《线性相关性》课件.ppt
线性方程组及其解法,向量组的线性相关性,线性方程组的解的结构,线性方程组的求解,第8章,向量的线性运算与向量组的线性相关性,学习要求,了解向量的概念，掌握向量的线性运算法则；,理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法；,理解向量组的极大无关组和秩的概念，会求向量组的极大无关组及秩；,了解向量组等价的概念，了解矩阵的秩与其行、列向量组的秩之间的关系。,向量与线性方程组,引例 一个方程对应一组数,矩阵的一行对应一组数,线性方程组可对应一组数组；矩阵也可对应一组数组。,向量的定义,如果将有序数组写成一列的形式，则称向量为列向量。,实际上，行向量即为一个行矩阵，列向量即为一个列矩阵。,几个概念,1、同维向量：分量个数相等的向量称为同维向量。,2、相等向量：如果向量 与 是同维向量，而且对应 的分量相等，则称向量 与 相等。,3、零向量：分量都是0的向量称为零向量，记作O。,4、负向量：称向量 为向量 的负向量，记作。,5、向量组：如果n个向量 是同维向量，则称为 向量组,向量的线性运算,1、向量的加减法,2、数乘向量,向量的加、减、数乘运算称为向量的线性运算。,向量线性运算的运算律,交换律,结合律,分配律,例1,解,练习：已知，求,解,向量空间,设S是一非空n维实向量集，在S中定义加法和数乘运算，如果对于S中任意两向量 和实数，都有则称S为一个n维向量空间，记作,如,是向量空间,不是向量空间,向量的线性相关关系,解 设,则,所以,线性组合的概念：设有同维向量，如果存在一组数，使得 成立，则称向量 可由向量组 线性表示，或称向量 是向量组 的线性组合。,线性相关、线性无关的概念,显然：含有零向量的向量组是线性相关的。,因为,设有向量组，如果存在一组不全为零的数，使得 成立，则称向量组 线性相关，否则，称向量组 线性无关。即当且仅当 全为零时，才成立，则称向量组 线性无关。,证明,设,则,所以,所以向量组 线性无关。,称向量组 为n维向量空间的单位坐标向量组。,任何一个n维向量 都可由向量组 线性表示，,解 设,则,利用矩阵的初等变换，可求得,注：有无穷多组解,所以向量组 线性相关。,练习 判断向量组的线性相关性,解 设,则有,证明,例5 已知向量组 线性无关，证明：向量组 线性无关。,设,则,因为 线性无关,所以有,解得,所以向量组 线性无关。,所以有,由于,事实上，可取,则,否则，若,可推得,这与已知矛盾，所以,定理 若向量组 线性无关，而向量组 线性相关，则向量 可由向量组 线性表示，而且表示方法惟一。,于是,假设另有表达式,则可得,所以,所以 可由向量组 线性表示。,不妨设,于是有,则有,解 设,所以，方程组（*）只有唯一的一组解,所以有,解得,小结：,(3)向量 可由向量组 线性表示,线性方程组 有解,向量组的线性相关性的几个性质定理,1、单个非零向量是线性无关的。,2、两个向量线性相关的充分必要条件是对应分量成比例。,3、增加向量，不改变向量组线性相关；减少向量，不改变 向量组线性无关。即部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关。,4、增加分量，不改变向量组的线性无关；减少分量，不改变向 量组的线性相关。即低维无关，则高维无关；高维相关，则 低维相关。,5、n+1 个 n 维的向量构成的向量组是线性相关的。,个数大于维数的向量组是线性相关的。,向量组的极大无关组,如果向量组 的部分组 满足（1）线性无关；（2）任意增加一个向量（如果存在的话），向量组 线性相关。则称向量组 为向量组的一个极大线性无关组，简称为极大无关组。,例如：向量组,线性相关，线性无关。,向量组 是向量组 的一个极大无关组。,向量组 也是向量组 的一个极大无关组。,可见，一个向量组的极大无关组可以不是惟一的。,向量组的秩,向量组 的极大无关组中所含向量的个数，称为向量组的秩。记作,如果向量组的秩小于向量组所含向量的个数，即，则向量组 线性相关。,矩阵A的秩=矩阵A的行向量组的秩=矩阵A的列向量组的秩,可利用矩阵的初等变换判断向量组的线性相关性、求向量组的秩及极大无关组。,如果向量组的秩等于向量组所含向量的个数，即，则向量组 线性无关。,例1 判别下列向量组的线性相关性,解 令,因为,例2 判别下列向量组的线性相关性,解：令,因为,向量组的等价关系,如果向量组A：中的每一个向量可由向量组B：线性表示，同时，向量组B中的每一个向量可由向量组A线性表示，则称向量组A与向量组B等价。,定理：等价向量组的秩相等。,一个向量组和它的任意一个极大无关组是等价的。,等价向量组的性质（1）反身性：向量组A与自身等价；（2）对称性：如果向量组A与B等价，则向量组B 与A等价；（3）传递性：如果A与B等价，B与C等价，则A与C等价。,例3 求下列向量组的一个极大无关组,解法1：作矩阵,例3 求下列向量组的一个极大无关组,解法1：.,又,练习 求向量组的秩及一个极大无关组，并用该极大无关组表示 余下的向量。,解 构成矩阵，令,于是，,是它的一个极大无关组。,且,求向量组的极大无关组的另解,重要结论,若矩阵 A 经过有限次初等行变换变成矩阵 B，则 A 的,行向量组与 B 的行向量组等价，而 A 的任意 K 个列向量与,B 中对应的 K 个列向量有相同的相关性；,若矩阵 A 经过有限次初等列变换变成矩阵 B，则 A 的,列向量组与 B 的列向量组等价，而 A 的任意 K 个行向量与,B 中对应的 K 个行向量有相同的相关性。,例4 求下列向量组的一个极大无关组,解法2：构造矩阵,因为,而 B 中第一、二、四列的向量是线性无关的，,故 A 中第一、二、四列的向量是线性无关的，,由于初等行变换不改变列向量组对应的相关性,作 业,P280 3,4,6(1,2),7预习 第三节 线性方程组解的结构 第四节 线性方程有解判别定理,
