几何发展简史.docx

TYYGROUP system office room【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-论文：数学的发展简史作者：学号：班级：指导教师：日期：几何学发展简史几何，英文为Geometry，是由希腊文演变而来，其原意是土地测量。“依据很多的 实证，几何是埃及人创造的，并且产生于土地测量。由于尼罗河泛滥，经常冲毁界限，这 样测量变成了必要的工作。无可置疑的，这类科学和其它科学一样，都发生于人类的需 要。”（引自1）。明代徐光启（15621633）和天主教耶酥会传教士利玛窦（Matteo Ricci，15521610）翻译欧几里得的几何原本时将Geometry 一词译为几何学。几何学是研究形的科学，以视觉思维为主导，培养人的观察能力、空间想象能力与空 间洞察力。几何学最先发展起来的是欧几里得几何。到17世纪的文艺复兴时期，几何学 上第一个重要成果是法国数学家笛卡儿（R.descartes， 15961650）和费马（Fermat， 16011665）的解析几何。他们把代数方法应用于几何学，实现了数与形的相互结合与沟 通。随着透视画的出现，又诞生了一门全新的几何学一一射影几何学。到19世纪上半 叶，非欧几何诞生了。人们的思想得到很大的解放，各种非欧几何、微分几何、拓扑学都 相继诞生，几何学进入一个空前繁荣的时期。1从欧几里得几何到非欧几何欧几里得（Euclid，约公元前330275）的几何原本是一部划时代的着作，其伟 大的历史意义在于它是用公理方法建立起演绎体系的典范。公元7世纪以前的所谓几何 学，都只限于一些具体问题的解答，并且是十分粗糙的、零碎的、片段的和单凭经验的。 当积累起来的几何知识相当丰富时，把这一领域的材料系统地整理，并阐明它们的关系， 就显得十分必要了。由于几何学本来的对象是图形，研究它必然要借助与空间的直观性。 但是直观性也有不可靠的时候，因而在明确地规定了定义和公理的基础上，排除直观性， 建立合乎逻辑的几何学体系的思想在古希腊时代就已经开始。欧几里得就是在这种思想的 基础上，编着完成了他的几何原本。几何原本的第一卷是全书逻辑推理的基础，给出全书最初出现的23个定义，5条 公设，5条公理：定义（1）点没有部分。（2）线有长度，而没有宽度。（3）线的界限是点（注：几何原本中没有伸展到无穷的线）。（4）直线是同其中各点看齐的线。（5）面只有长度和宽度。（6）面的界限是线。（7）平面是与其上的直线看齐的面。（8）平面上的角是在一个平面上的两条相交直线的相互倾斜度。（9）当形成一角的两线是一直线时，这个角叫做平角。（10）（22）（略）（是关于直角、锐角、钝角、圆、三角形、四边形等的定义）。（23）平行直线是在同一个平面内，而且往两个方向无限延长后，在这两个方向上都 不会相交的直线。关于几何的基本规定的5条公设：（1）从每个点到每个其它的点必定可以引直线。（2）每条直线都可以无限延伸。（3）以任意点作中心，通过任何给定的点另一点，可以作一个圆。（4）所有的直角都相等。（5）同平面内如有一条直线与另两条直线相交，且在前一条直线的某一侧所交的两 内角之和小于两直角，则后两条直线无限延长后必在这一侧相交。关于量的基本规定的5条公理：（1）等于同量的量相等；（2）等量加等量，总量相等；（3）等量减等量，余量相等；（4）彼此重合的量是全等的；（5）整体大于部分。欧几里得在此基础上运用逻辑推理，导出了许许多多的命题（在几何原本中包含 了 465个命题），从而构成了欧几里得几何学。由前三个公设限定了用圆规和无刻度的直尺可以完成哪些作图，因此这两件仪器被称 为欧几里得工具，使用它们可以完成的作图称为欧几里得作图，即尺规作图。这种作图增 加了几何学的趣味性。人们花费大量的精力去解决古希腊的几何三大难题：（1）倍立方问题：求作一个立方体，使体积为已知立方体的二倍；（2）三等分角问题：三等分一个（任意的）已知角；（3）化圆为方问题：求作一个正方形，使其面积为已知圆的面积。尽管是徒劳的，但从各方面推动了数学的发展。将公设、公理分开是从亚里士多德开始的，现代数学将公设、公理都叫做公理。第五 条公设与“在平面内过已知直线外一点，只有一条直线与已知直线不相交（平行）”相等 价。现在把后一个命题叫做欧几里得平行公理。自几何原本问世以来，直到19世纪大半段以前，数学家一般都把欧几里得的着作 看成是严格性方面的典范，但也有少数数学家看出了其中的严重缺点，并设法纠正。首 先，欧几里得的定义不能成为一种数学定义，完全不是在逻辑意义下的定义，有的不过是 几何对象的直观描述（比如点，线，面等），有的含混不清。这些定义在后面的论证中根 本是无用的。其次，欧几里得的公设和公理是远不够的。因而在几何原本中许多命题 的证明不得不借助直观，或者无形中引用了欧几里得的5个公理之外的公设或公理的东 西。针对欧氏几何的上述缺陷，数学家们做了大量工作来弥补这些缺陷。到19世纪末，德 国数学家希尔伯特（D. Hilbert，18621943）于1899年发表了几何基础，书中成功 地建立了欧几里得几何的一套完整的公理系统。首先他提出了8个基本概念，其中三个是 基本对象：点、直线、面；5个是基本关系：点属于（或关联）直线，点属于（或关联） 平面，一点在两点之间，两线段合同，两角合同。这些基本概念应服从5组公理：关联公 理；顺序公理；合同公理；连续公理；平行公理。（参见2或3）。另外，人们注意到欧几里得平行公理是否与其它公理独立的问题，即平行公理可否能 用其它公理推导出来。虽然有很多学者(包括一些很有名的数学家)曾宣称已经证明平行 公理能用其它公理推导出来，但最后发现这些论证都是不正确的。于是从意大利数学家 Saccheri(1733)开始，人们就转而猜平行公理与其它公理是独立的，即它不能从其它公 理推导出来。罗巴切夫斯基(刀o6aueBCKuk,H.H.，17921856)和波尔约 (J，Bolyai， 18021860)分别在1829年和1832年独立地用平行公理的反命题，即用 “过给定直线外一点，存在着至少两条直线与给定的直线不相交”来代替欧几里得平行公 理，并由这套新的体系演绎出一套与欧几里得几何迥然不同的命题，但并没有导致任何的 矛盾，非欧几何就这样产生了。但是要人们真正信服这种纯理性的几何体系，还是应该将 这种“虚”的几何学真正地构造出来，即提供这种“虚”几何的现实模型。19世纪70年 代，德国数学家克莱因(F. Klein， 18491925)提出了 Klein模型，庞加莱(J. H. Poincare， 18541912)提出了上半平面Poincare模型。这些模型都能将非欧 几何学在人们已经习惯的欧氏空间中实现出来。这样的非欧几何叫做双曲几何。(1) 两个不同的点至少确定一条直线；(2) 直线是无界的；(3) 平面上任何两条都相交。就可得到一种相容的几何学，称为黎曼的非欧几何(椭圆几何)。这样的几何可以在球面 上实现。由于罗巴切夫斯基和黎曼的非欧几何的发现，几何学从传统的束缚中解放出来了，从 而为大批新的、有趣的几何的发展开辟了广阔的道路，并有广泛的应用，如：在爱因斯坦 发现的广义相对论中，用到黎曼几何；由1947年对视空间(从正常的有双目视觉的人心 理上看到的空间)所作的研究得出结论：这样的空间最好用罗巴切夫斯基的双曲几何来描 述。如果实数系是相容的，则可以证明以上几种几何的公理系统都是各自相容的、独立 的，但都不是完全的。然而奥地利数学家哥德尔(K. Godel, 19061978)证明了 “对于 包含自然数系的任何相容的形式体系F，存在F中的不可判定命题。”及“对于包含自然 数系的任何相容的形式体系F，F的相容性不能在F中被证明。”因而想证明数学的内部 相容性问题也就无望了。2解析几何的诞生欧氏几何是一种度量几何，研究的是与长度和角度有关的量的学科。它的方法是综合 的，没有代数的介入，为解析几何的发展留下了余地。解析几何的诞生是数学史上的一个伟大的里程碑。它的创始人是17世纪的法国数学家 笛卡儿和费马。他们都对欧氏几何的局限性表示不满：古代的几何过于抽象，过多地依赖 于图形。他们对代数也提出了批评，因为代数过于受法则和公式的约束，缺乏直观，无益 于发展思想的艺术。同时，他们认识到几何学提供了有关真实世界的知识和真理，而代数 学能用来对抽象的未知量进行推理，是一门潜在的方法科学。因此，把代数学和几何学中 的精华结合起来，取长补短，一门新的学科一一解析几何诞生了。解析几何的基本思想是用代数方法研究几何学，从而把空间的论证推进到可以进行计 算的数量层面。对空间的几何结构代数化，用一个基本几何量和它的运算来描述空间的结 构，这个基本几何量就是向量，基本运算是指向量的加、减、数乘、内积和外积。向量的 运算就是基本几何性质的代数化。将几何对象数量化需要一座桥，那就是“坐标”。在平面上引进所谓“坐标”的概 念，并借助这座桥，在平面上的点和有序实数对(x,y)之间建立一一对应的关系。每一对 实数(x,y)都对应于平面上的一个点；反之，每一个点都对应于它的坐标(x,y)。以这种 方式可以将一个代数方程f（x, y）=0与平面上一条曲线对应起来，于是几何问题便可归结 为代数问题，并反过来通过代数问题的研究发现新的几何结果。借助坐标来确定点的位置的思想古来有之，古希腊的阿波罗尼奥斯（Apollonius of Perga,约公元前262190）关于圆锥曲线性质的推导；阿拉伯人通过圆锥曲线交点求解三 次方程的研究，都蕴涵着这种思想。解析几何最重要的前驱是法国数学家奥雷斯姆,1323-1382），他在论形态幅度这部着作中提出的形态幅度原理（或称图线原理），甚至 接触到函数的图像表示，在此，他借用了“经度”、“纬度”这两个地理学术语来描述他 的图线，相当于横坐标和纵坐标。到了 16世纪，对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题。这就迫切地需要一种 新的数学工具，导致了变量数学即近代数学的诞生。笛卡儿1637年发表了着名的哲学着 作更好地指导推理与寻求科学真理的方法论，该书有三个附录：几何学、折光 学和气象学，解析几何的发明包含在几何学这篇附录中。笛卡儿的出发点是一个着名的希腊数学问题一一帕普斯问题：费马和笛卡儿研究解析几何的方法是大相径庭的，表达形式也截然不同：费马主要继 承了希腊人的思想。尽管他的工作比较全面系统，正确地叙述了解析几何的基本思想，但 他的研究主要是完善了阿波罗尼奥斯的工作，因此古典色彩很浓，并且沿用了韦达以字母 代表数类的思想，这就要求读者对韦达的代数知识了解甚多。而笛卡儿则是从批判希腊的 传统出发，决然同这种传统决裂，走的是革新古代方法的道路。他的方法更具一般性，也 适用于更广泛的超越曲线。费马是从方程出发来研究它的轨迹；而笛卡儿则从轨迹出发建 立它的方程。这正是解析几何中一个问题的正反两个方面的提法。但各有侧重，前者是从 代数到几何，而后者是从几何到代数。从历史的发展来看，后者更具有突破性（见 5）。解析几何解决的主要问题是（见6）：（1）通过计算解决作图问题。例如，分线段成已知比例。（2）求具有某种几何性质的曲线或曲面的方程。（3）用代数方法证明新的几何定理。（4）用几何方法解代数方程。例如，用抛物线与圆的交点解三次和四次代数方程。解析几何的诞生具有以下的伟大意义（见6）：（1）数学的研究方向发生了一次重大转折：古代以几何为主导的数学转为以代数和分 析为主导的数学。（2）以常量为主导的数学转变为以变量为主导的数学，为微积分的诞生奠定了基础。（3）使代数和几何融合为一体，实现了几何图形的数量化。（4）代数的几何化和几何的代数化，使人类摆脱了现实的束缚，带来了认识新空间的 需要，帮助人类从现实世界进入虚拟世界：从3维空间进入到更高维的空间。3十八、十九世纪的几何对于几何学，十八世纪数学家们着眼于分析方法的应用，及与此相联系的坐标几何的发展。虽然早先 已有部分结果，但形成为独立的学科主要是在十八世纪。伯努利兄弟以及欧拉、拉格朗日等在确定平面曲线曲率、拐点、渐伸线、渐屈线、测地线及曲线簇包 络等方面做出许多贡献；蒙日自1771年起发表的一系列工作，则使微分几何在十八世纪的发展臻于高 峰。解析几何的基本课题是对称的坐标轴概念、平面曲线的系统研究等。帕伦于1705年、1713年将解析几 何推广至三维情形，该项工作被克莱罗所继续。解析几何突破了笛卡儿以来作为求解几何难题的代数 技巧的界限。对综合几何的兴趣直到十八世纪末才被重新唤起，这主要归功于蒙日的画法几何学。蒙日指出画 法几何只是投影几何的一个方面，这促进了更一般的投影几何学与几何变换理论的发展。投影几何在 十九世纪整整活跃了一个世纪，而几何变换则已成为现代几何学的基本概念。十九世纪是数学史上创造精神和严格精神高度发扬的时代。复变函数论的创立和数学分析的严格 化，非欧几何的问世和射影几何的完善，群论和非交换代数的诞生，是这一世纪典型的数学成就。它 们所蕴含的新思想，深刻地影响着二十世纪的数学。十九世纪最富革命性的创造当属非欧几何。自古希腊时代始，欧氏几何一直被认为是客观物质空间惟 一正确的理想模型，是严格推理的典范。16世纪后的数学家在论证代数或分析结果的合理性时，都试 图归之为欧氏几何问题。但欧氏几何的平行公设曾引起数学家的持久的关注，以弄清它和其他公理、公设的关系。这个烦扰了 数学家千百年的问题，终于被高斯、罗巴切夫斯基和波尔约各自独立解决。高斯在1816年已认识到平 行公设不可能在欧氏几何其他公理、公设的基础上证明，得到在逻辑上相容的非欧几何，其中平行公 设不成立，但由于担心受人指责而未发表。1825年左右，波尔约和罗巴切夫斯基分别得到同样的结果，并推演了这种新几何中的一些定理。罗巴 切夫斯基1829年的文章论几何基础是最早发表的非欧几何着作，因此这种几何也称为罗巴切夫斯 基几何。这项发现的技术细节是简单的，但观念的变革是深刻的，欧氏几何不再是神圣的，数学家步 入了创造新几何的时代。非欧几何对人们认识物质世界的空间形式提供了有力武器，但由于它背叛传统，创立之初未受到数学 界的重视。只是当高斯有关非欧几何的通信和笔记在他1855年去世后出版时，才因高斯的名望而引起 数学家们的关注。十九世纪前半叶最热门的几何课题是射影几何。1822年，彭赛列发表论图形的射影性质，这是他 18131814年被俘关在俄国时开始研究的总结。他探讨几何图形在任一投影下所有截影共有的性质， 他的方法具有象解析几何那样的普遍性。1827年左右，普吕克等人引进齐次坐标，用代数方法研究射 影性质，丰富了射影几何的内容。对纯几何问题兴趣的增长，并未减弱分析在几何中的应用。高斯从1816年起参与大地测量和地图 绘制工作，引起他对微分几何的兴趣。1827年他发表的关于曲面的一般研究，为这一数学分支注 入了全新的思想，开创了微分几何的现代研究。参考书目1 KoctuhB.H.，几何学基础，苏步青译，商务印书馆，19562 沈纯理等，经典几何，科学出版社，20043 郑崇友等，几何学引论（第二版），高等教育出版社，20054 李文林，数学史概论（第二版），高等教育出版社，20025 吴文俊主编，世界着名数学家传记，科学出版社，20036 张顺艳，数学的美与理，北京大学出版社，2004