第二章状态空间描述[1].ppt
第二章 线性系统的状态空间描述,2-1 线性系统的数学描述2-2 状态空间的几个重要概念2-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立2-4 状态空间的线性变换2-5 线性定常连续系统状态方程的解2-6 传递函数矩阵,2-7 线性离散系统状态空间表达式的建立及其解,2-1 线性系统的数学描述,一、系统描述中常用的基本概念1.系统：一些相互制约的部分所构成的整体。2.输入和输出:输入:由外部施加到系统上的全部激励 输出:从外部量测到的来自系统的信息3.系统数学描述的两种类型：,1)系统的外部描述传递函数2)系统的内部描述状态空间表达式,4.松弛性:,若系统的输出 由输入 唯一确定,则称系统在 是松弛的。,5.线性:一个松弛系统,当且仅当对任何输入 及任意常数,均有 则该系统称为线性的，否则为非线性。6.定常性（时不变性）:,2-1 线性系统的数学描述,(可加性),(齐次性),一个松弛系统当且仅当对任何输入u和任意实数,均有,则称系统是定常的,否则称为时变的。,2-2 状态空间的几个重要概念,一、状态空间的基本概念,1.状态 系统在时间域中的行为或运动信息的集合,2.状态变量 完全表征系统运动状态的最小一组变量。一般记为,3.状态向量 描述系统状态的n个状态变量看作向量 的分量,向量 称为 维状态向量.,4.状态空间 以n个状态变量作为坐标轴所组成的n维空间.,2-2 状态空间的几个重要概念,状态空间描述法示意图,线性连续时间系统状态空间表达式,2-2 状态空间的几个重要概念,线性离散时间系统状态空间表达式,线性定常系统状态空间表达式,A为系统矩阵B为输入矩阵C为输出矩阵D为输入-输出矩阵,一般控制系统中,通常情况 D=0。,输入向量用u(t)表示，个数为：p个,输出向量用y(t)表示，个数为：q个,状态向量用x(t)表示，个数为：n个,2-2 状态空间的几个重要概念,2-2 状态空间的几个重要概念,2-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立,一.不同系统状态空间表达式的特点又称动态方程,1.一般形式,3.线性系统：若系统状态空间表达式中，f 和g均为线性函数，则称线性系统,4.线性定常系统：若A，B，C，D与时间无关，为常数。,二、状态空间表达式的结构图,2-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立,绘制步骤：1）在适当位置画出积分器，其个数=状态变量个数 每个积分器的输出等于对应的状态变量 2）由状态方程和输出方程画出加法器和比例器 3）箭头连接各部分,2-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立,【例】,分析：本系统状态变量有三个,一个输入量u，一个输出量y，（p=1,q=1）,解：,系统结构图（或状态变量图）如下：,2-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立,三.状态空间表达式的建立,1.从系统的动态结构图出发,2-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立,解：,状态变量的选取有三种途径：,（1）选取系统的储能元件的输出量作为状态变量-从机理 出发（2）选取系统的输出量及其各阶导数（3）选择使系统状态方程为某标准形式的变量,2.从系统机理出发,2-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立,2-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立,例.列写RLC网格的电路方程，选择几组状态变量并建立相应的状态空间 表达式。,解：,法一：选,为系统的状态变量,则,2-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立,解：,写成矩阵-向量形式为：,法二：选,为系统的状态变量,则,写成矩阵-向量形式为：,2-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立,结论：(1).状态变量选取具有非唯一性，但状态变量个数相同=系统的阶次；,(2).状态变量具有独立性；,(3).不同组状态变量之间可做等价变换，称作状态的线性变换。,2-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立,【例】试列写机械运动系统以质量M 的位移y为输出的状态空间表达式。,u=F,2-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立,3.从微分方程出发,a.系统输入量中不含导数项,关键：选取输出量导数为状态变量,2-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立,则:,b.系统输入量中含有导数,原则：使状态方程不含u的导数。,2-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立,由上式求导得：,整理得：,则：,2-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立,注 意：这种方法不适用。可先将微分方程画为传递函数，然后再由传递函数建立状态空间表达式。,2-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立,【例】,状态空间表达式为：,4 从传递函数出发,由传递函数出发直接求出系统的状态空间表达式,属于系统的实现问题,2-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立,1)直接分解法,2-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立,A)可控标准形,将分解为两部分串联，为中间变量，应满足：选取状态变量：，,2-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立,结论：若系统状态空间表达式中，A，b所示如上，称此状态空间 表达式为可控标准形。,整理得:,2-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立,结论：若系统状态空间表达式中，A，c所示如上，称此状态空间表达式为可观测标准形。,B)可观测标准形,2-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立,【例】已知系统传递函数为，试求状态空间表式。解：,2-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立,2)串联分解法-适用于传递函数乘积形式,A),式中：,2-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立,取状态变量：,向量矩阵形式为：,试求状态空间表达式。解：,2-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立,【例】已知系统传递函数为,其中：,状态空间表达式为：,2-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立,【例】,2-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立,【例】已知系统传递函数为,，试求约当型状态空间表达式。,解：,其中：,状态空间表达式为：,2-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立,2-4 状态空间的线性变换,目的：同一系统选取不同的状态变量便有不同形式的动态方程，对系统进行 线性变换，便于揭示系统特性及分析和综合设计,且不会改变系统的性 质。,变换后系统动态方程为：,式中：,例 系统状态空间表达式为,取,使,2-4 状态空间的线性变换,结论：状态变量经过某种变换，化“A”阵为对角化后，解除了系统状态的耦合，为研究系统提供的方便。,结论：状态变量经过某种变换，特征值的不变性,二.系统特征值的不变性,对于状态变量x，有非奇异矩阵P，使,2-4 状态空间的线性变换,三.系统矩阵A的规范化 对角化、约当化、模态式化,1.对角化,2-4 状态空间的线性变换,定理1：,2-4 状态空间的线性变换,A具有重特征值,所对应的独立向量仍为m个,其它(n-m)个特征值互异，则仍可将A化为对角形，且,定理2,2-4 状态空间的线性变换,2-4 状态空间的线性变换,【例】试将下列系统状态方程变换为对角标准型。,令,2-4 状态空间的线性变换,由,，有,解出,，则,即:,只有一个独立向量,则只能将A化为约当阵,定理1,2.化A为约当标准形,A 阵为“友”矩阵，具有重特征值,m阶约当块,与之对应，其余(n-m)个特征值互异,2-4 状态空间的线性变换,式中,A具有重特征值,其余(n-m)个特征值互异,则可将A化为约当化,定理2：,2.化A为约当标准形,2-4 状态空间的线性变换,与m阶约当块对应的特征向量为：,2-4 状态空间的线性变换,3.化A为模式化矩阵,设A为二阶矩阵,1）,2）,2-4 状态空间的线性变换,2-5 线性定常连续系统状态方程的解,2-5 线性定常连续系统状态方程的解,【例】,2.拉氏变换法,2-5 线性定常连续系统状态方程的解,拉氏反变换，有,则,【例】已知系统状态方程为,，初始条件为,试求状态方程的解。,解：,，,2-5 线性定常连续系统状态方程的解,则：,2-5 线性定常连续系统状态方程的解,三、状态转移矩阵的性质 要求熟练掌握,证明：,2-5 线性定常连续系统状态方程的解,5.,6.,7.,证明：,2-5 线性定常连续系统状态方程的解,（2）根据状态转移矩阵性质2知：,解：（1）根据状态转移矩阵可知：,2-5 线性定常连续系统状态方程的解,1.,2.,四、常见 的求解,2-5 线性定常连续系统状态方程的解,2-5 线性定常连续系统状态方程的解,3 线性变换法,2-5 线性定常连续系统状态方程的解,解：根据状态转移矩阵的性质可知,2-5 线性定常连续系统状态方程的解,五、线性连续定常非齐次状态方程的解,1、直接积分法,由于,所以,2-5 线性定常连续系统状态方程的解,2-5 线性定常连续系统状态方程的解,2.拉氏变换法,，,两边同时取拉氏变换,2-5 线性定常连续系统状态方程的解,解：,由,2-5 线性定常连续系统状态方程的解,故,2-6 系统的传递函数矩阵,对于多输入-多输出系统,需要讨论传递函数矩阵。,1.定义,初始条件为零时,输出向量的拉氏变换式与输入向量的拉氏变换式之间的传递关系称为传递函数矩阵,简称传递矩阵。,设系统动态方程为,令初始条件为零,进行拉氏变换有,系统传递函数矩阵表达式为,例 已知系统动态方程为,试求系统的传递矩阵。,解:,故,2-6 系统的传递函数矩阵,2-6 系统的传递函数矩阵,2.不变性,系统经状态变换，特征值与特征方程不变性 传递函数矩阵不变性,3.开环与闭环传递矩阵,开环传递矩阵-H(s)G(s),闭环传递矩阵,3.解耦系统的传递矩阵,耦合:,2-6 系统的传递函数矩阵,标志：解耦系统的传递矩阵具有对角线矩阵形式,2-6 系统的传递函数矩阵,a)用串联补偿器Gc(s）实现解耦,2-6 系统的传递函数矩阵,2-6 系统的传递函数矩阵,b）用前馈补偿器Gd(s）实现解耦,2-6 系统的传递函数矩阵,【例】已知两输入两输出单位反馈系统结构如下图，试求该系统的开环传递函数矩阵，闭环传递函数矩阵，并求串连补偿器，使解耦系统的闭环输出为：,答案:,2-7 线性离散系统状态空间表达式的建立及其解,一、线性离散系统的状态空间表达式,离散系统：系统中只要有一处信号是离散的，则成为离散系统。,二、系统的动态结构图,离散系统一般结构图,2-7 线性离散系统状态空间表达式的建立及其解,由差分方程建立动态方程,单输入-单输出线性定常离散系统差分方程的一般形式为,2-7 线性离散系统状态空间表达式的建立及其解,向量-矩阵形式为,2-7 线性离散系统状态空间表达式的建立及其解,二、线性定常连续系统动态方程的离散化,离散化：通过采样器将连续状态方程化为离散状态方程的过程.,2-7 线性离散系统状态空间表达式的建立及其解,解：,2-7 线性离散系统状态空间表达式的建立及其解,2-7 线性离散系统状态空间表达式的建立及其解,2-7 线性离散系统状态空间表达式的建立及其解,三、连续离散系统状态方程解,1.递推法,2-7 线性离散系统状态空间表达式的建立及其解,设定常离散系统的状态方程是：,两边取Z变换：,，整理有,两边取Z反变换：,
