方向导数与梯度(77).ppt
三、梯度的概念,一、问题的提出,二、方向导数的定义,9.7 方向导数与梯度,四、小结 思考题,一、问题的提出,【回顾】,一元函数,反应函数 y 在点x0处沿x轴直线方向的变化率.,二元函数,反应函数z在点P(x0,y0)处沿x轴直线方向的变化率,反应函数z在点P(x0,y0)处沿y 轴直线方向的变化率,【问题】,二元函数z=f(x,y)在点P(x0,y0)处沿其它射线方向的变化率如何？(x,y同时在变化),讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题,二、方向导数的定义,（如图）,l 的参数方程,记为,1.【定义】,(2),【说明】,(1)对方向导数,以下两种定义方式等价,（自己推导）,综上可知：若某点偏导数存在，能保证该点沿x、y 轴的四个射线方向的方向导数分别存在.其它方向的方向导数是否存在未知.,例如,(3)但反之，若方向导数存在，偏导数不一定存在,附注偏导数存在而其他方向的方向导数不存在,易知在原点不连续且,当cos,cos都不为0时(有一个为0就是x，y轴的四个射线方向之一)，沿方向,不存在,例如,2.【方向导数的存在及计算】,方向导数何时存在、以及与偏导数有何关系，有如下定理,【证明】,由假设,则,证毕,故有方向导数公式,【注意】,(1)可微是方向导数存在的充分条件.此时,(2)在不可微点，方向导数也可能存在，此时要用方向导数定义求.,同理当函数在该点可微时，函数在该点沿任意方向的方向导数都存在且有：,(2)【推广可得三元函数方向导数的定义】,或,【解】,综合性题,【分析】1.先求单位法向量 2.再套方向导数公式,【解】,令,故,方向余弦为,故,【方向导数几何解释】,三、梯度的概念,【问题】,实例一块长方形的金属板，四个顶点的坐标分别是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3).在坐标原点处有一个火焰,它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在点(3,2)处有一只蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？,【问题的实质】应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行,或,其中,称为向量微分算子或 Nabla算子.,【注】梯度是定义域所在空间（坐标系）内 的一个向量.,其中,讨论,由方向导数公式知,【结论】,函数在某点的梯度是个向量，它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向，它的模等于方向导数的最大值,梯度的模为,一点的梯度方向就是从这点出发时，函数值增加最快的方向；而负梯度方向则是从这点出发时，函数值减少最快的方向,说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影:,2.【梯度的几何意义】,称为函数 f 的等值线或等高线.,则L*上点P 处的法向量为,举例,函数在一点的梯度垂直于该点等值线,指向函数值增大的方向.,同样,的等值面(等量面).,当其各偏导数不同,其上点 P 处的法向量为,称为,时为零时,等高线图举例,这是利用数学软件Mathematica 绘制的曲面及其等高线图,带阴影的等高线图中,亮度越大对应曲面上点的位置越高,等高线图,带阴影的等高线图,【例如】,梯度几何意义说明图,梯度的概念可以推广到三元函数,其中,称为向量微分算子或 Nabla算子.,类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向的方向导数取得最大值，其模为方向导数的最大值.,【解】,由梯度计算公式得,故,【解】,【作业题】,四、小结,1.方向导数,三元函数,在点,沿方向 l(方向角,的方向导数为,二元函数,在点,的方向导数为,沿方向 l(方向角为,2.梯度,三元函数,在点,处的梯度为,二元函数,在点,处的梯度为,3.关系,方向导数存在,偏导数存在,可微,方向:f 变化率最大的方向,模:f 的最大变化率之值,梯度的特点,【思考题】,或,【思考题解答】,【几何解释】,两半切线不重合，偏导数不存在,【完毕返回】,【补充题】,（提示：取该点梯度的负方向）,一、问题的提出二、多元函数的极值和最值三、条件极值拉格朗日乘数法四、小结,多元函数微分法,第九章,习题课,一、关于多元函数极限的题类,二、关于多元函数连续、偏导数存在、可微的题类,三、关于偏导数、全微分计算的题类,四、关于方向导数和梯度的题类,五、关于多元函数微分学应用的题类,1.几何应用.,2.极(最)值,必须熟练掌握本章以下几个概念之间的关系,一、关于多元函数极限的题类,二元函数的极限比一元函数的极限要复杂得多，计算也更困难.通常从以下四个方面考虑：,(1)设法利用变换化为一元函数的极限再求;无穷小性质等.,(2)掌握绝对值不等式的放缩技巧，使用夹逼定理;,(3)利用二元初等函数在内点处的连续性:,(4)通过观察，若大致估计所求极限不存在，可选择两条不同路径，求出不同的极限值，借以证明原式极限不存在;,(或可选取一条路径求得极限不存在,则原极限不存在),【例1】,初等函数.(1,0)定义域内点.连续.代入法,【例2】,换元,化为一元函数的极限,【例3】,【解】,由于,且,故原极限=0,夹逼准则,【阅读与练习】,求下列极限,【解】,【提示】可以引用一元函数求极限的各种技巧,或,若多项式Pm(x，y)与x+y无公因子，在一般情况下其极限是不存在的.证明方法是,分别令y=kx及y=xsx,其中s是分子中关于x，y 的最低次数,求出当x0时两个不同的极限值,即可断定原极限不存在.,【注意】对于形如 的二重极限,【练习】,是否存在？,【解】,所以极限不存在.,仅知其中两个存在,【说明】,二次极限是两个极限过程；而重极限是一个极限过程.,仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.,二重极限,不同.,如果它们都存在,则三者相等.,与累次极限,也推不出第三者存在.,和,例如两个累次极限,存在,而二重极限不存在.,又如,则重极限,而两个累次极限均不存在.,【强调】本课程讨论的极限均为重极限.,二、关于多元函数连续、偏导数存在、可微的题类,一般来说，讨论二元函数z=f(x,y)在某点的连续性、可偏导性以及可微性时，都要用相应的定义判定；尤其是分段函数在分界点的上述“性态”就是要用各自的定义判断.,连 续,可偏导,可 微,内含三条，缺一不可,包括高阶偏导数定义等,【例1】设函数,【解】(1),同理,由fy(0,0)存在,按要求,利用夹逼准则,因此(0,0)=0时，f(x,y)在(0,0)点可微.,(2)因可微必可偏导，所以为使f(x,y)在(0,0)点可微，必应有,(0,0)=0.但此条件下是否可微，应进一步用可微定义确定.,三、关于偏导数、全微分计算的题类,1.【多元复合函数求导法则】,(1)【可导充分条件】内层函数偏导存在,外层函数偏导连续(可微）,(2)【复合函数求导链式法则】,全导数,“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”,2.【全微分】全微分各偏微分之和,u,v是自变量或中间变量,3.【隐函数的求导法则】,(1)公式法,(2)推导法(直接法)方法步骤,x、y、z 等各变量地位等同,要求掌握推导法(即直接法),解由得到的方程(组),解出要求的偏导数.,形式不变性,搞清哪个(些)是因变量,中间变量,自变量；,将方程(组)两边同时对某个自变量求(偏)导；,(3)微分法若已知函数可微则可使用,自变量与因变量由所求对象判定,【例1】,【解】,【注意】易犯错误:,此错误在于:,复合函数链式图法,教材 习题9-5 P89 第11题,【例2】,【解】,方程组确定隐函数推导法,【解】,两边同时对x求导,【解】,全微分法（因f,F一阶偏导连续，故可微）,【提示】,看作两个方程的方程组,三个变量,确定两个一元函数,用推导法(直接法)解方程最为简单.,【解】,先复合,两边对x求导得,【解】,两边全微分,【解】,代入,将y=x2,u=1代入得,【例3】,【解】,【分析】,确定y=y(x),z=z(x),u=u(x)三方程两边同时对x求导.,由可得,5 作业思考题2,将 代入可得,【分析】,确定y=y(x),z=z(x),u=u(x)三方程两边同时对x求导.,【要求】分别用公式法、直接法、全微分法三种方法求.,四、关于方向导数和梯度的题类,1.【方向导数的定义】,2.【方向导数的计算】(可推广到三元函数),或,3.【梯度的定义】,4.【梯度与方向导数的关系】,方向导数=梯度在l 方向上的投影,【例1】,【解】略,【分析】套公式,【练习】,【提示】方向导数=梯度在l 方向上的投影.,【解】,【例2】,难点,机动,(y0)极限不存在,【注意】,因为z 在点(0,1)处不可微,故求方向导数时,不能利用公式(梯度的投影)计算,而只能利用定义.,注 向量l 要单位化,五、关于多元函数微分学应用的题类,1.【几何应用】,空间曲线有切线和法平面,退化情形,空间曲面有切平面和法线,退化情形,【总结】,(1)若曲线方程是,则三个导数组成的向量,即为切向量;对于曲线方程的其它形式,都可由此导出.,(2)若曲面方程为隐式,则F的三个偏导数,组成的向量,即为法向量;对于曲面方程的显式形式,其法向量可由此导出.,(关键:抓住法向量),(关键:抓住切向量),【例1】,【解】,【分析】,方程、法线方程和向上法线的方向余弦.,将曲面的显式方程化为隐式：,切平面,法 线,向上法线方向与z 轴正向夹角为锐角，故所求方向余弦为,【例2】,解,【分析】,空间曲线方程为一般式，理论上化为参数式，再用隐函数求导的推导法（直接法）求导.,曲线方程为,切 线：,法平面：,课堂已讲,解 取两曲面在点P处的法向量的叉积为切向量,即,【例3】,【分析】,则正确的是(),由已知，f(x,y)在点(0,0)以及在点(0,0)的x 轴方向、y 轴方向有定义，偏导数存在，其它方向可无定义，故而否B，从而A与D也被排除，则若用排除法就应选C.,以下从正面论证C是正确的，,视C为空间曲线,(1).驻点与极值点的关系：,(2).可偏导函数取得极值,(3).可能的极值点,2.【极(最)值】,(4).多元函数的最值及其求法,(2)拉格朗日乘数法(重点),(5).条件极值求法,(1)化为无条件极值(代入消元法),【例4】,【解】,得,用拉氏乘数法,【练习】,【提示】,问题(2)可利用(1)的结果,求出的两切点是椭球面上到已知平面的距离的最大、最小点.,
