《平方差公式（乘法公式第1课时）》.doc

初中数学核心内容教学设计平方差公式（乘法公式第1课时）襄阳市第二十六中学 吴永强教学设计一、内容和内容解析（1）内容：核心知识表述：（乘法的）平方差公式（formula for the difference of squares）：两数之和与这两数之差的积等于这两数的平方差（2）内容解析：乘法公式是在学习了整式乘法的基础上，通过再次“探究”特殊形式的多项式相乘的式子及其结果得到的,具体到本节课，则是学生在掌握了多项式乘法的运算法则后，通过“探索”从而“发现”平方差公式，并应用平方差公式对多项式乘法进行简便运算平方差公式是对乘法公式的首次扩充，是在基于多项式乘以多项式的法则下，提出的特殊情况下的简便计算的法则，无疑，平方差公式的学习为后面另一乘法公式完全平方公式的研究与学习展开了道路，也为下一节的因式分解学习奠定基础基于上述分析，确定本节的教学重点是：掌握平方差公式，并运用平方差公式进行多项式的乘法运算及简便运算二、教材解析本节课学习的平方差公式，是在学生掌握了多项式乘法之后，会用到的最基本、最广泛的两个公式之一对它的学习和研究，既是从一般到特殊的认识过程的范例，也会丰富教学内容、拓宽学生的视野平方差公式是由直接计算得出的：，与一般多项式乘法一样，积的项数是多项式项数的积，即四项，合并同类项后仅得两项公式的语言表述也是对公式结构特征的说明，引导学生理解平方差公式的结构而正确运用这一公式的关键，除了要掌握这一公式的结构特征处，还要理解公式中字母的广泛含义鉴于学生能力有一个发展过程，理解字母的广泛含义也要结合公式的难易来逐步安排在例题的学习中，可以让学生观察题目是否符合公式的条件，即两个数是什么，是不是这两个数的和与差相乘，然后按公式计算由此可见，通过观察识别两个数，这是运用平方差公式的关键三、目标和目标解析（1）目标：1让学生经历具体数或式的运算，抽象概括得到平方差公式2掌握用平方差公式进行多项式的简便运算3理解运用几何图形的方式来验证平方差公式4在数学探究活动中，培养学生数学兴趣及研究问题的能力（2）目标解析：目标1：设计的重点在于要让学生完整经历：观察猜想归纳验证这一探索过程，自己动手算，自己动口说，自己动脑想，从而由一般的“普通式子”升华得到特殊的“公式形式”，如此这样，学生对平方差公式的结构特征才会更加印象深刻，在达到目标1的同时，学生也懂得提炼公式的技巧与方法目标2：在完成公式推导之后，运用“特殊公式”解决“一般问题”，学生体会到平方差公式的方便、快捷；但达成目标2的重要特征在于对不符合平方差公式基本特征的多项式乘法采取正确的变形，再运用公式进行运算！在这个过程中，教师需关注学生灵活解决问题的能力目标3：应充分利用“插图”，使学生领会到平方差公式是有几何意义的，感受到代数与几何知识之间的内在联系和统一，体会数学是有机的、美丽的目标4：在整个研究探索过程中，本节课若学生的主体地位展示到位，则在自我表达，与同伴商讨过程中，学生获得的不仅只是平方差公式，而是激发在今后学习中，自我积极思考、主动找寻有价值的数学宝藏的学习兴趣四、教学问题诊断分析1教材分析：平方差公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义是学生不易理解掌握的，尤其是要把一个式子看作公式中一个数时，运用公式解决此类问题时容易产生混淆具体表现在两个方面：一是在运用公式时，能否把乘法中的式子，准确转化为公式左边的“符号相同一个数（）”与“符号相反的一个数（）”；二是关于计算的结果，是否能够正确写出运算结果：“符号相同一个数（）”的平方减去“符号相反的一个数（）”的平方2学情分析：学生刚刚学习了多项式的乘法法则，这是本节课的学习基础，也正因为如此，学生在解题时会由于思维定势，往往还是用多项式乘法的方法来计算习题，产生负迁移效应，因此在教学中通过有效的教学设计让学生体验应用平方差公式计算多项式乘法的简便性根据以上分析，确定本课时的教学难点是：理解平方差公式结构特征，灵活运用平方差公式来解决问题五、教学支持条件分析1发挥好学生的主观能动性教师在设计好教学背景之后，让学生通过观察、发现、思考特殊多项式乘法运算中的规律，总结、归纳出平方差公式，这种主动式探究学习，对八年级学生来讲既是有趣的事，也会降低知识学习的难度，一定会很好掌握平方差公式2为了有效实现教学目标，准备投影仪、多媒体课件，以及一些卡纸（包括：红色大正方形的卡纸、全等的红色长方形卡纸（以大正方形边长为长，以小正方形边长为宽）、白色小正方形卡纸）六、教学过程设计（一）教学基本流程游戏引入推导公式几何验证应用条件解决问题（二）教学情景1公式的引入问题：猜数字游戏步骤1：在纸上写出你最喜欢的一个一位数字；步骤2：计算100与这个数的和，乘以100与这个数的差的积；步骤3：同学们说出计算的结果，教师立刻猜出纸上所写的数字 设计意图：由数字游戏猜数字时，老师的神奇算法引发学生对知识的求知欲望，也通过游戏这种学习方式，让学生的思维活跃起来，注意力集中起来，进而引出式子的计算与学习，设计这个小环节，既可以提高学习的兴趣，也能保证学生对知识面的理解是逐步深入的师生活动：师：同学们只要告诉老师，你计算的结果，老师就能马上说出你写下的数字 是多少？并请两至三名同学和老师一起做“猜数字游戏” 并在游戏之后激趣：想知道老师是怎么猜出你写出的数字的吗？等我们学了今天的知识以后，你就能弄懂其中的奥秘了！2公式的推导问题1： 计算下列多项式的积，你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗？ 设计意图：通过具体多项式乘法的运算，让学生经历：观察每个算式和结果的特点比较不同算式之间的异同归纳可能具有的规律提出自己的猜想这一探究过程，为后面抽象出平方差公式积累原始材料，做好研究准备；在学生发现规律后，关注学生对规律的第一次语言文字叙述，以掌握好学生对新知识的思考路线师生活动：学生可以展开讨论，教师适当引导：相乘的两个多项式各有什么特点？并让学生进行初步的分析归纳学生说法有：上面的四个式中每个因式都有两项；它们都是两个数（或是式子）的和与差的积教师及时肯定学生的发现，并引导计算：大家计算后还有什么发现呢？待计算之后，再引导观察积的特征，鼓励学生用自己的语言归纳叙述发现的规律，同学之间互相补充，老师并不急于去概括问题2：我们再来计算并板书过程：简化：设计意图：这是对前面运算的继续探究与讨论，从特殊到一般，归纳总结出平方差公式在利用多项式乘以多项式的法则做完计算后，重点在于引导学生观察公式的左、右两边的结构特征，并尝试让学生说一说这些特点的原因同时，也让学生通过推导公式这一探究活动体验到：原来两个二项式相乘之后的积有四项，而现在这两个特殊的二项式相乘，他们的积经过整理以后只有两项，如果省去中间的计算过程，运算将变得非常简洁，也将大大降低了计算的量师生活动：师：你能说一说这个等式的左边有什么特点吗？生答：都是两个多项式相乘；并且多项式均为两项，一个表示两个数的和，另一个表示这两个数的差再进一步提问：那等式的右边又有什么特点呢？生答：右边是这两个数的平方后的差；用两个数平方差来表示多项式的乘积师：能不能给我们发现的规律起一个名字呢？并指出：由于最终结果是两个数的平方差，所以我们叫它“平方差公式” 并板书课题：平方差公式稍后进一步提出：你能分别用文字语言和符号语言叙述这个公式吗？学生明确：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差即师：在前面的多项式乘法中，公式中的代表的是哪些式子？让学生回顾刚才的计算过程，并把多项式中的式子同公式中对应联系起来 3公式的几何验证问题：请大家拿出纸片，按照下图的要求拼成两个形状不同的图形，并分别列式直观地表示图形中红色部分的面积 设计意图：平方差公式的代数形式学生能够顺利地用乘法法则推导出来，但是它的几何意义是学生较难掌握的因此，通过拼图的方式和学生一起探索平方差公式的推导由来，并且通过具体的图形面积对公式进行验证，让学生了解和体验公式的几何意义，会对公式有更加深入的认识与理解，这也是向学生渗透数形结合数学思想的一个有效载体师生活动：在课堂上给学生充足的时间，让学生自己动手，亲手拼一拼，动一动手来验证平方差公式引导学生根据自己摆出图片形状，利用多项式乘法知识，直观列出式子来表示红色部分面积师：第一个图形红色部分面积如何表示呢？生：；第二个图形红色部分面积呢？生：再进一步引导：通过计算你有什么发现？再次引导观察图形：拼成的两个图形中红色面积有怎样的关系？说明了什么？生：红色面积是分别由三块一样大小的纸片拼成的，这说明左、右两个图形红色部分面积相等；师：刚才的拼图活动，与平方差公式有什么联系？让学生充分发言，尽情表达数与形间的紧密关系：通过刚才的活动，可以用几何的方法来验证平方差公式4应用公式的条件问题：下列各式中，哪些能利用平方差公式计算？哪些不能利用平方差公式计算？为什么？ 设计意图：探索平方差公式应用的条件，从而认识到要运用平方差公式，就必须具备的特点：两个二项式相乘，且这两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数公式中的字母可以表示具体的数（正数和负数），也可以表示单项式或多项式等代数式如果不具备这些特点的多项式乘法，是不能运用公式的师生活动：师：哪些多项式乘法可以直接运用平方差公式进行计算呢？哪些不能？为什么？需要对式子变形的有哪些？根据什么？让学生明白一些乘法需要先运用交换律或添括号后才会符合公式的特征最后归纳出平方差公式的运用注意事项：多项式乘法中一组相同字母的符号相同，另一组相同字母的符号相反才能运用平方差公式5解决问题问题1：利用刚才我们总结出来的平方差公式，计算下列多项式的乘法：  设计意图：用平方差公式解题，习题分三个层次，让学生体会平方差公式的特点：第一层次是直接运用公式，第二层次交换其中一个括号内两项位置之后 再运用公式，第三层次是思考括号内各项的位置后，辨析代表哪个式子，再运用公式进行探究在这里所要关注的是：运用平方差公式，所得的结果等于符号相同的字母的平方减去符号相反的字母平方师生活动：师：通过刚才的计算，你能说一说在运用平方差公式时应注意什么问题？问题2：计算： 设计意图：前后呼应，通过本题的练习与讲解，让学生明白课前导入时“猜数字游戏”中老师用到的就是平方差公式这一数学知识；也让学生感受到平方差公式在数字计算，实际生活中的重要作用师生活动：请学生到黑板上进行演板，提醒学生观察题目是否符合公式的条件，即两个数是什么，是不是这两个数的和与差相乘；再按公式计算102×98，要让学生经过仔细观察，并把原式变形，我们才能确定平方差公式中分别对应100和98并回顾课前的猜字游戏，设置问题：你现在能用今天所学的知识解释老师猜出你写出数字的原因了吗？ 问题3：计算： 设计意图：对连续运用平方差公式的题目，要让学生明白两次中的“数”的含义是不同的；如果形式上不符合公式特征的，可以做一些简单的转化工作，如果转化后还不能符合公式特征，则应考虑多项式的乘法法则师生活动：提醒学生：通过刚才的一系列计算，同学们能不能总结一下利用平方差公式应注意什么？6课堂小结问题：通过本节课的学习我们掌握了哪些知识？设计意图：巩固所学知识，并将对平方差公式的结构认识延续到课后师生活动：让学生回顾平方差公式的文字及字母公式、结构特征、平方差公式的几何意义及平方差公式应用时注意的问题7布置作业、填空题 =（ ） =（ ）=（ ） 、计算题 七、目标检测设计1. 如图所示，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（ab），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为 设计意图：从几何的另一个角度认识理解平方差公式2. 计算： 设计意图：考查学生对平方差公式掌握情况3. 计算： 设计意图：考查学生运用平方差公式进行简便计算4. 计算：设计意图：考查学生灵活运用平方差公式计算第 6 页 共 6 页