要注意原外伸梁的B截面是可以转动的，其转角就是上面求得的qB，由此引起的A端挠度w1=|qB|a，应叠加到图b所示悬臂梁的A端挠度w2上去,才是原外伸梁的A端挠度wA,例题 5-5,*5-4 梁挠曲线的初参数方程,I.初参数方程的基本形式,前已得到等直梁的挠曲线近似方程为,弯矩、剪力与分布荷载集度之间的微分关系为,后一个微分关系按q(x)向上为正导出。,为了使下面导出的挠曲线初参数方程(initial parametric equation)中除了包含与位移相关的初参数q0和w0以外，也包含与内力相关的初参数FS0和M0，先将二阶的挠曲线近似微分方程对x取二阶导数求得等直梁挠曲线的四阶微分方程,然后进行积分得,以x=0代入以上四式，并注意到以x为自变量时上列四式中的积分在坐标原点(x=0)处均为零，于是得,式中，FS0，M0，0和w0为坐标原点处横截面(初始截面)上的剪力、弯矩、转角和挠度，它们是初参数方程中的四个初参数。,将积分常数C1，C2，C3，C4代入上述表达式中的后二式即得转角和挠曲线初参数方程的基本形式：,初参数方程中的四个初参数可由梁的边界条件确定。,显然，如果梁上的分布荷载是满布的(分布荷载在全梁上连续)，而且除梁的两端外没有集中力和集中力偶，亦即荷载和内力在全梁范围内为连续函数，则可直接应用上述两个方程。简支梁或悬臂梁受满布分布荷载作用时就属这种情况。在此条件下，当分布荷载为向下的均布荷载时，q(x)=-q，从而有,试利用初参数方程求图示简支梁的跨中挠度wC和B截面的转角qB。已知梁的EI为常量,例题 5-6,1.根据边界条件确定初参数,另一初参数q0需利用x=l 处挠度等于零的边界条件求出。将以上三个初参数代入挠曲线的初参数方程，并注意该公式中的q(x)=-q，有,由x=0处的边界条件得：,解得,例题 5-6,解:,2.列出挠曲线方程和转角方程，并求挠度wC和转角qB,将已得到的四个初参数代入初参数方程得：,挠曲线方程,即,转角方程,即,例题 5-6,将x=l/2代入(1)式，得,将x=l代入(2)式，得,例题 5-6,II.一般情况的处理,这里所说的一般情况是指梁上分布荷载不连续，梁上除两端外其余部分也有集中力或集中力偶等作用的情况。此时，外力(荷载和约束力)将梁分为数段，每段梁的挠曲线方程和转角方程各不相同，但相邻两段梁在交界处的挠度和转角仍连续。,现就几种常遇情况下的初参数方程加以讨论。,情况一,CB段梁转角和挠曲线方程中带积分的项，是由于自x=a处开始有向下的均布荷载而在AC段梁延续过来的相应方程EIq1和EIw1中增加的项。,未知初参数q0可由 x=l 处 wB=w|x=l=0 的边界条件求得。,情况二,CB段梁的转角和挠曲线方程中带积分的项，是由于考虑C截面(x=b)以右没有向下的均布荷载，而从由AC段梁延续过来的相应方程EIq1和EIw1中减去了的那部分在C截面以右的均布荷载产生的影响的相关项。,未知初参数q0可由 wB=w|x=l=0 的边界条件求得。,情况三,AB段梁的转角和挠曲线方程中的第二项，是由于考虑在由CA段梁延续过来的相应方程EIq1和EIw1中，应将向上的约束力在A截面(x=c)偏右截面上产生的剪力的影响包含进去而增加的项。,未知初参数q0和w0 可由边界条件 wA=w|x=c=0 和 wB=w|x=l+c=0 求得。,情况四,初参数：,CB段梁的转角和挠曲线方程中第二项，是由于考虑在由AC段梁延续过来的相应方程EIq1和EIw1中，应将外力偶矩Me在C截面(x=d)偏右截面上对应的弯矩所产生的影响包含进去而增加的项。,在此例中，四个初参数都是已知的。,思考:对于情况四中的等直梁，试检验由初参数方程所求得的wB，wC，qC 是否符合如下关系：,5-5 梁的刚度校核提高梁的刚度的措施,I.梁的刚度校核,对于产生弯曲变形的杆件，在满足强度条件的同时，为保证其正常工作还需对弯曲位移加以限制，即还应该满足刚度条件(stiffness condition)：,式中，l为跨长，为许可的挠度与跨长之比(简称许可挠跨比)，q为许可转角。上列刚度条件常称之为梁的刚度条件。,土建工程中通常只限制梁的挠跨比，。在机械工程中，对于主要的轴，；对于传动轴还要求限制在安装齿轮处和轴承处的转角，。,图a所示简支梁由两根槽钢组成(图b)，试按强度条件和刚度条件选择槽钢型号。已知=170 MPa，=100 MPa，E=210 GPa，。,例题 5-7,一般情况下，梁的强度由正应力控制，选择梁横截面的尺寸时，先按正应力强度条件选择截面尺寸，再按切应力强度条件进行校核，最后再按刚度条件进行校核。如果切应力强度条件不满足，或刚度条件不满足，应适当增加横截面尺寸。,例题 5-7,解:,1.按正应力强度条件选择槽钢型号,梁的剪力图和弯矩图分别如图c和图e所示。最大弯矩为Mmax=62.4 kNm。梁所需的弯曲截面系数为,例题 5-7,而每根槽钢所需的弯曲截面系数 Wz36710-6 m3/2=183.510-6 m3=183.5 cm3。由型钢表查得20a号槽钢其Wz=178 cm3，虽略小于所需的Wz=183.5 cm3，但所以可取20a号槽钢。,例题 5-7,2.按切应力强度条件校核,图c最大剪力FS,max=138 kN。每根槽钢承受的最大剪力为,例题 5-7,Sz,max 为20a号槽钢的中性轴z以下半个横截面的面积对中性轴z的静矩。根据该号槽钢的简化尺寸(图d)可计算如下：,例题 5-7,当然，的值也可按下式得出：,每根20a号槽钢对中性轴的惯性矩由型钢表查得为 Iz=1780.4 cm4 1780cm4,例题 5-7,故20a号槽钢满足切应力强度条件。,于是,例题 5-7,3.校核梁的刚度条件 如图a，跨中点C处的挠度为梁的最大挠度wmax。由叠加原理可得,例题 5-7,梁的许可挠度为,由于,因此，所选用的槽钢满足刚度条件。,例题 5-7,II.提高梁的刚度的措施,(1)增大梁的弯曲刚度EI,由于不同牌号的钢材它们的弹性模量E大致相同(E210 GPa)，故从增大梁的弯曲刚度来说采用高强度钢并无明显好处。为增大钢梁的弯曲刚度，钢梁的横截面均采用使截面面积尽可能分布在距中性轴较远的形状，以增大截面对于中性轴的惯性矩Iz，例如工字形截面和箱形截面。,跨长为l 的简支梁受集度为q的满布均布荷载时，最大弯矩和最大挠度均出现在跨中，它们分别为,(2)调整跨长和改变结构的体系,如果将两个铰支座各内移一个距离a而成为如图a所示的外伸梁，且a=0.207l，则不仅最大弯矩减小为,而且跨中挠度减小为,而此时外伸端D和E的挠度也仅为,所谓改变结构的体系来提高梁的刚度在这里是指增加梁的支座约束使静定梁成为超静定梁，例如在悬臂梁的自由端增加一个铰支座，又例如在简支梁的跨中增加一个铰支座。,5-6 梁内的弯曲应变能,在本教材的3-6中曾讲述了等直圆杆扭转时的应变能，并利用功能原理导出了密圈圆柱螺旋弹簧受压(拉)时弹簧高度变化量的计算公式。,本节研究等直梁在线弹性范围内工作时，由于作用在梁上的外力作功而在梁内蓄积的弯曲应变能Ve，并利用功能原理来求梁在简单荷载情况下的位移。,等直梁在线弹性范围内纯弯曲时(图a)，其曲率 为常量，挠曲线为一圆弧，梁的两个端面在梁弯曲后对应的圆心角为,图b示出了Me与q 的上列线性关系。图b中斜直线下的三角形面积即代表外力偶之矩由零增大到最终值 Me 过程中，外力偶所作的功：,它在数值上就等于梁在纯弯曲时的应变能：,将 代入上式可得,梁在横力弯曲时，既有与弯曲变形相应的弯曲正应变能，又有与剪切变形相应的剪切应变能。但如同在5-2开始时所述，工程中常用的梁其剪切变形对位移的影响通常很小，可略去不计。梁在横力弯曲时其长为dx的微段内的弯曲应变能为,从而全梁内的弯曲应变能为,式中，M(x)为任一横截面上弯矩的表达式，亦即弯矩方程。,此式在求梁系(例如两根交叉在一起的梁)的位移等问题时是有用的。,顺便指出，由于直梁横力弯曲时，因此上式也可写作,试按叠加原理求图a所示简支梁的跨中截面的挠度 wC 和两端截面的转角qA 及 qB。已知EI为常量。,例题 5-8,为了能利用简单荷载作用下梁的挠度和转角公式，将图a所示荷载视为与跨中截面C正对称和反对称荷载的叠加(图b)。,例题 5-8,在集度为q/2的正对称均布荷载作用下，查有关梁的挠度和转角的公式，得,例题 5-8,注意到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零，而且该截面上的弯矩亦为零，但转角不等于零，因此可将左半跨梁 AC 和右半跨梁 CB分别视为受集度为 q/2 的均布荷载作用而跨长为 l/2 的简支梁。查有关梁的挠度和转角的公式得,在集度为q/2的反对称均布荷载作用下，由于挠曲线也是与跨中截面反对称的，故有,例题 5-8,按叠加原理得,例题 5-8,第五章结束,