曲线方程、平面方程.ppt
第七章,一、空间曲线的一般方程,二、空间曲线的参数方程,三、空间曲线在坐标面上的投影,第四节,空间曲线及其方程,三、空间曲线在坐标面上的投影,设空间曲线 C 的一般方程为,消去 z 得投影柱面,则C 在xoy 面上的投影曲线 C为,消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程,消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程,例如,在xoy 面上的投影曲线方程为,又如,所围的立体在 xoy 面上的投影区域为:,上半球面,和锥面,在 xoy 面上的投影曲线,二者交线,所围圆域:,二者交线在,xoy 面上的投影曲线所围之域.,题1：画出下列曲线在第一卦限内的图形。,(2),(1),(3),求曲线,绕 z 轴旋转的曲面与平面,的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.,解：,旋转曲面方程为,交线为,此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为,此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为,它与所给平面的,练习题：,第五节,一、平面的点法式方程,二、平面的一般方程,三、两平面的夹角,平面及其方程,第七章,一、平面的点法式方程,设一平面通过已知点,且垂直于非零向,称式为平面的点法式方程,求该平面的方程.,法向量.,量,则有,故,例1.求过三点,即,解:取该平面 的法向量为,的平面 的方程.,利用点法式得平面 的方程,此平面的三点式方程也可写成,一般情况:,过三点,的平面方程为,说明:,特别,当平面与三坐标轴的交点分别为,此式称为平面的截距式方程.,时,平面方程为,分析:利用三点式,按第一行展开得,即,二、平面的一般方程,设有三元一次方程,以上两式相减,得平面的点法式方程,此方程称为平面的一般,任取一组满足上述方程的数,则,显然方程与此点法式方程等价,的平面,因此方程的图形是,法向量为,方程.,特殊情形,当 D=0 时,A x+B y+C z=0 表示,通过原点的平面;,当 A=0 时,B y+C z+D=0 的法向量,平面平行于 x 轴;,A x+C z+D=0 表示,A x+B y+D=0 表示,C z+D=0 表示,A x+D=0 表示,B y+D=0 表示,平行于 y 轴的平面;,平行于 z 轴的平面;,平行于 xoy 面 的平面;,平行于 yoz 面 的平面；,平行于 zox 面 的平面.,例2.求通过 x 轴和点(4,3,1)的平面方程.,例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.,解:,因平面通过 x 轴,设所求平面方程为,代入已知点,得,化简,得所求平面方程,三、两平面的夹角,设平面1的法向量为,平面2的法向量为,则两平面夹角 的余弦为,即,两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.,特别有下列结论：,因此有,例4.一平面通过两点,垂直于平面:x+y+z=0,求其方程.,解:设所求平面的法向量为,即,的法向量,约去C,得,即,和,则所求平面,故,方程为,且,外一点,求,例5.设,解:设平面法向量为,在平面上取一点,是平面,到平面的距离d.,则P0 到平面的距离为,(点到平面的距离公式),例6.,解:设球心为,求内切于平面 x+y+z=1 与三个坐标面所构成,则它位于第一卦限,且,因此所求球面方程为,四面体的球面方程.,从而,第六节,一、空间直线方程,二、线面间的位置关系,空间直线及其方程,第七章,一、空间直线方程,因此其一般式方程,1.一般式方程,直线可视为两平面交线，,(不唯一),2.对称式方程,故有,说明:某些分母为零时,其分子也理解为零.,设直线上的动点为,则,此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程),直线方程为,已知直线上一点,例如,当,和它的方向向量,例1.求与两平面 x 4 z=3 和 2 x y 5 z=1 的交线,提示:所求直线的方向向量可取为,利用点向式可得方程,平行,且 过点(3,2,5)的直线方程.,3.参数式方程,设,得参数式方程:,例1.用对称式及参数式表示直线,解:先在直线上找一点.,再求直线的方向向量,令 x=1,解方程组,得,交已知直线的两平面的法向量为,是直线上一点.,故所给直线的对称式方程为,参数式方程为,例2.求直线,与平面,的交点.,提示:化直线方程为参数方程,代入平面方程得,从而确定交点为（1，2，2）.,二、线面间的位置关系,1.两直线的夹角,则两直线夹角 满足,设直线,两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角),的方向向量分别为,特别有:,例2.求以下两直线的夹角,解:直线,直线,二直线夹角 的余弦为,从而,的方向向量为,的方向向量为,当直线与平面垂直时,规定其夹角,线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;,2.直线与平面的夹角,当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为,平面 的法向量为,则直线与平面夹角 满足,直线和它在平面上的投影直,特别有:,解:取已知平面的法向量,则直线的对称式方程为,直的直线方程.,为所求直线的方向向量.,垂,例3.求过点(1,2,4)且与平面,例4.设一平面平行于已知直线,且垂直于已知平面,求该平面法线的,的方向余弦.,提示:,已知平面的法向量,求出已知直线的方向向量,取所求平面的法向量,所求为,例5.求过点(2,1,3)且与直线,垂直相交的直线方程.,提示:先求二直线交点 P.,化已知直线方程为参数方程,代入 式,可得交点,最后利用两点式得所求直线方程,的平面的法向量为,故其方程为,过已知点且垂直于已知直线,到直线,的距离,为,(2)点,思路:先求交点,例7.求过点,且与两直线,都相交的直线 L.,提示:,的方程化为参数方程,设 L 与它们的交点分别为,再写直线方程.,三点共线,3.相关的几个问题,(1)过直线,的平面束,方程,例4.求直线,在平面,上的投影直线方程.,提示：过已知直线的平面束方程,从中选择,得,这是投影平面,即,使其与已知平面垂直：,从而得投影直线方程,例6.求过直线L:,且与平面,夹成,角的平面方程.,提示:,过直线 L 的平面束方程,其法向量为,已知平面的法向量为,选择,使,从而得所求平面方程,一、内容小结,空间平面,一般式,点法式,截距式,三点式,1.空间直线与平面的方程,为直线的方向向量.,空间直线,一般式,对称式,参数式,为直线上一点;,面与面的关系,平面,平面,垂直:,平行:,夹角公式:,2.线面之间的相互关系,直线,线与线的关系,直线,垂直:,平行:,夹角公式:,平面:,垂直：,平行：,夹角公式：,面与线间的关系,直线:,3.相关的几个问题,(1)过直线,的平面束,方程,(2)点,的距离为,到平面：A x+B y+C z+D=0,到直线,的距离,为,(3)点,推广,第八章,一元函数微分学,多元函数微分学,注意:善于类比,区别异同,多元函数微分法,及其应用,第八章,第一节,一、区域,二、多元函数的概念,三、多元函数的极限,四、多元函数的连续性,多元函数的基本概念,一、1.邻域,例如,在平面上,(圆邻域),在空间中,(球邻域),说明：若不需要强调邻域半径,也可写成,点 P0 的去心邻域记为,中点 a 的 邻域为,(1)内点、外点、边界点,设有点集 E 及一点 P:,若存在点 P 的某邻域 U(P)E,若存在点 P 的某邻域 U(P)E=,若对点 P 的任一邻域 U(P)既含 E中的内点也含 E,则称 P 为 E 的内点；,则称 P 为 E 的外点;,则称 P 为 E 的边界点.,的外点,显然,E 的内点必属于 E,E 的外点必不属于 E,E 的,边界点可能属于 E,也可能不属于 E.,2、区域,(2)聚点,若对任意给定的,点P 的去心,邻域,内总有E 中的点,则,称 P 是 E 的聚点.,聚点可以属于 E,也可以不属于 E,内点一定是聚点；,说明：,边界点可能是聚点；,(3)开区域及闭区域,若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；,若点集 E E,则称 E 为闭集；,若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连,开区域连同它的边界一起称为闭区域.,则称 D 是连通的;,连通的开集称为开区域,简称区域;,。,E 的边界点的全体称为 E 的边界,记作E;,例如，在平面上,开区域,闭区域,整个平面,点集,是开集，,是最大的开域,也是最大的闭域；,但非区域.,对区域 D,若存在正数 K,使一切点 PD 与某定点,A 的距离 AP K,则称 D 为有界域,界域.,否则称为无,定义1.设非空点集,点集 D 称为函数的定义域;,数集,称为函数的值域.,特别地,当 n=2 时,有二元函数,当 n=3 时,有三元函数,映射,称为定义,在 D 上的 n 元函数,记作,二、多元函数的概念,例1 求 的定义域,解,所求定义域为,例.设,求,解法1 令,设,求,解法2 令,即,二元函数的图形通常是一张曲面.,二元函数 的图形,
