弹性力学平面问题(基本理论).ppt

6-1 平面问题的概念,6-2 平面问题的基本解法,第六章 弹性力学平面问题,6-3 应力函数与应力函数解法,6-4 平面问题在直角坐标系下求解,6-5 平面问题在极坐标系下求解,6-1 平面问题的概念,应力、应变和位移是弹性力学的3类基本未知函数，当这3类基本未知函数与第3个坐标方向（一般取z方向）无关时，则将该类问题称为平面问题。,平面问题是在一个平面域内的求解问题，但并非数学上的二维问题。,弹性力学平面问题分为平面应变与平面应力问题两类。,一.平面应力问题,1.几何特征,一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。,等厚薄平板,如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等,2.受力特征,外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿厚度方向（z方向）不变化。,3.简化分析,（1）应力分量,如图选取坐标系，以板的中面为xy平面，垂直于中面的任一直线为z轴。,板面无面力，则,因板很薄，且外力沿 z 轴方向不变。,可认为整个薄板的各点都有：,由切应力互等定理,因其他各应力分量沿z方向变程极短，且变化增量微小。故认为各应力分量与z无关,所以平面应力问题只有三个应力分量，且仅与x、y有关。,即,（2）应变分量,由物理方程,显然,可由,所以平面应力问题独立的应变分量仅三个，且只与x、y有关。,即,但,（3）位移分量,通过几何方程分析,由,可知：,u、v仅为x、y的函数,当为理想平面应力问题（t=0）时，,只与x、y有关。,表出,若为稳定平衡（不发生翘曲），,则 w=0,当为广义平面应力问题（t 0）时，,由,可见，w可由u、v表出；,且因 t 很小，w u、v,所以平面应力问题独立的位移分量仅两个，且仅与x、y有关。,（4）结论,平面应力问题的基本未知量有八个，且均为x、y的函数。,即,但,简化的主要依据是,二.平面应变问题,1.几何特征,一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。,近似认为无限长,2.受力特征,外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度 z 方向不变化。,如水坝、滚柱、厚壁圆筒等。,水坝,滚柱,厚壁圆筒,3.简化分析,（1）位移分量,任取一横截面（与 z 无关），因无限长，可视为对称面，则其上任一点w 0。仅存u、v，且与 z 无关。,所以,（2）应变分量,因位移分量与 z 无关，且 w=0，则由几何方程易知,（2）应变分量,（3）应力分量,由物理方程,可见，独立的应力分量仅三个,即,但,（4）结论,平面应变问题的基本未知量有八个，且均为x、y的函数。,即,但,简化的主要依据是,与平面应力问题的基本未知量相同。,如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？,平面应力问题,平面应变问题,非平面问题,三.两种平面问题物理方程的关系,根据两种平面问题的结论，可分别列出其物理方程,对于平面应力问题，由z 0,对于平面应变问题，由 z xy),与平面应力问题的物理方程形式上完全相同。故统称为平面问题,6-2 平面问题的基本解法,一.平面问题基本方程,1.平衡微分方程,2.几何方程,应变协调方程,3.物理方程,或,当为平面应变问题时，E1E、1。,二.边界条件,1.位移边界条件,2.应力边界条件,在局部边界上，可由静力等效力系替代面力,三.位移法,仿拉梅位移方程推导,平面问题用位移表示的平衡微分方程为,平面问题用位移表示的应力边界条件,平面问题的位移边界条件,问题归结为求解上述方程的边值问题,说明：,（1）对平面应变问题，只需将式中的E、作相应替换即可。,（2）一般不用于解析求解，作为数值求解的基本方程。,（3）对于平面应力问题，如果直接从三维形式的拉梅位移方程退化可得,比较前式，系数有何差异，原因何在？说明了什么？,四.应力法,仿Beltrami-Michell位移方程推导,平面问题用应力表示的协调方程（相容方程）为,平面问题的平衡微分方程为,平面问题的应力边界条件,平面问题的位移边界条件,问题归结为求解平衡方程和相容方程的边值问题,（平面应变用1替换）,说明：,（1）对位移边界问题，不易按应力求解。,（2）对应力边界问题，且为单连通问题，满足上述方程的解 是唯一正确解。,（3）对多连通问题，满足上述方程外，还需满足位移单值条 件，才是唯一正确解。,例6-1,下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为静力可能或实际可能的应力场与位移可能应变场（不计体力）。,（1）,（2）,（a）,（b）,解:,（1）,将式（a）代入平衡方程：,满足,将式（a）代入相容方程：,式（a）不是一组实际可能的应力场。,（2）,将式（b）代入应变表示的相容方程：,式（b）满足相容方程，（b）为位移可能的应变分量。,式（a）是静力可能的应力场,例6-2,如图所示，试写出其边界条件。,(1),AB段（y 0）：,代入边界条件公式，有,(2),BC段（x l）：,(3),AC段（y x tan）:,例6-3,图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分（1 2）的尖点A处无应力存在。,解：,平面应力问题，在 AC、AB 边界上无面力作用。即,AB 边界：,由应力边界条件公式，有,（1）,AC 边界：,代入应力边界条件公式，有,（2）,A 点同处于 AB 和 AC 的边界，满足式（1）和（2），解得,A 点处无应力作用,例6-4,图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。,左侧面：,代入应力边界条件公式,右侧面：,代入应力边界条件公式，有,上端面：,为次要边界，可用圣维南原理化简。,由圣维南原理,所以,解：,材料力学解答：,式（a）满足平衡方程和相容方程？,（a）,式（a）是否满足边界条件？,代入平衡微分方程：,显然，平衡微分方程满足。,满足,再验证，式（a）是否满足边界条件？,满足,近似满足,近似满足,结论：式（a）为正确解，但在左右两侧附近不精确。,代入相容方程：,上下边界：,右侧边界：,左侧边界：,6-3 应力函数与应力函数解法,一.常体力下应力法的基本方程,平衡方程,协调方程,边界条件,位移单值条件,对多连通问题附加,讨论：,（1）,Laplace方程，,或称调和方程。,数学上，满足：的函数,称为调和函数（解析函数）。,（2）,常体力下，方程中不含E、,（a）,两种平面问题，计算结果,相同，,不同。,但,（b）,不同材料，具有相同外力和边界条件时，其计算结果相同。,（光弹性实验原理）,（3）,用平面应力试验模型，代替平面应变试验模型，为实验应力分析提供理论基础。,二.平衡微分方程解的形式,将平衡微分方程改写为,全解=齐次方程通解,+非齐次方程的特解,非齐次方程特解,常体力下特解形式：,(1),(2),(3),可以取多组形式，如,齐次方程的通解,等等,对应齐次方程,对于函数 f(x，y)和 g(x，y)，若,则必存在函数 F(x，y)，,微分方程理论：,使得,必存在A(x，y),使得,由第二式,必存在B(x，y),使得,由,必存在(x，y),使得,由第一式,平衡微分方程全解,应力分量用上述形式表示，总能满足平衡微分方程，问题归结为如何求解未知函数(x,y)。,(x,y)称为应力函数或Airy应力函数。,所以,即,三.常体力下应力函数表示的相容方程,将,代入相容方程,所以,或,所以，问题归结为在应力边界条件下求解用应力函数表示的相容方程。（多连域尚需位移单值条件）,方程仅为一个四阶偏微分方程，从数学上实际是消元增阶。即以增阶为代价换取未知量的减少。,可见，满足上述相容方程即同时满足平衡条件和协调条件。,四.应力函数解法,1.先由相容方程,求出应力函数,2.然后由应力分量与应力函数的关系求出应力分量（含待定系数）。,3.再由应力边界条件和位移单值条件确定待定系数。,4.最后由物理方程和几何方程求应变和位移。,问题的关键是如何求应力函数。,逆解法,（1）,根据问题的条件,（几何形状、受力特点、边界条件等），,假设各种满足相容方程的(x,y)的形式；,（2）,主要适用于简单边界条件的问题。,然后利用应力分量计算式，求出 x、y、xy（具有待定系数）；,（3）,再利用应力边界条件，来考察这些应力函数(x,y)对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数(x,y)可以求解什么问题。,半逆解法,（1）,根据问题的条件,（几何形状、受力特点、边界条件等），,假设部分应力分量x、y、xy 的某种函数形式；,（2）,根据 x、y、xy 与应力函数(x,y)的关系及2 2 0，求出(x,y)的形式；,（3）,最后回代计算出x、y、xy 并让其满足边界条件和位移单值条件。,半逆解法的数学基础：分离变量法。,