利用空间向量解立体几何 完整版.docx
向量法解立体几何立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它 主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题， 它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角 等。基本思路与方法一、基本工具1. 数量积：a-b = |a|b|cos92. 射影公式：向量a在b上的射影为a±b3. 直线A"By + C = 0的法向量为(A,B)，方向向量为(-B,A)4. 平面的法向量(略)二、用向量法解空间位置关系1. 平行关系线线平行°两线的方向向量平行线面平行°线的方向向量与面的法向量垂直面面平行°两面的法向量平行2. 垂直关系线线垂直(共面与异面)°两线的方向向量垂直线面垂直°线与面的法向量平行面面垂直°两面的法向量垂直三、用向量法解空间距离1. 点点距离点 P (x , y , z )与 Q (x , y , z )的 111222距离为 |PQ| =J(x - x )2 + (y - y )2 + (z - z )22121212. 点线距离求点P (x , y )到直线/: Ax + By + C = 0的距离：方法：在直线上取一点q (x, y ),则向量PQ在法向量n = (A,B)上的射影1PQ H = A% + B* + CnA2 + B 2即为点P到l的距离.3. 点面距离求点P(x0,y0)到平面a的距离：方法：在平面a上去一点Q(x,y)，得向量PQ，计算平面a的法向量n，计算pq在a上的射影，即为点p到面a的距离.四、用向量法解空间角1. 线线夹角(共面与异面)线线夹角o两线的方向向量的夹角或夹角的补角2. 线面夹角求线面夹角的步骤： 先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角； 再求其余角，即是线面的夹角.3. 面面夹角(二面角)若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.实例分析一、运用法向量求空间角向量法求空间两条异面直线a, b所成角e,只要在两条异面直线 a, b上各任取一个向量AA和BB'，则角 AT,旅=e或n-e，因为e是锐角，所以cose = 竺'竺,不需要用法向量。|aa -阴1、运用法向量求直线和平面所成角设平面a的法向量为n =(X, y, 1)，则直线AB和平面a所成的角e的正弦值为sin0 = cos( - e ) = |cos AB, n 1 = 2ab nab n2、运用法向量求二面角设二面角的两个面的法向量为n, n,则 n, n 或”- n, n 是所求 121212角。这时要借助图形来判断所求角为锐角还是钝角，来决定 匚,匚 是所求，还是n- ,匚 是所求角。二、运用法向量求空间距离1、求两条异面直线间的距离设异面直线a、b的公共法向量为n = (x,y,z), 在a、b上任取一点A、B,则异面直线a、b的距d =AB cosZBAA'= 1 化.汩I n I略证：如图，EF为a、b的公垂线段，a'为过F与a平行的直 线，在a、b上任取一点A、B，过A作AA' = EF，交a'于A'，则茶"n，所以NBAA'=< ba, n > （或其补角）.异面直线 a、b 的距离 d =AB cosZBAA'= 1AB n|*I n I其中，n的坐标可利用a、b上的任一向量缶b （或图中的AE, BF），及n的定义得<n 1 anE a=0解方程组可得n。n 1 bn b = 02、求点到面的距离求A点到平面a的距离，设平面a的法向量法为n = 3,y,1），在a 内任取一点B，则A点到平面a的距离为d=1AB n|，n的坐标由n与 I n I平面a内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组（类似于前面所 述，若方程组无解，则法向量与XOY平面平行，此时可改设n = （1,y,0）， 下同）。3、求直线到与直线平行的平面的距离求直线a到平面a的距离，设平面a的法向量法为n = 3,y,1），在 直线a上任取一点A，在平面a内任取一点B，则直线a到平面a的4、求两平行平面的距离设两个平行设平面a、6的公共法向量法为n = 3,1),在平面a、6内各任取一点A、B,则平面a到平面6的距离d = 1恍n 1I n I三、证明线面、面面的平行、垂直关系设平面外的直线a和平面a、6,两个面a、6的法向量为n, n , 则a/a = a ± na 1a = a/na / P = n / naP = n ± n212四、应用举例：例1：如右下图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB= 4, AD =3,FB=1.AA1= 2. E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=(1)求二面角CDEC1的正切值;(2)求直线EC1与FD1所成的余弦值.解：(I)以A为原点，密AD,AA分别为x轴，y 建立空间直角坐标系，1则 D(0,3,0)、D (0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1 (4,3,2)1于是，DE = (3,-3,0),EC = (1,3,2), FD = (-4,2,2)设法向量n = (x, y,2)与平面C1DE垂直，则有3 x - 3 y = 0r nx + 3 y + 2 z = 0 J轴，z轴的正向n ± DEn ± EC1J.向量AA = (0, 0, 2)与平面CDE垂直，与可所成的角6为二面角C - DE - £的平面角 n AA-1X 0 -1X 0 + 2 X 2n - (一1,一1,2),* cos6 = 1 a ,I n I x| AA I V1 +1 + 4 x<0 + 0 + 43,6应1.tan 6 2(II)设EC1与FD1所成角为B,贝EC FD1 x (-4) + 3 x 2 + 2 x 21_uI EC Ix I FD IJ12 + 32 + 22 x J(-4)2 + 22 + 22cos p =巨14例2：如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，NDAB=6Oo, PD±平面 ABCD, PD=AD,点 E 为AB中点，点F为PD中点。(1) 证明平面PED±平面PAB;(2) 求二面角P-AB-F的平面角的余弦值证明：(1).面ABCD是菱形，NDAB=60。，.ABD是等边三角形，又E是AB中点，连结BDAZEDB=3Oo,ZBDC=6Oo,AZEDC=9Oo,如图建立坐标系D-ECP，设AD=AB=1,则PF=FD= 1, ED3 , 22 P (0, 0, 1), E (皂,0, 0), B (里,1, 0)222 pb =(重,1 , -1), PE =(重,0, -1), 222平面PED的一个法向量为 D = (0, 1, 0)，设平面PAB的法向n 1 PB_ > - <n 1 PE(x,y ,1) Gy-,2,-1) = 0(x, y ,1) (M。, -1) = 00, 1). DC n =0 即 DC 上 n 二平面 PED± 平面 PAB1),设平面(2)解：由(1)知：平面PAB的法向量为n =(伐，0, v'3FAB的法向量为n 1= (x, y, -1),由(1)知：F (0, 0, 1), FB =2(2 , - , -), FE222-), 2由n1 1 FB n5 n1 1 FE(x, y,-1) (x, y,-1) ,2, - 2)=0,0,- 2)=0*11八x y +0222x + 二 022 n 1= (-土, 0, -1).二面角P-AB-F的平面角的余弦值 cos6= |cos< n , n 1>ln ni例3：在棱长为4的正方体ABCD-A BCD中，。是正方形ABCD的中11111111心，点P在棱CC上，且CC=4CP.11(I)求直线AP与平面BCCB所成的角的大小(结果用反三角函数值表11示）;(II) 设。点在平面DAP上的射影是H,求证：DH1AP;ii(III) 求点P到平面ABD的距离.i解：(I)如图建立坐标系D-ACD ,i棱长为4A (4, 0, 0), B (4, 4, 0), P (0, 4, 1). AP = (-4, 4, 1),显然De =(0, 4, 0)为平面BCCB的一个法向量 i i.直线AP与平面BCCiBi所成的角e的正弦值sine= |cos< AP ,反 >|二一 =冬 42 + 42 + 1 p 4233 e为锐角，.直线AP与平面BCCB所成的角e为arcsin刊丑i i33(III)设平面ABD的法向量为n = (x, y, i), i由n ±而，n ±耳得 n = (i, 0, i),y = 04 x + 4 = 0.点P到平面ABD的距离di3克 F福=（0, 4,。），而;=（-4,。，4）例4：在长、宽、高分别为2, 2, 3的长方体ABCD-AgCR中，O 是底面中心，求AO与BC的距离。 ii解：如图，建立坐标系 D-ACDi,则 O（i, i, 0）, Ai （2, 2, 3）,:.AO与BC的距离为iid = I AB n I1| n(0,2,0 ).(一3，3,1、k 2 23 _ 32211 - "IFE、F 分别是 B1C1、C1D1n 1 bdn i ben< 1x +1 = 02n例5:在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中， 的中点，求A1到面BDFE的距离。解：如图，建立坐标系 D-ACD1，则 B (1, 1, 0), A1 (1, 0, 1),E ( 1 ,1,1) .: BD = (1,1,0)BE = (-4,0,1)22AB = (0,1,-1) 1设面BDFE的法向量为n = 3,y,1)，则3, y ,1) (-1,-1,0) = 03, y ,1) (-1,0,1) = 0：. n=(2,-2,1).: A 到面 BDFE 的距离为d=1 AB n 1 = |(0,1,-1)(2,-21)=上包=111 n 1(22 + (-2»+13
