《第二章2平方根》讲解与例题（新版）北师大版.doc

第二章2平方根讲解与例题1平方根(1)平方根的概念：如果一个数x的平方等于a，即x2a，那么这个数x就叫做a的平方根(也叫做二次方根).329，所以3是9的平方根(3)29，所以3也是9的平方根，所以9的平方根是3和3.(2)平方根的表示方法：正数a的平方根可记作“±”，读作“正、负根号a”“”读作“根号”，“a”是被开方数例如：2的平方根可表示为±.(3)平方根的性质：若x2a，则有(x)2a，即x也是a的平方根，因此正数a的平方根有两个，它们互为相反数；只有020，故0的平方根为0；由于同号的两个数相乘得正，因此任何数的平方都不会是负数，故负数没有平方根综合上述：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根如：4的平方根有两个：2和2，4没有平方根我明白了，一个数a的平方根可以表示成±.你可要小心哦！（1）不是任何数都有平方根，负数可没有平方根，（2）式子只有当a0时才有意义,因为负数没有平方根.【例11】 求下列各数的平方根：(1)81；(2)(7)2；(3)1.分析：根据平方根的定义，求一个数a的平方根可转化为求一个数的平方等于a的运算，更具体地说，就是找出平方后等于a的数解：(1)(±9)281，81的平方根是±9，即±±9.(2)(7)27249，(7)2的平方根是±7，即±±7.(3)1，又2，1的平方根是±，即±±.【例12】 下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；若没有，请说明理由(1)；(2)0；(3)9；(4)|0.81|；(5)22.分析：序号存在情况原因(1)有2个正数有两个平方根(4)有2个(3)无负数没有平方根(5)无(2)有1个0的平方根是它本身解：(1)是正数，有两个平方根又2，的平方根是±.(2)0只有一个平方根，是它本身(3)9是负数，9没有平方根(4)|0.81|(±0.9)2，是正数，|0.81|的平方根是±0.9.(5)224，是负数，22没有平方根2.算术平方根(1)算术平方根的概念：如果一个正数x的平方等于a，即x2a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根(2)算术平方根的表示方法：正数a的算术平方根记作“”，读作“根号a”(3)算术平方根的性质：正数有一个正的算术平方根；0的算术平方根是0；负数没有平方根，当然也没有算术平方根淡重点 算术平方根的性质(1)只有正数和0(即非负数)才有算术平方根，且算术平方根也是非负数；(2)一个正数a的正的平方根就是它的算术平方根如果知道一个数的算术平方根，就可以写出它的负的平方根【例2】 求下列各数的算术平方根：(1)0.09；(2).分析：根据算术平方根的意义，求一个非负数a的算术平方根，首先要找出平方等于a的数，写出平方式；从平方式中确定a的算术平方根的值解：(1)0.320.09，0.09的算术平方根是0.3，即0.3；(2)2，的算术平方根是.析规律 如何确定一个数的算术平方根求一个数的算术平方根与求一个数的平方根类似，先找到一个平方等于所求数的数，再求算术平方根，应特别注意数的符号3开平方求一个数a(a0)的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数开平方运算是已知指数和幂求底数(1)因为平方和开平方互逆，故可通过平方来寻找一个数的平方根，也可以利用平方验算所求平方根是否正确(2)开平方与平方互为逆运算，正数、负数、0可以进行“平方”运算，且“平方”的结果只有一个；但“开平方”只有正数和0才可以，负数不能开平方，且正数开平方时有两个结果(3)对于生活和生产中的已知面积求长度的问题，一般可用开平方加以解决【例3】 小明家计划用80块正方形的地板砖铺设面积是20 m2的客厅，试问小明家需要购买边长是多少的地板砖？解：设正方形的地板砖的边长为x m，由题意，得80x220，则x20.25.故x±0.5.地板砖的边长不能为负数，x0.5.小明家应购买边长为0.5 m的地板砖4.与()2的关系表示a的算术平方根，依据算术平方根的定义，()2a(a0).表示a2的算术平方根，依据算术平方根的定义，若a0，则a2的算术平方根为a；若a0，则a2的算术平方根为a，即|a|(1)区别：意义不同：()2表示非负数a的算术平方根的平方；表示实数a的平方的算术平方根取值范围不同：()2中的a为非负数，即a0；中的a为任意数运算顺序不同：()2是先求a的算术平方根，再求它的算术平方根的平方；是先求a的平方，再求平方后的算术平方根写法不同在()2中，幂指数2在根号的外面；而在中，幂指数2在根号的里面运算结果不同：()2a；|a|(2)联系：在运算时，都有平方和开平方的运算两式运算的结果都是非负数，即()20，0.仅当a0时，有()2.点技巧 巧用()2a将()2a反过来就是a()2，利用此式可使某些运算更为简便【例4】 化简：()2_；_.解析：|7|7.答案：675平方根与算术平方根的关系(1)区别：概念不同平方根的概念：如果一个数x的平方等于a，即x2a，那么这个数x叫做a的平方根算术平方根的概念：如果一个正数x的平方等于a，即x2a，那么这个正数x叫做a的算术平方根表示方法不同平方根：正数a的平方根用符号±表示算术平方根：正数a的算术平方根用符号表示，正数a的负的平方根可以看成是正数a的算术平方根的相反数读法不同读作“根号a”；±读作“正、负根号a”结果和个数不同一个正数的算术平方根只有一个且一定为正数，而一个正数的平方根有两个，它们一正一负且互为相反数(2)联系：平方根中包含了算术平方根，就是说算术平方根是平方根中的一个，即一个正数的平方根有一正一负两个，其中正的那一个就是它的算术平方根，这样要求一个正数a的平方根，只要先求出这个正数的算术平方根，就可以直接写出这个正数的平方根±了在平方根±和算术平方根中，被开方数都是非负数，即a0.严格地讲，正数和0既有平方根，又有算术平方根，负数既没有平方根，又没有算术平方根0的平方根和算术平方根都是0.【例51】 (1)求(3)2的平方根；(2)计算；(3)求(3.142)2的算术平方根；(4)求的平方根错解(1)因为(3)29，故(3)2的平方根是3；(2)因为(±12)2144，所以±12；(3)(3.142)2的算术平方根是3.142；或±(3.142)(4)的平方根是±4.剖析(1)一个正数的平方根是互为相反数的两个数，而这里(3)2的平方根只有一个数，只表明两个平方根中的一个负的平方根，漏掉了一个正的平方根；(2)混淆了平方根与算术平方根的概念，表示144的算术平方根，它是一个非负数，错解中出现了增解12；(3)错在忽视了3.142，即3.1420；或混淆了平方根与算术平方根的概念；(4)这里错误地将的平方根当成16的平方根，其实这里是求16的算术平方根的平方根，该题将两个相近概念“算术平方根”和“平方根”含在一个小题中.正解(1)±±±3；(2)12；(3)(3.142)3.142；(4)4，它的平方根是±2.【例52】 求下列各式的值：(1)±；(2)；(3)；(4).分析：±表示81的平方根，故其结果是一对相反数；表示16的负平方根，故其结果是负数；表示的算术平方根，故其结果是正数；表示(4)2的算术平方根，故其结果必为正数解：(1)9281，±±9.(2)4216，4.(3)2，.(4)42(4)2，4.释疑点 与平方根相关的三种符号弄清与平方根有关的三种符号±，的意义是解决这类问题的关键±表示非负数a的平方根，表示非负数a的算术平方根，表示非负数a的负平方根注意±.在具体解题时，“”的前面是什么符号，其计算结果就是什么符号，既不能漏掉，也不能多添6巧用算术平方根的两个“非负性”众所周知，算术平方根具有双重非负性：(1)被开方数具有非负性，即a0.(2)本身具有非负性，即0.这两个非负性形象、全面地反映了算术平方根的本质属性在解决与此相关的问题时，若能仔细观察、认真地分析题目中的已知条件，并挖掘出题目中隐含的这两个非负性，就可避免用常规方法造成的繁杂运算或误解，从而收到事半功倍的效果由于初中阶段学习的非负数有三类，即一个数的绝对值，一个数的平方(偶次方)和非负数的算术平方根关于算术平方根和平方数的非负性相关的求值问题，一般情况下都是它们的和等于0的形式此类问题可以分成以下几种形式：(1)算术平方根、平方数、绝对值三种中的任意两种组成一题|()20，|0，()20，甚至同一道题目中同时出现这三个内容|()20(2)题目中没有直接给出平方数，而是需要先利用完全平方公式把题目中的某些内容进行变形，然后再利用非负数的性质进行计算【例61】 若y6，则x_，y_.解析：由有意义得x0，故y6.答案：06【例62】 若|m1|0，则m_，n_.解析：根据题意，得m10，n50，所以m1，n5.答案：15注：若几个非负数的和为0，则每个数都为0.【例63】 如果y2 013成立，求x2y3的值分析：由算术平方根被开方数的非负性知，x240，4x20，因此，x240，即x±2；又x20，即x2，所以x2，y2 013，于是得解解：由题可知x240，且4x20，x240，即x±2.又x20，即x2，x2.将x2代入y2 013，可得y2 013.x2y3222 01332 014.点评：解答这类问题时，先确定题目中非负数的类型，然后根据类型“对症下药”不要误认为x±2. 6