《线性代数》电子教案-第一、二章.ppt

第一章 行列式,1.1 行列式的有关概念,(a11a22a12a21)x1=b1a22a12b2(a11a22a12a21)x2=a11b2b1a21,当a11a22a12a21 0时,一、二元线性方程组与二阶行列式,由方程组的四个系数确定,由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表,定义,即,第一章 行列式,1.1 行列式的有关概念,请思考有何运算规律,副对角线,主对角线,对角线法则,二阶行列式的计算,对于二元线性方程组,第一章 行列式,1.1 行列式的有关概念,解为：,则当D=a11a22a12a21 0时,有唯一确定的解,第一章 行列式,1.1 行列式的有关概念,注意：分母都为原方程组的系数行列式，分子与原方程组的关系留待稍后讨论.,根据对角线法则的计算特点,例1,解,第一章 行列式,1.1 行列式的有关概念,二、三阶行列式,定义,记,（4）式称为数表（3）所确定的三阶行列式.,第一章 行列式,1.1 行列式的有关概念,三阶行列式的计算,注意：1.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负；2.红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号,第一章 行列式,1.1 行列式的有关概念,例,解,按对角线法则，有,第一章 行列式,1.1 行列式的有关概念,对角线法则是否适用于更高阶的行列式？,第一章 行列式,1.1 行列式的有关概念,三、排列及其逆序数,1 排列,如：213是一个3级排列。,问：1，2，3可以有多少种不同的排列呢？,123,132,213,231,312,321,如何区分这些相同元素的不同排列？,第一章 行列式,1.1 行列式的有关概念,2 逆序,n 个不同自然数按从小到大自然顺序的排列，称之为（n 级）排列的标准排列。,标准排列,如:123是一个（3级）标准顺序的排列。,定义:若n个自然数组成的标准排列为p1p2psptpn(st)，若有这 n个自然数组成的任意一个排列p1p2ptpspn，则称 ps与 pt构成该排列的一个逆序；一个排列中，所有逆序的总数，称作该排列的逆序数。逆序数为偶数称为偶排列，逆序数为奇数称为奇排列，标准排列规定为偶排列。,第一章 行列式,1.1 行列式的有关概念,逆序数的计算,设p1p2psptpn为1n的一个全排列，则其逆序数为,其中 ti 为排在 pi 前，且比 pi 大的数的个数。,例3：讨论1，2，3的全排列。,第一章 行列式,1.1 行列式的有关概念,用全排列的方式改写二阶，三阶行列式,二阶行列式,则是对1,2所有的全排列求和。,三阶行列式,注意：这里行标是按照自然顺序排列的！,第一章 行列式,1.1 行列式的有关概念,若 p1p2 p3 是1,2,3的全排列；,则是对1,2,3所有的全排列求和。,t 是p1p2 p3的逆序数；,注意：这里行标也是按照自然顺序排列的！,将二阶，三阶行列式推广可得n阶行列式的定义。,四、n阶行列式,定义,第一章 行列式,1.1 行列式的有关概念,由n2个数组成的n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和(-1)ta1p1a2p2anpn.其中p1p2pn为自然数1,2,n的一个排列，t为这个排列的逆序数。,即可将n阶行列式记作：,注意,第一章 行列式,1.1 行列式的有关概念,.,第一章 行列式,1.1 行列式的有关概念,解：,D1中只有一项a11a22ann不含0，且列标构成排列的逆序数为：,故,同理,D2中只有一项a1na2n-1an1不含0，且列标构成排列的逆序数为：,故,第一章 行列式,1.1 行列式的有关概念,特例：,第一章 行列式,1.1 行列式的有关概念,定义：一个排列中某两个元素的位置互换成为对换。,相邻对换：,一般对换：,仍以1，2，3的全排列为例,五、对换,第一章 行列式,1.1 行列式的有关概念,定理1 对换一次改变排列的奇偶性。,证明,思路：先证相邻对换，然后再证一般对换。,(1)相邻对换：,所以对换后排列的奇偶性改变。,(2)一般对换：,经过m次相邻对换,经过m+1次相邻对换,经过2m+1次相邻对换,排列的奇偶性改变,将该对换分解为若干次相邻对换,第一章 行列式,1.1 行列式的有关概念,定理1推论,定理2,注意：这里列标是标准排列，行表示自然数1 n的全排列,n阶行列式也可定义为：,第一章 行列式,1.1 行列式的有关概念,六、转置行列式,若记,其中，称DT为D的转置行列式。,行列式转置的特点：以主对角线为对称轴，互换对称元素。,作业：,习题1（1）（3），2（2）（3）（5）（6），3,第一章 行列式,性质1.行列式与它的转置行列式相等.,1.2 行列式的性质及应用,1.2 行列式的性质,设,证明：,其中 D T为 D 的转置行列式。则有,故,一、行列式的性质,定理2,第一章 行列式,性质2.互换行列式中的两行（列）,行列式变号.,1.2 行列式的性质,证明：,则,思路：利用行列式的定义证明,第一章 行列式,1.2 行列式的性质,推论.若行列式 D 中有两列完全相同,则D=0.,第一章 行列式,性质3(线性性质),1.2 行列式的性质,(1)det(1,kj,n)=kdet(1,j,n);,(2)det(1,j+j,n)=det(1,j,n)+det(1,j,n).,推论：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。,性质4.行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。,证法：由性质2的推论和性质3可证,第一章 行列式,1.2 行列式的性质,性质5.把行列式的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上去,行列式的值不变.,证法：根据性质2的推论和性质3、4可证,上述性质给出了行列式关于行（列）的三种基本运算，即对换，数乘和加倍，它们构成行列式简化计算的依据；所有运算性质对于行或列均成立，因此在对一个行列式进行计算时对行和对列的运算均可使用。,说明：,思考：如何利用行列式的性质进行行列式的计算？,上面的运算记作ci+kcj,回忆例4：,二、行列式性质的应用,例4给我们了什么启示？,第一章 行列式,1.2 行列式的性质,第一章 行列式,1.2 行列式的性质,例5,计算行列式常用方法：对具体的行列式，利用运算行列式的性质把行列式化为上(下)三角形行列式，从而算得行列式的值或者在此过程当中适当使用其它性质以简化计算。,解：,第一章 行列式,1.2 行列式的性质,这一步成立的依据是什么？,第一章 行列式,1.2 行列式的性质,第一章 行列式,1.2 行列式的性质,千万要注意“行列式交换两行，符号要改变”.,第一章 行列式,1.2 行列式的性质,第一章 行列式,1.2 行列式的性质,第一章 行列式,1.2 行列式的性质,第一章 行列式,1.2 行列式的性质,上三角行列式,第一章 行列式,例6.,=14.,注:本题也可以用定义或对角线法则计算.,1.2 行列式的性质,第一章 行列式,例7.设D=,证明:D=D1D2.,证明:对D1施行ri+krj 这类运算,把D1化为下三角形行列式:,=p11 pmm,1.2 行列式的性质,第一章 行列式,对D2施列ci+kcj 这类运算,把D2化为下三角形行列式:,于是对D的前m行施行上述ri+krj 运算,再对D的后n列施列上述施列ci+kcj 运算,可得:,=p11 pmm q11 qnn=D1D2.,1.2 行列式的性质,行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,三、小结,第一章 行列式,1.2 行列式的性质,作业：,习题4（1）（3），5（2）（3），6,定义：一般地,在n阶行列式中,把元素aij所在的第i行和第j列划去,留下来的n1阶行列式叫做元素aij的余子式,记作Mij,令Aij=(1)i+jMij,并称之为aij的代数余子式.,中a32的余子式为,代数余子式A32=(1)3+2M32=M32.,例如,四阶行列式,1.3 行列式的展开,第一章 行列式,1.3 行列式的展开,引理 一个n 阶行列式，如果其中第i行所有元素除(i,j)外都为零，则这行列式等于aij与它的代数余子式的乘积，即D=aij Aij,例如,第一章 行列式,1.3 行列式的展开,证,先证特殊情形，即当aij位于第一行第一列时,根据例7的结论，有,又,从而,再证一般情形,此时,第一章 行列式,1.3 行列式的展开,第一章 行列式,1.3 行列式的展开,把D的第i行依次与第i-1行，第i-2行，第1行对调得,第一章 行列式,1.3 行列式的展开,再把D的第j列依次与第j-1列，第j-2列，第1列对调得：,中的余子式Mij。,第一章 行列式,1.3 行列式的展开,故得,于是有,第一章 行列式,1.3 行列式的展开,定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,证,第一章 行列式,1.3 行列式的展开,第一章 行列式,1.3 行列式的展开,思考：定理3的实用性如何？,例8,第一章 行列式,1.3 行列式的展开,第一章 行列式,1.3 行列式的展开,证,用数学归纳法,第一章 行列式,1.3 行列式的展开,第一章 行列式,1.3 行列式的展开,即有,再来证明（1）式对n阶范德蒙德行列式也成立。,思考：如何计算Dn？,第一章 行列式,1.3 行列式的展开,从第n行开始，用后行减去前行的x1倍，可得,n-1阶范德蒙德行列式,第一章 行列式,1.3 行列式的展开,证,第一章 行列式,1.3 行列式的展开,推论.n阶行列式的某一行(列)元素与另一行(列)的对应的代数余子式乘积之和为零.即 ai1Aj1+ai2Aj2+ainAjn=0(i j)a1iA1j+a2iA2j+aniAnj=0(i j).,同理,第一章 行列式,1.3 行列式的展开,关于代数余子式的重要性质,第一章 行列式,1.3 行列式的展开,注:克罗内克(Kronecker)记号,第一章 行列式,1.3 行列式的展开,例10,设,D的(i,j)元的余子式和代数余,子式依次记作Mij,和Aij。,求：,和,思路：对本例来说，若直接计算每一项虽然难度不大，但计算量较大，且对于高阶行列式不现实，因此需考虑其他方法。,解：,第一章 行列式,1.3 行列式的展开,计算该行列式可得,根据行列式的展开定理,作业：,习题4（4），5（4），7（1）（2）（6）,交作业时间：3月15日,对于二元线性方程组,1.4 行列式的应用克拉默法则,回忆本课程开始时关于二元线性方程组与二阶行列式关系的讨论,则当D=a11a22a12a21 0时,有唯一确定的解,注意观察D1,D2与原方程组的关系.,是否能将该方法推广到n元方程组的求解？,第一章 行列式,1.4 行列式的应用,含有n个未知数x1，x2，xn的n个线性方程的方程组,的系数行列式不等于零，即,第一章 行列式,1.4 行列式的应用,一、克拉默法则,其中Dj是把系数行列式D中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即,那么线性方程组(1)有解，并且解是唯一的，解可以表为,第一章 行列式,1.4 行列式的应用,证明留待第二章。,二、重要定理,定理4 如果线性方程组(1)的系数行列式D0，则方程组(1)一定有解,且解是唯一的.,定理4 如果线性方程组(1)无解或有两个（或两个以上）不同的解，则它的系数行列式必为零.,第一章 行列式,1.4 行列式的应用,齐次线性方程组,定理5如果齐次线性方程组(2)的系数行列式D0则齐次线性方程组(2)没有非零解.,第一章 行列式,1.4 行列式的应用,定理5 如果齐次线性方程组(2)有非零解,则它的系数行列式必为零.,必有非零解.,系数行列式,说明：,例11 用克拉默则解方程组,解：,第一章 行列式,1.4 行列式的应用,第一章 行列式,1.4 行列式的应用,第一章 行列式,1.4 行列式的应用,第一章 行列式,1.4 行列式的应用,例12,解：,由定理4可知，若所给齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式D=0，即,第一章 行列式,1.4 行列式的应用,计算行列式D,由D=0可得,请思考：克拉默法则的实用性如何？,第二章 矩阵,2.1 矩阵的基本概念,一.矩阵概念,1.mn矩阵,元素:aij(i=1,m,j=1,n),注:元素都是实(复)数的矩阵称为实(复)矩阵.今后除非特别说明,我们所考虑的矩阵都是实矩阵.,思考：矩阵与行列式的区别,例1.某厂家向三个代理商发送四种产品.,第二章 矩阵,2.1 矩阵概念,a1i表示第i种产品的单价，a2i表示第i种产品的单件重量；bij表示向第j个城市发送第i种产品的数量。,2.1 矩阵概念,例2.四个城市间的单向航线如图所示.若aij表示从i市 到j市航线的条数,则右图可用矩阵表示为,例3.直线的一般方程,第二章 矩阵,2.1 矩阵概念,3.向量,n维行向量:1n矩阵(a1 a2 an)或a1,a2,an,n维列向量:n1矩阵,第i分量:ai(i=1,n),n阶方阵:nn矩阵,2.方阵,第二章 矩阵,2.1 矩阵概念,4.两个矩阵的行数相等,列数也相等时,称 它们是同型矩阵.,5.若两个同型矩阵A=aijmn与B=bijmn 满足:对于任意的1 i m,1 j n,aij=bij都成立,则称这两个矩阵相等,记 为A=B.,第二章 矩阵,第二章 矩阵,2.1 矩阵概念,二.几种特殊的矩阵,1.对称矩阵,则称A为对称矩阵.,若矩阵A=aijmn满足:m=n且aij=aji(i,j=1,2,n).,第二章 矩阵,2.1 矩阵概念,2.对角矩阵,方阵A=aijnn的a11,a22,ann称为对角线 元素.,若方阵A=aijnn除了对角线元素(可能不是 0)以外,其它元素都是0,则称A为对角矩阵.,对角线元素依次为1,2,n的对角矩阵 有时也记为=diag1,2,n,即,第二章 矩阵,2.1 矩阵概念,3.数量矩阵,若对角矩阵A=aijnn的对角线元素为同一 个数,则称A为数量矩阵(纯量矩阵).例如,4.单位矩阵,称为n阶单位矩阵.,第二章 矩阵,2.1 矩阵概念,5.反对称矩阵,则称A为反对称矩阵.,若矩阵A=aijmn满足:m=n且aij=aji(i,j=1,2,n).,注意与对称矩阵的区别,第二章 矩阵,2.1 矩阵概念,6.零矩阵,有时,加下标指明其阶数.,通常用O表示零矩阵.,例如,上述零矩阵分别可以记为:O2,O23,O3.,第二章 矩阵,2.2 矩阵的基本运算,2.2 矩阵的基本运算,一.矩阵的线性运算,1.加法,两个同型矩阵A=aijmn与B=bijmn的和C定义为:C=cijmn=aij+bijmn.,注:设矩阵A=(aij)mn,记A=(aij)mn,称之为A的负矩阵.,设A,B是同型矩阵,则它们的差定义为 A+(B).记为A B.即A B=A+(B).,第二章 矩阵,2.2 矩阵的基本运算,2.数乘,设矩阵A=(aij)mn,数k与A的乘积定义为(kaij)mn,记为kA或Ak.,注:矩阵加法和数乘运算统称为矩阵的线性运 算.,第二章 矩阵,2.2 矩阵的基本运算,3.性质,设A,B,C,O是同型矩阵,k,l是数,则,(1)A+B=B+A,(2)(A+B)+C=A+(B+C),(3)A+O=A,(4)A+(A)=O,(5)1A=A,(6)k(lA)=(kl)A,(7)(k+l)A=kA+lA,(8)k(A+B)=kA+kB.,第二章 矩阵,2.2 矩阵的基本运算,二.矩阵与矩阵相乘,例4.某厂家向三个代理商发送四种产品.,思考：向某地发货的总重如何计算？,第二章 矩阵,2.2 矩阵的基本运算,1.设A=(aij)ms,B=(bij)sn,则A与B的乘积是 一个mn矩阵C=(cij)mn,其中,记为C=AB.称AB为“以A左乘B”或“以B 右乘A”.,第二章 矩阵,2.2 矩阵的基本运算,2.矩阵乘积的特殊性(1)只有当矩阵A的列数等于矩阵B的行数时,乘积AB才有意义.(2)若A是一个mn矩阵,而B是一个nm矩阵,则AB和BA都有意义.但AB是一个m阶方 阵,BA是一个n阶方阵.当m n时,AB 与 BA谈不上相等不相等.即使m=n,AB与BA是同阶方阵也未必相等.例如:,第二章 矩阵,2.2 矩阵的基本运算,注意对比AB与BA的差别,第二章 矩阵,2.2 矩阵的基本运算,设k是数,矩阵A,B,C 使以下各式中一端有意义,则另一端也有意义并且等式成立:,(1)(AB)C=A(BC),(2)A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC,(3)(kA)B=k(AB).,3.矩阵乘法的性质,注意：矩阵乘法有结合律，分配律，但是没有交换律！,第二章 矩阵,2.2 矩阵的基本运算,结合律的妙用之一,设A=BC,我们可以定义A的正整数幂,A1=A,A2=AA,Ak+1=AkA,对于这里的A,A2005=,?,当然,对于任意方阵A,都可以像上面这样去 定义A的正整数幂.而且有如下结论,第二章 矩阵,2.2 矩阵的基本运算,AkAl=Ak+l,(Ak)l=Akl,注:不能说,“因为AB=BA未必成立,所以(AB)k=AkBk 未必成立”.,AB BA,但(AB)k=AkBk成立.,第二章 矩阵,2.2 矩阵的基本运算,(AB)k=AkBk,要说明即使A与B是同阶方阵,也未必成立,只要举出一个反例即可.,当然这里AB BA,第二章 矩阵,2.2 矩阵的基本运算,三.矩阵的转置,为A的转置.,则称矩阵,注意与行列式转置的对比。,第二章 矩阵,2.2 矩阵的基本运算,矩阵的转置运算满足如下性质,(1)(AT)T=A,(2)(A+B)T=AT+BT,(3)(kA)T=kAT,(4)(AB)T=BTAT.,2.性质,第二章 矩阵,2.2 矩阵的基本运算,方阵的行列式,一.方阵行列式的定义,的元素所构成的行列式称方阵A的行列式，记作|A|或detA（determinant）。,第二章 矩阵,2.2 矩阵的基本运算,即,注意：构成行列式时不能改变矩阵各元素的位置！只有方阵才有行列式重点强调：矩阵是一个数表，行列式是矩阵的各元素按照一定的运算法则所确定的一个数(可以对比一下矩阵和行列式的加法运算),第二章 矩阵,2.2 矩阵的基本运算,1阶方阵A=a11的行列式|A|定义为a11.,a11(1)1+1a22+a12(1)1+2a21,第二章 矩阵,2.2 矩阵的基本运算,3阶方阵A=,的行列式|A|定义为,a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33,|A|=,=a11A11+a12A12+a13A13,=a11 a22 a33+a12 a23 a31+a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31.,第二章 矩阵,2.2 矩阵的基本运算,二.行列式的性质复习,性质1.互换行列式中的两列,行列式变号.,推论.若行列式 D 中有两列完全相同,则 D=0.,性质2.(线性性质)(1)det(1,kj,n)=kdet(1,j,n);(2)det(1,j+j,n)=det(1,j,n)+det(1,j,n).,第二章 矩阵,2.2 矩阵的基本运算,推论.若行列式 D 中有两列元素成比例,则 D=0.,性质3.把行列式的某一列的k倍加到另一列 上去,行列式的值不变.,第二章 矩阵,2.2 矩阵的基本运算,性质4.设A,B为同阶方阵,则|AB|=|A|B|.,性质5.设A方阵,则|AT|=|A|.,注:根据方阵的性质5,前面几条关于列的性 质可以翻译到行的情形.例如:,性质1.互换行列式中的两行,行列式变号.,性质6.设A方阵,则|kA|=kn|A|.,第二章 矩阵,2.2 矩阵的基本运算,定理 n阶行列式D等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积 之和.即,D=a11A11+a12A12+a1nA1n=a21A21+a22A22+a2nA2n=an1An1+an2An2+annAnn=a11A11+a21A21+an1An1=a12A12+a22A22+an2An2=a1nA1n+a2nA2n+annAnn.,第二章 矩阵,2.2 矩阵的基本运算,性质7.n阶行列式的某一行(列)元素与另一 行(列)的对应的代数余子式乘积之和 为零.即 ai1Aj1+ai2Aj2+ainAjn=0(i j)a1iA1j+a2iA2j+aniAnj=0(i j).,定理 设n阶行列式D=|aij|,则,注:克罗内克(Kronecker)记号,按行展开,按列展开,第二章 矩阵,2.2 矩阵的基本运算,三.方阵行列式的应用,设A=aijnn为方阵,元素aij的代数余子 式为Aij,则称如下矩阵,为方阵A的伴随矩阵.,1.伴随矩阵,注意：与A相比，A*元素的行标对应A的元素列标，A*元素的列标对应A元素的行标,第二章 矩阵,2.2 矩阵的基本运算,第二章 矩阵,2.2 矩阵的基本运算,解:,A11=d,A21=b,A12=c,A22=a.,第二章 矩阵,2.2 矩阵的基本运算,例9 设A为方阵,A*为其伴随矩阵.证明:AA*=A*A=|A|E.,证明:,AA*=,问题：|AA*|=|A*A|=|A|成立否？,四.共轭矩阵,第二章 矩阵,2.2 矩阵的基本运算,称为A的共轭矩阵。,共轭矩阵的运算规律：,本节作业：,习题3，4，8，9,第二章 矩阵,2.3 方阵的逆矩阵,2.3 方阵的逆矩阵,上式表示由n个变量x1,x2,xn到变量y1,y2,ym的关系式称为变量x1,x2,xn到变量y1,y2,ym的线性变换。,将上面的线性变换写成矩阵形式,Y=AX,其中A为系数矩阵，X,Y可分别记为,第二章 矩阵,2.3 方阵的逆矩阵,回忆一下本章例9（课本P43页）,第二章 矩阵,2.3 方阵的逆矩阵,我们前面的问题：如何从Y=AX得到YX的表示式X=BY,例9 设A为方阵,A*为其伴随矩阵.证明:AA*=A*A=|A|E.,受例9启发，给A*A=|A|E两端右乘X，可得,A*AX=|A|EX=|A|X,（其中|A|0）,第二章 矩阵,2.3 方阵的逆矩阵,若将X=BY代入Y=AX 可得,Y=A(BY)=(AB)Y,显然，上式说明AB是恒等变换矩阵，因此,AB=E,同样，将Y=AX 代入 X=BY可得,X=B(AX)=(BA)X,显然，BA也是恒等变换矩阵，即BA=E,故，若X=BY是线性变换Y=AX的逆变换，则系数矩阵A，B满足AB=BA=E,第二章 矩阵,2.3 方阵的逆矩阵,一.逆矩阵的概念,1.定义:设A为方阵,若存在方阵B,使得 AB=BA=E.则称A可逆,并称B为A的逆矩阵.2.逆矩阵的唯一性,事实上,若AB=BA=E,AC=CA=E,则B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.今后我们把可逆矩阵A的逆矩阵记为A1，即若AB=BA=E，则B=A1,定理1.设方阵A可逆,则其逆矩阵是唯一的.,第二章 矩阵,2.3 方阵的逆矩阵,定理2.若方阵A可逆,则|A|0.,其中A*是矩阵A的伴随矩阵,定理3.若|A|0，则方阵A可逆,且,由定理2，3可知,推论：A，B是n阶方阵，若AB=E，则B=A-1,第二章 矩阵,3.逆矩阵的运算性质,设A,B为同阶可逆方阵,数k 0.则,(1)(A1)1=A.,(2)(AT)1=(A1)T.,(3)(kA)1=k1A1.,(4)(AB)1=B1A1.,2.3 方阵的逆矩阵,第二章 矩阵,2.3 方阵的逆矩阵,解：,由定理三可得,这样的求逆阵方式太麻烦！,第二章 矩阵,2.3 方阵的逆矩阵,例11：已知AXB=C,求X。其中,解：,思路：借鉴代数中求解未知数的方法，但是要注意矩阵运算时与代数运算的不同之处。,由于|A|=2，|B|=1，矩阵A，B的逆阵存在。则可以分别给AXB=C两端左乘A-1，右乘B-1：,A-1AXBB-1=A-1CB-1,矩阵乘法的结合律,提醒：矩阵乘法没有交换律,第二章 矩阵,2.3 方阵的逆矩阵,例12：已知A满足A2-5A+4E=O,求证A-3E可逆。,解：,思路：借鉴代数中因式分解的方法，求得A-3E的表达式（同样要注意矩阵运算时与代数运算的不同之处）。,对已知方程进行因式分解：,(A-3E)(A-2E)-2E=O,(A-3E)(A-2E)=2E,|(A-3E)(A-2E)|=|(A-3E)|(A-2E)|=2n,显然：|(A-3E)|0，|(A-2E)|0,即：A-3E和A-2E的逆矩阵存在，其中,(A-3E)-1=(A-2E)/2,第二章 矩阵,2.3 方阵的逆矩阵,例13：已知,解：,思路：先求A,写出An的表达式,再观察有无简单的计算方法。,给AP=P右乘P-1可得,A=PP-1,故A2=(PP-1)(PP-1)=P2P-1,同样：可用数学归纳法证明,AP=P。求An,因|P|0，故P-1存在。,进一步给出A3=P3P-1,借用数学归纳法可证得：An=PnP-1,则An易得。,第二章 矩阵,四.方阵的多项式,设A为一个方阵,f(x)为x的一个多项式,称之为方阵A的m次多项式.,f(x)=asxs+as1xs1+a1x+a0,规定,f(A)=amAm+am1Am1+a1A+a0E,注意：由于矩阵Ak、E均是可交换的，因此矩阵A的不同多项式是可交换的。,2.3 方阵的逆矩阵,这说明：A的多项式可以像代数中x的多项式那样进行因式分解。（例12就是一个例子）,即 f(A)q(A)=q(A)f(A),第二章 矩阵,2.3 方阵的逆矩阵,例12：已知A满足A2-5A+4E=O,求证A-3E可逆。,解：,思路：借鉴代数中因式分解的方法，求得A-3E的表达式（同样要注意矩阵运算时与代数运算的不同之处）。,对已知方程进行因式分解：,(A-3E)(A-2E)-2E=O,(A-3E)(A-2E)=2E,|(A-3E)(A-2E)|=|(A-3E)|(A-2E)|=2n,显然：|(A-3E)|0，|(A-2E)|0,即：A-3E和A-2E的逆矩阵存在，其中,(A-3E)-1=(A-2E)/2,第二章 矩阵,2.4 分块矩阵,一.基本概念,2.4 分块矩阵,1 0 0 1 2 0 1 0 4 50 0 1 7 63 2 1 0 06 5 4 0 0,分块矩阵的概念：如果将矩阵用若干条横线和纵线分割成许多小矩阵，则每一个小块都可构成一个矩阵（称之为原矩阵的子块），以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。,特点：同行上的子矩阵有相同的“行数”；同列上的子矩阵有相同的“列数”,第二章 矩阵,2.4 分块矩阵,A=A1,A2,An,（每个子块都是列向量）,二.常用的分块法,1.设A为mn矩阵,记Aj为A的第j列,i为A 的第i行(j=1,n,i=1,m),则有如下两种简单、重要的分块方法,第二章 矩阵,2.4 分块矩阵,设A为n阶矩阵,若A的分块矩阵只有主对角线上有非零子块,其余子块都为零矩阵,且非零子块都是方阵,即,其中A1,A2,As都是方阵,则称A为分块对角矩阵(或准对角矩阵).例如,2.分块对角矩阵（对一些特殊的矩阵适用）,第二章 矩阵,2.4 分块矩阵,第二章 矩阵,2.4 分块矩阵,三.基本运算（与普通矩阵的运算规则相类似）,分块加法,其中Aij与Bij是同型的“小”矩阵（即行、列数分别相同）.,则A+B可看成是分块矩阵的和。,设矩阵A与B是同型的,采用相同的分块 法分别将A与B分块如下,2.分块数乘,第二章 矩阵,2.4 分块矩阵,3.分块乘法,设A为ml矩阵,B为l n矩阵,将它们分块如下,其中Ai1,Ai2,Ait的列数分别与B1j,B2j,Btj的 行数相等.,(i=1,2,s;j=1,2,r.),第二章 矩阵,2.4 分块矩阵,注意与矩阵乘法相类比,在将小块矩阵当作“数”来做分块乘法时，必须注意相乘因子的先后顺序,解:,于是AB=,第二章 矩阵,2.4 分块矩阵,第二章 矩阵,2.4 分块矩阵,下面我们分别来计算每个子块,第二章 矩阵,2.4 分块矩阵,如果应用第一种分块方法（按行、列分块），将矩阵Ams、Bsn分别分块为,则,请自己结合课本例16领悟矩阵乘法的意义！,这里请注意：ai，bj均为s阶向量。,用分块矩阵乘法理解矩阵乘法的意义,第二章 矩阵,2.4 分块矩阵,分块矩阵乘法的应用对角阵与矩阵相乘,这里ai表示列向量,设矩阵A=,A11 A12 A1r A21 A22 A2r As1 As2 Asr,4.分块转置,第二章 矩阵,2.4 分块矩阵,特点：“大转”+“小转”,5.分块对角阵的行列式,第二章 矩阵,2.4 分块矩阵,则|A|=|A1|A2|As|。即,Ai都是方阵。称这样的矩阵为分块对角矩阵。,6.用分块矩阵表示线性方程组,第二章 矩阵,2.4 分块矩阵,对于线性方程组,第二章 矩阵,2.4 分块矩阵,若记,则线性方程组可表示为,或,线性方程组的两种分块记法,第二章 矩阵,2.4 分块矩阵,例：已知,，求A-1,解：,思路：利用分块对角矩阵的性质5求逆，该方法对高阶矩阵更适用,将矩阵A分块为对角矩阵,易判断|A1|0，|A2|0，故A可逆。根据分块对角阵性质5可得,可以体会一下如果A是一个阶数很高的矩阵，如果用逆阵定义直接计算每个伴随阵难度很大，若能化为分块对角矩阵，则计算量大大减小。这种求逆方法的局限性很大，因此我们需要更简单的求逆矩阵的方法。,第二章 矩阵,2.4 分块矩阵,则有,运用分块矩阵乘法,解子矩阵方程组（注意矩阵运算与代数运算的不同），得,思路：先假设逆阵的形式，利用矩阵和逆阵的关系得出逆阵各子块的表达式后求解。,解,思考：为什么能由AX=O得到X=O,第二章 矩阵,2.4 分块矩阵,实质上，如果将矩阵的每一个元素都看作是一行一列的小矩阵，则矩阵的运算法则与分块矩阵的运算法则完全相同。这也就告诉我们，完全可以类比着学习分块矩阵的运算法则。与矩阵运算法则不同的是：分块矩阵运算要求所有对应的子块的元素的行数、列数分别相同，这也是两者的唯一区别。,分块矩阵小结：,本章作业：,习题11（3）（4），12（2）（3），13（1），15，16，20，24，26，29（1），30（2）,