地震作用与结构抗震验算.ppt

第4章 地震作用与结构抗震验算,返回总目录,教学提示：地震作用不仅与地面加速度的大小、持续时间及强度有关，而且还与结构的动力特性密切相关。我国抗震设计规范采用加速度反应谱来确定地震作用。加速度反应谱是单质点弹性体系在一定的地面运动作用下，最大反应加速度(一般用相对值)与体系自振周期的变化曲线。教学要求：本章要求学生了解地震作用的概念、地震作用的计算及结构抗震验算的方法。,本章内容 4.1 概述 4.2 单自由度弹性体系的水平地震反应 4.3 单自由度弹性体系的水平地震作用计算的反应谱法 4.4 多自由度弹性体系的水平地震反应 4.5 振型分解反应谱法,本章内容 4.6 底部剪力法 4.7 结构基本周期的近似计算 4.8 竖向地震作用计算 4.9 结构抗震验算 4.10 习 题,4.1 概 述,结构的地震作用计算和抗震验算是建筑抗震设计的重要内容，是确定所设计的结构满足最低抗震设防要求的关键步骤。地震时由于地面运动使原来处于静止的结构受到动力作用，产生强迫震动。我们将地震时由于地面加速度在结构上产生的惯性力称为结构的地震作用。地震作用下在结构中产生的内力、变形和位移等称为结构的地震反应，或称为结构的地震作用效应。建筑结构抗震设计首先要计算结构的地震作用，由此求出结构和构件的地震作用效应，然后验算结构和构件的抗震承载力及变形。地震作用与一般荷载不同，它不仅与地面加速度的大小、持续时间及强度有关，而且还与结构的动力特性，如结构的自振频率、阻尼等有密切的关系。由于地震时地面运动是一种随机过程，运动极不规则，且工程结构物一般是由各种构件组成的空间体系，其动力特性十分复杂，所以确定地震作用要比确定一般荷载复杂得多。,4.1 概 述,目前，在我国和其他许多国家的抗震设计规范中，广泛采用反应谱理论来确定地震作用，其中以加速度反应谱应用最多。所谓加速度反应谱，就是单质点弹性体系在一定的地面运动作用下，最大反应加速度(一般用相对值)与体系自振周期的变化曲线。如果已知体系的自振周期，利用反应谱曲线和相应计算公式，就可很方便地确定体系的反应加速度，进而求出地震作用。应用反应谱理论不仅可以解决单质点体系的地震反应计算问题，而且通过振型分解法还可以计算多质点体系的地震反应。在工程上，除采用反应谱计算结构地震作用外，对于高层建筑和特别不规则建筑等，还常采用时程分析法来计算结构的地震反应。这个方法先选定地震地面加速度图，然后用数值积分方法求解运动方程，算出每一时间增量处的结构反应，如位移、速度和加速度反应。,为了研究单质点弹性体系的地震反应，我们首先建立体系在地震作用下的运动方程。如图4.1所示为单质点弹性体系在地震作用下的计算简图。所谓单质点弹性体系，是指可以将结构参与振动的全部质量集中于一点，用无质量的弹性直杆支撑于地面的体系。例如，水塔、单层房屋，由于它们的质量大部分集中于结构的顶部，所以，通常将这些结构都简化成单质点体系。,图4.1 单质点弹性体系计算简图,4.2 单自由度弹性体系的水平地震反应,4.2.1 运动方程的建立,如图4.2所示为单自由度弹性体系在地震时地面水平运动分量作用下的运动状态。其中 表示地面水平位移，是时间 的函数，它的变化规律可由地震时地面运动实测记录求得；表示质点对于地面的相对弹性位移或相对位移反应，它也是时间 的函数，是待求的未知量。,图4.2 单自由度体系地震作用下的变形多变力,4.2 单自由度弹性体系的水平地震反应,为了确定当地面位移按 的规律变化时单质点弹性体系相对位移反应，下面来讨论如何建立运动方程。若取质点为 隔离体，由动力学知道，该质点上作用有三种力，即惯性力、阻尼力 和弹性恢复力。惯性力是质点的质量 与绝对加速度 的乘积，但方向与质点运动加速度方向相反，即(4-1),4.2 单自由度弹性体系的水平地震反应,结构在振动过程中，由于外部介质阻力、构件和支座部分连接处的摩擦和材料的非弹性变形以及通过地基散失能量(由地基震动引起)等原因，结构的振动将逐渐衰减。这种使结构振动衰减的力就称为阻尼力。在工程计算中一股采用黏滞阻尼理论确定、即假定阻尼力与质点速度成正比，但方向与质点运动速度相反，即(4-2)式中：为阻尼系数。弹性恢复力是使质点从振动位置回到平衡位置的力，其大小与质点 的相对位移 成正比，即(4-3)式中：为弹性直杆的刚度系数，即质点发生单位水平位移时在质点处所施加的力；负号表示 力的指向总是与位移方向相反。,4.2 单自由度弹性体系的水平地震反应,根据达朗贝尔(原理，质点在上述三个力作用下处于平衡，即(4-4)将式(4-1)、式(4-2)及式(4-3)代入式(4-4)，得(4-5)式(4-5)即为单自由度体系的运动方程，为一个常系数二阶非齐次线性微分方程。为便于方程的求解，将式(4-5)两边同除以，得(4-6)令，(4-7)(4-8)则式(4-6)可写成(4-9)式(4-9)就是所要建立的单质点弹性体系在地震作用下的运动微分方程。,4.2 单自由度弹性体系的水平地震反应,式(4-9)是个二阶常系数线性非齐次微分方程，它的解包含两部分：一个是对应于齐次微分方程的通解；另一个是微分方程的特解。前者表示自由振动，后者表示强迫振动。1.齐次微分方程的通解对应方程(4-9)的齐次方程为(4-10)按照齐次微分方程的求解方法，先求解相应的特征方程(4-11)其特征根为(4-12a)(4-12b),4.2 单自由度弹性体系的水平地震反应,则方程(4-10)的解为(1)若，、为负实数(4-13a)(2)若，(4-13b)(3)若，、为共轭复数(4-13c)式(4-13c)中，、为待定常数，由初始条件确定。(4-14),4.2 单自由度弹性体系的水平地震反应,显然，时，体系不产生振动，称为过阻尼状态；时，体系产生振动，称为欠阻尼状态；而 时，介于上述两种状态之间，称为临界阻尼状态，此时体系也不产生振动，如图4.3所示。由式(4-8)知，与 相应的阻尼系数为，称为临界阻尼系数，因此 也可以表示为 故称 为临界阻尼比，简称阻尼比。,4.2 单自由度弹性体系的水平地震反应,一般工程结构均为欠阻尼情形，为确定式(4-13c)中的待定系数，考虑如下初始条件 其中、分别为体系质点的初始位移和初始速度。代入(4-13c)得(4-15a)(4-15b)将式(4-15)代入式(4-13c)，则得体系自由振动位移方程为(4-16)无阻尼时()(4-17)由于、均为简谐函数，因此无阻尼单自由度体系得自由振动为简谐周期振动，振动圆频率为，而振动周期为(4-18),4.2 单自由度弹性体系的水平地震反应,因质量 与刚度 是结构固有的，因此无阻尼体系自振频率或周期也是体系固有的，称为固有频率或固有周期。同样，为有阻尼单自由度体系的自振频率。一般结构的阻尼比很小，变化范围在0.010.1之间，由式(4-14)知，。也就是说，计算体系的自振频率时，通常可不考虑阻尼的影响。阻尼比值 可通过对结构的振动试验确定。,4.2 单自由度弹性体系的水平地震反应,2.地震作用下运动方程的特解求运动方程(4-9)的解答时，可将 看作是随时间变化的m=1的“扰力”,并认为它由无穷多个连续作用的微分脉冲所组成，如图4.3所示。,(a)地面运动加速度时程曲线,(b)微分脉冲引起的位移反应,图4.3 地震作用下运动方程解答附图,4.2 单自由度弹性体系的水平地震反应,今以任一微分脉冲的作用进行讨论。设它在 开始作用，作用时间为，则此微分脉冲大小为。显然体系在微分脉冲作用下只产生自由振动。这时体系的位移按式(4-16)确定。但是，式中的 和 应为微分脉冲作用后瞬时的位移和速度值。现在来求 和 值。因为微分脉冲作用前质点位移和速度均为零，所以在微分脉冲作用前后的瞬时其位移不会发生变化，而应为零，即。但速度有变化，这个速度变化可从脉冲-动量关系中求得。设微分脉冲 作用后的速度为，于是具有单位质量质点的动量变化就是 根据动量定理(4-19),4.2 单自由度弹性体系的水平地震反应,将 和 的值代入式(4-16)，即可以求得时间 作用的微分脉冲所产生的位移反应(4-20)体系在任意时刻t地震反应可由 时段所有地面运动脉冲反应的叠加来求得，即(4-21)上式就是非齐次线性微分方程(4-16)的特解，通称杜哈梅(Duhamel)积分。它与齐次微分方程(4-10)的通解之和就是微分方程(4-16)的全解。但是，由于结构阻尼的作用，自由振动很快就会衰减，公式(4-16)的影响通常可以忽略不计。,4.2 单自由度弹性体系的水平地震反应,对于结构设计来说，感兴趣的是结构的最大反应，因此，将质点所受最大惯性力定义为单自由度弹性体系的地震作用，即(4-22)将单自由度弹性体系运动方程(4-5)改写成(4-23),4.3 单自由度弹性体系的水平地震作用计算的反应谱法,并注意到物体振动的一般规律为：加速度最大时，速度最小()，则由式(4-21)近似可得(4-24)即(4-25)上式的意义是，求得地震作用后，即可按静力分析方法计算结构的最大位移反应。,4.3 单自由度弹性体系的水平地震作用计算的反应谱法,为便于求地震作用，将单自由度体系的地震最大绝对加速度反应与其自振周期T关系定义为地震加速度反应谱，记为。将地震位移反应式(4-21)微分两次，可得(4-26)注意到结构阻尼比一般较小，另外，体系自振周期,可得(4-27),4.3 单自由度弹性体系的水平地震作用计算的反应谱法,地震(加速度)反应谱可理解为一个确定的地面运动，通过一组阻尼比相同但自振周期各不相同的单自由度体 系，所引起的各体系最大加速度反应与相应体系自振周期间的关系曲线。由式(4-27)知，影响地震反应谱的因素有两个：一个是体系阻尼比，另一个是地震动。一般体系阻尼比越小，体系地震加速度反应越大，因此地震反应谱值越大。显然，地震动记录不同，地震反应谱也将不同，即不同的地震动将有不同的地震反应谱，或地震反应谱总是与一定的地震动相应。因此，影响地震动的各种因素也将影响地震反应谱。,4.3 单自由度弹性体系的水平地震作用计算的反应谱法,由地震反应谱可方便地计算单自由度体系水平地震作用为(4-28)然而，地震反应谱除受体系阻尼比地影响外，还受地震动地振幅、频率等的影响，不同的地震记录会有不同的反应谱曲线，虽然它们有某些共同的特征，但仍有差别。在结构抗震设计中，不可能预知建筑物将受到怎样的地面运动，因而无法确定相应的地震反应谱。因此，应按场地类别、近震和远震分别绘出反应谱曲线，然后根据统计分析从大量的反应谱曲线中找出每种场地和近、远震有代表性的平均反应谱曲线，作为设计用的标准反应谱曲线。这种反应谱称之为设计反应谱。因此，将式(4-28)改写为(4-29)式中：G 体系的质量；k 地震系数；动力系数。,4.3 单自由度弹性体系的水平地震作用计算的反应谱法,由此可见，求作用在质点上的水平地震作用F，关键在于求出地震系数K和动力系数 的值。1.地震系数地震系数是地震动峰值加速度与重力加速度之比。即(4-30)也就是以重力加速度为单位的地震动峰值加速度。显然，地面加速度愈大，地震的影响就愈强烈，即地震烈度愈大。所以，地震系数与地震烈度有关，都是地震强烈程度的参数。如果同时根据该处的地表破坏现象、建筑的损坏程度等，按地震烈度表评定该处的宏观烈度，就可提供它们之间的一个对应关系。根据许多这样的资料，就可确定基本烈度与地震系数的对应关系。,4.3 单自由度弹性体系的水平地震作用计算的反应谱法,表4-1是我国建筑抗震设计规范采用的地震系数与基本烈度之间的对应关系。,表4-1 基本烈度与地震系数k的对应关系,地震系数,注：括号中的分别用于设计基本地震加速度为0.15g和0.30g的地区。g为重力加速度。,4.3 单自由度弹性体系的水平地震作用计算的反应谱法,2.动力系数 动力系数 是单质点弹性体系在地震作用下从最大反应加速度与地面最大加速度之比，即(4-31)也就是质点最大反应加速度比地面最大加速度放大的倍数。实质为规则化的地震反应谱。不同的地震记录 不同时，不具有可比性，但 却具有可比性。为使动力系数能用于结构抗震设计，采取以下措施。取确定的阻尼比。因大多数实际建筑结构的阻尼比在0.05左右。(2)按场地、震中距将地震动分类。(3)计算每一类地震动记录动力系数的平均值,4.3 单自由度弹性体系的水平地震作用计算的反应谱法,(4-32)上述措施(1)考虑了阻尼比对地震反应谱的影响，措施(2)考虑了地震动频率的主要影响因素，措施(3)考虑了类别相同的不同地震动记录地震反应谱的变异性。,4.3 单自由度弹性体系的水平地震作用计算的反应谱法,3.地震影响系数为简化计算，令(4-33)称为地震影响系数。由于 与 仅相差一常系数地震系数，因而的物理意义与 相同，是一设计反应谱。由此得到的 经平滑后如图4.4所示图中(4-34),图4.4 地震影响系数谱曲线,4.3 单自由度弹性体系的水平地震作用计算的反应谱法,表4-2 特征周期Tg值/s,特征周期与场地条件和设计地震分组有关，按表4-2确定；结构自振周期；衰减指数，=0.9；直线下降段斜率调整系数，=0.02；阻尼调整系数，=1.0。,4.3 单自由度弹性体系的水平地震作用计算的反应谱法,目前，我国建筑抗震采用两阶段设计，第一阶段进行结构强度与弹性变形验算时采用多遇地震烈度，其 值相当于基本烈度所对应 值的1/3。第二阶段进行结构弹塑性变形验算时采用罕遇地震烈度，其 值相当于基本烈度所对应 值的1.52倍(烈度越高，值越小)。由此，由表4-1及式(4-34)可得各设计阶段 的值，如表4-3所示。,表4-3 水平地震影响系数最大值max,4.3 单自由度弹性体系的水平地震作用计算的反应谱法,4.阻尼对地震影响系数的影响当建筑结构阻尼比按有关规定不等于0.05时，其水平地震影响系数仍按图4.4确定，但形状参数应作调整。(1)曲线下降段的衰减指数，按下式确定：(4-35)(2)直线下降段的下降斜率调整系数，按下式确定：(4-36)(3)阻尼调整系数，按下式确定：(4-37)当时，取。,4.3 单自由度弹性体系的水平地震作用计算的反应谱法,5.地震作用计算 由式(4-29)和式(4-33)，可得抗震设计时单自由度体系水平地震作用计算公式为(4-38)对比式(4-28)和式(4-33)可知，地震影响系数与地震反应谱的关系为(4-39),4.3 单自由度弹性体系的水平地震作用计算的反应谱法,【例4.1】某单层钢筋混凝土框架计算简图如图4.5所示。集中于屋盖处的重力荷载代表值，框架跨度12 m，高度5 m，框架的柔度系数，设防烈度为8度，场地类别为类，地震分组为第一组，试确定该框架的水平地震作用标准值，地震内力及水平位移(横梁刚度可视为无限大)。,原结构计算简图(b)计算模型(c)原结构在单位水平荷截作用下的弯矩图图4.5 例题4.1附图,4.3 单自由度弹性体系的水平地震作用计算的反应谱法,解：结构自振周期 水平地震影响系数。设防烈度为8度，查表4-3，场地类(第一组)，查表4-2，因为(1)水平地震作用标准值。,4.3 单自由度弹性体系的水平地震作用计算的反应谱法,(2)水平位移。(3)内力图，如图4.6所示。,(a)弯矩图(kn-m)(b)剪力图(kN)图4.6 内力图,4.3 单自由度弹性体系的水平地震作用计算的反应谱法,在单向水平地面运动作用下，多自由度体系的变形如图4.7所示。设在振动过程中各质点的相对水平位移分别为，则各质点所受的水平惯性力为将上式表达成向量和矩阵的形式为(4-40),图4.7 多自由度体系的变形,4.4 多自由度弹性体系的水平地震反应,其中(4-41a)(4-41b)(4-41c)(4-42)式中：M体系质量矩阵；质点相对水平加速度。,4.4 多自由度弹性体系的水平地震反应,由结构力学的矩阵位移法，可列出该体系的刚度方程为(4-43)其中(4-44)为体系的相对水平位移向量；K为体系与X相对应的刚度矩阵。将式(4-40)代入式(4-43)得多自由度体系无阻尼运动方程为(4-45)若将阻尼的因素考虑进去，则上式应为(4-46)其中，C为体系阻尼矩阵。,4.4 多自由度弹性体系的水平地震反应,1.主振型研究自由振动时，不考虑阻尼的影响。此时体系所受外力为零，则由式(4-45)得多自由度自由振动方程为(4-47)设方程的解为如下形式(4-48)这里 是位移幅值向量，即将式(4-48)代入(4-47)，得(4-49)消去公因子，即得(4-50)上式是位移幅值 的齐次方程，称之为特征方程。为了得到 的非零解，应使系数行列式为零，即(4-51),4.4 多自由度弹性体系的水平地震反应,方程(4-51)称为体系的特征值方程。将行列式展开，可得到一个关于频率参数的次代数方程(是体系自由度的次数)。求出这个方程的个根，。把全部自振频率按照由小到大的顺序排列而成的向量称为频率向量，其中最小的频率称为基本频率或第一频率。令 表示与频率相应的主振型向量：将 和 代入式(4-46)，得(4-52)令1、2、n，可得出n个向量方程，由此可求出n个主振型向量。每一个向量方程(4-48)都代表n个联立方程，由于这是一组齐次方程，由代数知识可知，我们可以唯一地确定主振型 的形状，但不能唯一的确定它的振幅。,4.4 多自由度弹性体系的水平地震反应,为了使主振型 的振幅也具有确定值，可以规定主振型 中的某个元素为某个给定值，如规定第一个元素 等于1，这样得到的主振型称为标准化主振型，通常简称振型。,(b)(c)(d)图4.8 例题4.2附图,4.4 多自由度弹性体系的水平地震反应,【例4.2】单跨两层框架如图4.8(a)所示，楼面梁的刚度很大，可视为，层质量为m1，m2，层刚度为K1、K2，已知m1=m2=m，k1=k2=k，试求频率和振型。解：(1)质量矩阵。(2)刚度矩阵。(3)频率。,(a)第一振型(b)第二振型图4.9 例4.2结构各阶振型图,4.4 多自由度弹性体系的水平地震反应,展开得令m1=m2=m，k1=k2=k，代入上式解得(4)振型。将 代入上式并令m1=m2=m，k1=k2=k，得,4.4 多自由度弹性体系的水平地震反应,显然它们是线性相关的，解其中任何一个方程，可得第一主振型将代入得第二主振型,(a)第一振型(b)第二振型 图4.9 例4.2结构各阶振型图,4.4 多自由度弹性体系的水平地震反应,2.主振型的正交性将体系动力特征方程改写为(4-53)上式对体系任意第i阶和第j阶频率和振型均应成立，即(4-54a)(4-54b)对式(4-54a)两边左乘，并对式(4-54b)两边左乘 得(4-54c)(4-54d),4.4 多自由度弹性体系的水平地震反应,将式(4-54d)两边转置，并注意到刚度矩阵和质量矩阵的对称性得(4-54e)将式(4-54c)与式(4-54e)相减得(4-54f)如果，则得(4-55),4.4 多自由度弹性体系的水平地震反应,上式就是所要证明的第一个正交关系式。它表明，相对于质量矩阵M来说，不同频率相应的主振型是彼此正交的。如果将式(4-55)代入式(4-54c)得出第二个正交关系如下。(4-56)上式表明，相对于刚度矩阵K来说，不同频率相应的主振型也是彼此正交的。【例4.3】试验算例4.2所示体系质量矩阵的正交性。解：,4.4 多自由度弹性体系的水平地震反应,将体系任一质点的位移x按主振型展开得(4-57)其中 称为广义坐标，它是时间t的函数。将式(4-57)代入多自由度体系一般有阻尼运动方程(4-46)得(4-58)将上式两边左乘 得(4-59)注意到振型关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性，并设振型关于阻尼矩阵也正交，即(4-60)则式(4-59)成为(4-61),4.4 多自由度弹性体系的水平地震反应,将式(4-54a)两边左乘(4-62)则可得(4-63)令(4-64)(4-65)将式(4-56)两边同除以 可得(4-66),4.4 多自由度弹性体系的水平地震反应,这样，经过变换，便将原来运动微分方程组(4-58)分解成n个以广义坐标 的独立微分方程了。它与单质点体系在地震作用下的运动微分方程(4-9)相同，所不同的只是方程(4-9)中的 变成，变成，同时等号右边多了一个系数。所以式(4-66)的解可按式(4-9)积分求得：(4-67)其中(4-68),4.4 多自由度弹性体系的水平地震反应,比较(4-67)和式(4-21)可见，相当于阻尼比、自振频率 的单质点体系在地震作用下的位移。这个单质点体系称为振型 相应的振子。求得各振型的广义坐标 后，就可按式(4-57)求出原体系的位移反应：(4-69)其中(4-70)上式表明，多质点弹性体系质点 的地震反应等于各振型参与系数 与该体型相应的振子的地震位移反应的乘积，再乘以该振型质点 的相对位移，然后再把它总和起来。这种振型分解法不仅对计算多质点体系的地震位移反应十分简便，而且也为按反应谱理论计算多质点体系的地震作用提供了方便条件。对结构抗震设计最有意义的是结构最大地震反应。下面两节分别介绍两种计算多自由度弹性体系最大地震反应的方法。,4.4 多自由度弹性体系的水平地震反应,多质点 弹性体系在地震影响下，在质点 上所产生的地震作用等于质点上的惯性力(4-71)式中 为第质点 的质量；为质点 的相对加速度，其值等于(4-72)为地震时地面加速度。为了使推导公式简便起见，把它写成(4-73)其中(4-74)公式(4-74)的证明从略。将式(4-72)和(4-73)代入式(4-71)，得(4-75)其中 为第 振型对应的振子(它的自振频率为，阻尼比为)的绝对加速度。,4.5 振型分解反应谱法,4.5 振型分解反应谱法,在第振型第质点上的地震作用最大值，可写成(4-76)则由地震反应谱的定义，可将质点 的第 振型水平地震作用表达为(4-77)进行结构抗震设计需采用反应谱，由地震影响系数反应谱与地震反应谱的关系可得(4-78)式中：第 振型第质点 的水平地震作用标准值；相应于第 振型自振周期的影响系数；第 振型参与系数；第 振型第质点 的相对水平位移；集中于质点 的重力荷载代表值。,求出第 振型质点 上的水平地震作用 后，就可按一般力学方法计算结构的地震作用效应(弯矩、剪力、轴向力和变形)。我们知道，根据振型分解反应谱法确定的相应于各振型的地震作用(1,2,n，1,2,n)均为最大值。所以，按 所求得的地震作用效应(j1,2,n)也是最大值。但是，相应于各振型的最大地震作用效应 不会同时发生，这样就出现了如何将 进行组合，以确定合理的地震作用效应问题。抗震规范根据概率论的方法，得出了结构地震作用效应“平方和开平方”(SRSS)的近似计算公式：(4-79)式中：水平地震效应；第 振型水平地震作用产生的作用效应，可只取23个振型当基本自振周期大于1.5s或房屋高宽比大于5时，振型个数可适当增加。,4.5 振型分解反应谱法,4.5 振型分解反应谱法,【例4.4】单跨两层框架，条件同例4.2，设防烈度为8度，场地条件为类(第一组)，,试用振型分解反应谱法计算该结构的水平地震作用效应。解：(1)结构的自振频率、周期及振型。,4.5 振型分解反应谱法,(2)振型参与系数。(3)地震影响系数。查表4-2，表4-3得，则,4.5 振型分解反应谱法,(4)水平地震作用。(5)层剪力及组合(SRSS法)。，,4.5 振型分解反应谱法,第一振型的水平地震作用与层剪力(b)第二振型的水平地震作用与层剪力(c)组合后的层剪力图4.10 例题4.4附图,计算结果如图4.10所示。,4.6 底部剪力法,按振型分解反应谱法计算水平地震作用，特别是房屋层数较多时，计算过程十分冗繁。为了简化计算，抗震规范规定，在满足一定条件下，可采用近似计算法，即底部剪力法。理论分析表明，对于质量和刚度沿高度分布比较均匀、高度不超过40 m，并以剪切变形为主(房屋高宽比小于4时)的结构，振动时具有以下特点。(1)位移反应以基本振型为主。(2)基本振型接近直线。即任意质点的第一振型位移与其高度成正比，其中 为比例常数，于是，作用在第i质点上的水平地震作用标准值可写成(4-80),将 代入上式得(4-81)则结构底部剪力为(4-82)令(4-84),4.6 底部剪力法,式中：等效重力荷载系数，抗震规范规定 0.85。结构底部剪力的计算可简化为(4-85)式中：结构等效总重力荷载；相应于结构基本周期的水平地震影响系数。下面来确定作用在第质点上的水平地震作用。将式(4-81)改写成(4-86)将式(4-83)、式(4-84)和式(4-85)代入上式得(4-87),4.6 底部剪力法,4.6 底部剪力法,对于自振周期比较长的多层钢筋混凝土房屋、多层内框架砖房，经计算发现，在房屋顶部的地震剪力按底部剪力法计算结果较精确法偏小，为了减小这一误差，抗震规范采取调整地震作用的办法，使顶层地震剪力有所增加。对于上述建筑，抗震规范规定，当结构基本周期 时，需在结构的顶部附加如下集中水平地震作用：(4-88)其中，为结构顶部附加地震作用系数，多层钢筋混凝土房屋附加地震作用系数按表4-4采用：多层内框架砖房附加地震作用系数可采用0.2，其他房屋不考虑。,震害表明，突出屋面的屋顶间(电梯机房、水箱间)女儿墙、烟囱等，它们的震害比下面主体结构严重。这是由于突出屋面的这些建筑的质量和刚度突然变小，地震反应随之增大的缘故。在地震工程中，把这种现象称为“鞭梢效应”。因此，抗震规范规定，采用底部剪力法时，对这些结构的地震作用效应，宜乘以增大系数3，此增大部分不应往下传递。,4.6 底部剪力法,表4-4 顶部附加地震作用系数,【例4.5】单跨两层框架，层高，其余条件同例4.4，使用底部剪力法计算该结构的水平地震作用解：(1)基底总剪力。(2)各质点的水平地震作用：,4.6 底部剪力法,4.6 底部剪力法,计算结果及其与振型分解法的比较如图4.11所示。,底部剪力法的水平地震作用及层剪力(b)振型分解反应谱法的水平地震作用及层剪力图4.11 例题4.5附图,4.7 结构基本周期的近似计算,按振型分解法计算多质点体系的地震作用时，需要确定体系的基频和高频以及相应的主振型。从理论上讲，它们可通过解频率方程得到。但是，当体系的质点数多于三个时，手算就感到困难。因此，在工程计算中，常常采用近似法。1.能量法(Rayleigh法)(4-89)式中：质点的重力荷载代表值；各质点的重力荷载代表值作为一组水平荷 载时，结构质点处的水平位移(m)；重力加速度。,4.7 结构基本周期的近似计算,2.经验公式对于混凝土框架及框架-剪力墙结构(4-90)对于混凝土剪力墙结构(4-91)式中：H、B建筑物的总高度及总进深(m)。3.顶点位移法(钢筋混凝土高层建筑结构设计与施工规程公式)对于刚度和质量比较均匀的框架结构、框架剪力墙结构及剪力墙结构(4-92)式中：考虑非承重砖墙影响的折减系数，框架结构取0.60.7；框 架剪力墙结构取0.70.8；剪力墙结构取1.0。各质点的重力荷载代表值作为一组水平荷载时，结构的顶点位移,4.8 竖向地震作用计算,一般来说，水平地震作用是导致房屋破坏的主要原因。但当烈度较高时，高层建筑、烟囱、电视塔等高耸结构和长悬臂、大跨度结构的竖向地震作用也是不可忽视的。我国抗震规范规定，8度和9度时的大跨结构、长悬臂结构、烟囱和类似高耸结构，9度时的高层建筑，应考虑竖向地震作用。,4.8.1 结构竖向地震动力特性,分析表明，各类场地的竖向地震反应谱和水平反应谱相差不大如图4.12所示。因此，在竖向地震作用计算时可近似采用水平反应谱。另据统计，地面竖向最大加速度与地面水平最大加速度比值为1/22/3之间，对震中距较小地区宜采用较大数值。,图4.12 竖向、水平地震的平均反应谱(类场地),4.8 竖向地震作用计算,若取竖向地震系数 与水平地震系数 之比取为=2/3。因此，竖向地震影响系数(4-93)式中：、竖向和水平地震系数；、竖向和水平地震动力系数；、竖向和水平地震影响系数。,4.8 竖向地震作用计算,9度时的高层建筑，其竖向地震作用标准值可按反应谱法计算。分析表明，高层建筑和高耸结构取第一振型竖向地震作用作为结构的竖向地震作用时其误差是不大的。于是，可采用类似于水平地震作用的底部剪力法，计算高耸结构及高层建筑的竖向地震作用如图4.13所示，公式为(4-94)(4-95)式中：结构总竖向地震作用标准值；质点的竖向地震作用标准值；相应于结构基本周期的竖向地震影响系数，由于竖向基本 周期较短，故；结构等效总重力荷载。,4.8 竖向地震作用计算,计算竖向地震作用效应时，可按各构件承受的重力荷载代表值的比例分配，并乘以1.5的竖向地震动力效应增大系数。,图4.13 第一振型曲线及竖向地震作用计算简图,4.8 竖向地震作用计算,根据对大跨度的平板钢网架和标准屋架以及大跨结构竖向地震作用振型分解法的分析表明，竖向地震作用的内力和重力荷载作用下的内力比值，一般比较稳定。因此，抗震规范规定，对平板型网架屋盖、跨度大于24m屋架、长悬臂结构及其他大跨度结构的竖向地震作用标准值，可用静力法计算：(4-96)式中：竖向地震作用标准值；G 重力荷载标准值；竖向地震作用系数，平板型网架、钢屋架、钢筋混凝土屋架，可按表4-5采用；长悬臂结构及其他大跨度结构，8度、9度可分别取0.10和0.20，设计基本地震加速度为0.30g时，可取该结构、构件重力荷载代表值的15%。,4.8 竖向地震作用计算,表4-5 竖向地震作用系数,4.8 竖向地震作用计算,4.9 结构抗震验算,1.结构抗震计算原则(1)一般情况下，可在建筑结构的两个主轴方向分别考虑水平地震作用并进行抗震验算，各方向的水平地震作用应由该方向抗侧力构件承担。(2)有斜交抗侧力构件的结构，当相交角度大于15时，应分别考虑各抗侧力构件方向的水平地震作用。(3)质量和刚度分布明显不对称的结构，应考虑双向水平地震作用下的扭转影响；其他情况，宜采用调整地震作用效应的方法考虑扭转影响。(4)8度和9度时的大跨度结构、长悬臂结构，9度时的高层建筑，应考虑竖向地震作用。,4.9 结构抗震验算,2.结构抗震计算方法的选用(1)高度不超过40 m，以剪切变形为主且质量和刚度沿高度分布比较均匀的结构，以及近似于单质点体系的结构，宜采用底部剪力法等简化方法。(2)除上述以外的建筑结构，宜采用振型分解反应谱法。(3)特别不规则的建筑、甲类建筑和表4-6所列高度范围的高层建筑，应采用时程分析法进行补充计算。采用时程分析法时，应按建筑场地类别和设计地震分组，选择不少于二组的实际强震记录和一组人工模拟的加速度时程曲线，其平均地震影响系数曲线应与抗震规范的地震影响系数曲线在统计意义上相符，时程分析法计算所得的平均底部剪力不应小于振型分解反应谱法计算结果的80。,4.9 结构抗震验算,表4-6 采用时程分析法计算的房屋高度范围,1.构件截面抗震承载力验算多遇烈度下的地震作用效应和其他荷载效应组合后，方可用于构件截面抗震承载力验算。多遇烈度是结构在使用期限内，遭遇机会最多的地震烈度，其超越概率为63%，多遇烈度下的地震作用，应视为可变作用而不是偶然作用。多遇烈度下的地震作用效应与其他荷载效应的基本组合按下式计算(4-97)式中：S 结构构件内力组合的设计值，包括组合的 弯矩、轴向力和剪力设计值；重力荷载分项系数，一般情况取1.2，当重力 荷载效应对构件承载能力有利，可取1.0；,4.9 结构抗震验算,、分别为水平、竖向地震作用分项 系数，应按表4-7采用；风荷载分项系数，应取1.4；G 重力荷载代表值；竖向地震作用标准值；风荷载标准值；风荷载组合系数，一般结构可不 考虑，风荷载起控制作用的高层建筑可采用0.2；、分别为重力荷载、水平地震作用、竖向地震作用和风荷载的作用效应系数。,4.9 结构抗震验算,表4-7 地震作用分项系数,构件的抗震承载力按下式计算(4-98)式中：S 包含地震作用效应的结构构件内力组合设计值；R 结构构件承载力设计值；承载力抗震调整系数，除另有规定外，应按表4-8采用，当仅计算竖向地震作用时，各类结构构件承载力抗震 承载力调整系数均宜采用1.0。,4.9 结构抗震验算,表4-8 承载力抗震调整系数,4.9 结构抗震验算,2.结构的弹性变形验算表4-9所列各类结构应进行多遇地震作用下的抗震变形验算，其楼层内最大弹性层间位移应符合下式要求：(4-99)式中：多遇地震作用标准值产生的楼层内最大的弹性层间位移；计算时，除以弯曲变形为主的高层建筑外，可不扣除结构整体弯曲变形，应计入扭转变形，各作用分项系数应采用1.0；钢筋混凝土结构构件的截面刚度可采用弹性刚度；弹性层间位移角限值，宜按表4-9采用；h 计算楼层层高。,表4-9 弹性层间位移角限值,4.9 结构抗震验算,3.结构弹塑性变形验算在罕遇地震作用下，结构薄弱层(部位)的层间弹塑性位移应满足下式要求：(4-100)式中：弹塑性层间位移；h 薄弱层楼层高度或单层厂房上柱高度；弹塑性层间位移角限值，可按表4-10采用，对钢筋混凝土框架 结构，当轴 压比小于0.40时，可提高10%；当柱全高的箍筋构造 采用比规定的最小配箍特征值大30%时，可提高20%，但累计不超过25%。表4-10 结构层间弹塑性位移角限值,4.9 结构抗震验算,4.10 习 题,1.什么是地震作用？什么是地震反应？2.结构抗震计算有几种方法？各种方法在什么情况下采用？3.什么是地震反应谱？什么是设计反应谱？它们有何关系？4.什么是地震系数和地震影响系数？它们有何关系？5.一般结构应进行哪些抗震验算？以达到什么目的？6.什么是楼层屈服强度系数？怎样计算？7.怎样判断结构薄弱层和部位？8.哪些结构需考虑竖向地震作用？9.为什么抗震设计截面承载力可以提高？10.简述确定结构地震作用的底部剪力法和振型分解反应谱法的 基本原理。,