函数及函数的合成.ppt
第6章 函数,基础上讨论无限集和基数。,函数、映射等术语是同义词，,函数概念是基本的数学概念之一,也是最重要的数学工具。,本章把函数看作一种特殊的关系,对其进行讨论,扼要的介绍函数的,基本概念和性质,并在函数概念的,6.1 函数及函数的合成,6.1.1 函数的基本概念,定义 设X和Y是集合，,如果f是X到Y的关系,且对每一个xX，,都有唯一的yY，使得f,则称关系f 为函数，记作,如果f，则x称为自变量，,y称为在f作用下x的像(或f在x处的,函数值)。,一般用y=f(x)表示f。,例 设X=a,b,c,张三，,Y=1,2,5,4,李四，,f=,则f是从X到Y的函数。,函数f的定义域Dom(f)=X,函数f的值域Ran(f)=1,2,李四,5,f(a)=1,f(b)=李四,f(c)=5,f(张三)=2,由定义可以看出，,函数是特殊的关系，,它与关系的区别：,函数的定义域必须等于X，,而关系的定义域可以是X的某个,真子集。,函数中一个x只能对应一个y，,而关系中一个x可对应多个不同y,所以，函数一定是关系，,但关系不一定是函数。,例 判断以下各关系f是否为函数?,(1)X=1,2,3,4,5，Y=a,b,c,d,e,f=,(2)X=1,2,3,4,5，Y=a,b,c,d,e,f=,(3)X=1,2,3,4,5，Y=a,b,c,d,e,f=,(4)f=|x,yN且x+y10,(5)f=|x,yR且y2=x,(6)X,Y为实数集，f=x2-x,(7)X,Y为实数集，,解：根据函数定义判断，(1),(6),(7)中 f是函数；,其余不是函数.,定义 设函数,如果,且对于所有,有,，则称函数f和g相等,记作,例 设A,B都是有限集,|A|=m,|B|=n,则从A到B共有多少种不同的关系?,多少种不同的函数？,解：,，则,有,种子集，所以A到B就有,种不,同关系。,因为从A到B的任一函数f，,其定义域为A,故f中应有m个序偶;,对于任意xA，可以对应Y的n个,元素中的任一个。,因此从A到B共有,个不同函数。,例 设A是有限集,|A|=3，则,(1)A到A可定义不同的函数个数为,33种。,(2)AA到A可定义不同的函数个,数为39 种。,定义 设A,B为集合，,所有从A到B的函数构成集合BA，,读作“B上A”。即,例 设A=a,b,c，B=0,1，求BA。,解：从A到B共有23=8个不同函数,故BA=f1,f2,f3,f4,f5,f6,f7,f8，,其中,f1=,f2=,f3=,f4=,f5=,f6=,f7=,f8=,6.1.2 特殊函数,定义 设函数,(1)对任意x1,x2X,当x1x2时,必有f(x1)f(x2)，,或者f(x1)f(x2)时必有x1x2，,则称f是单射的(一对一映射)。,(2)对任意yY,均有xX,使,y=f(x)，即Ran(f)=Y，,则称f是满射的。,(3)若f既是单射又是满射，,则称f是双射的(一一对应映射)。,例 设有函数,判断f是单射、满射还是双射？,(1)X=a,b,c,d,Y=1,2,3,4，,f=,(2)X=a,b,c,d,Y=1,2,3,4，,f=,(3)X=a,b,c,Y=1,2,3,4，,f=,(4)X=a,b,c,d,Y=1,2,3，,f=,(5)X=a,b,c,d,Y=1,2,3,4，,f=,解：,(1)是双射；,(2)因为函数定义域不是X，,故f不是函数；,(3)f是单射而不是满射；,(4)f是满射而不是单射；,(5)f是函数，但既不是单射也不,是满射。,定义 设有函数,如果存在某个y0Y，,对于每个xX都有f(x)=y0，,则f称为常值函数。,定义 设有函数,如果对于每个xX都有IX(x)=x，,即IX=|xX，,则IX称为恒等函数。,例 设有函数,判断f是常值函数还是恒等函数？,(1)X=a,b,c,d,Y=1,2,3,4，,f=,(2)X=a,b,c,d,Y=1,2,3,4，,f=,(3)X=a,b,c,d,Y=1,2,3,4，,f=,解：,(1)不是常值函数，不是恒等函数,(2)常值函数,(3)恒等函数,6.1.3 逆函数,一般说，一个关系的逆关系总是,存在的，但是一个函数的逆函数,未必总是存在的,下面的定理说明,一个函数存在逆函数的充分必要,条件。,定理 设,是一双射函数，,则其逆关系f 1为从Y到X的双射,函数。,证明：因为f是满射，,所以对每一个yY，,均有xX使得f(x)=y，,从而f 1，,则表明f1的定义域为Y。,又f是单射,所以对每一个yY，,恰有一个xX使得f(x)=y，,即仅有一个xX使得f1,即y对应唯一的x。,综上两点逆关系f1是函数。,再证f1是双射。,因为Dom(f1)=Ran(f)=Y，,所以f1是满射函数。,反证法证明f1是单射。,假设y1y2时有f1(y1)f1(y2)。,因为f1(y1)x1,f1(y2)x2，,所以x1x2,根据f是双射，,应有f(x1)f(x2)，则y1y2，,与已知矛盾，假设不成立，,所以f1是单射.综上f1是双射。,定义 设,是一双射函数，,则称其逆关系f1为f的逆函数，,并称f是可逆的。,例 设X=a,b,c,d,Y=1,2,3,4，,f=,g=,判断f,g是否可逆，,若可逆则求其逆函数。,解：,f是可逆,f1=,g不可逆,显然，若,是可逆函数，,则(f1)1=f,6.1.4 复合函数,定义 设,是两个函数，则称其复合关系,为复合函数，记作,注意：复合函数的写法,相当于复合关系,根据复合函数定义有,函数f和g复合的示意图如下：,例 设X=a,b,c,d,Y=1,2,3,4,Z=a,b,c，并有,f=,g=,，,求复合函数,解：,=,函数与自己复合运算时，,即是函数的幂运算。,函数幂运算遵循以下规则：,f 0(x)x，即f 0IX,f n+1(x)f(f n(x)f n(f(x),定理 设,是两个函数，那么,(1)若f,g均是满射，则,gf也是满射,(2)若f,g均是单射，则,gf也是单射,(3)若f,g均是双射，则,gf也是双射,定理 设,是函数，,且IX是X上的恒等函数，IY是Y上,的恒等函数，则有,定理 设,是两个一一对应函数函数，则,证明：令z为Z集合的任意元素，,因g是双射,故必存在唯一元素,yY使得g(y)=z，又f也是双射,故必存在唯一元素xX使f(x)=y,因此 g 1(z)=y,f 1(y)=x，则有,有,则有,因此,例 设A=-2,-1,0,B=-2,-1,0,1,2,C=0,1,2,3,4,且函数f:AB,y=f(x)=x2-2,函数g:B C,z=g(y)=y2,试求复合函数gof(x)及各函数值。,解：由复合函数定义可得,gof(x)=g(f(x)=(x2-2)2,故gof(-2)=(4-2)2=4,故gof(-1)=(1-2)2=1,故gof(0)=(0-2)2=4,例 设X=0,1,2,在XX中找出满足,下列条件的函数,(1)f2(x)=f(x),(2)f2(x)=x,(3)f3(x)=x,解：由复合函数定义可得,(1)f2(x)=f(x),f2(x)=f(f(x)=f(x)=f(y)=y,即f(x)=x,故f=(0,0),(1,1),(2,2),(2)f2(x)=x,因为 f2(0)=0,f2(1)=1,f2(2)=2,故令 f(0)=2,f(1)=1,f(2)=0,故f=(0,2),(1,1),(2,0),(3)f3(x)=x,因为 f3(0)=0,f3(1)=1,f3(2)=2,故令 f(0)=1,f(1)=2,f(2)=0,故f=(0,1),(1,2),(2,0),设 f:RZ，f(x)=x称为底函数，,表示小于或等于x的最大整数。,设 f:RZ，f(x)=x称为顶函数，,表示大于或等于x的最小整数。,例如,3.1=4,0.5=1,0.5=0,-0.5=-1,3.1=3,例 存在计算机磁盘上的数据或数,据网络上传输的数据通常表示为字,节串。每个字节由8个字位组成，,要表示100字位数据需要多少字节,解：要决定需要的字节数，就要,找出这样的最小整数:它至少要与,100除以8的商一样大，8是每个字,节的字位数。故需要字节数为,1008=12.8=13,例 设A,B是集合，,求,A到B可定义多少个单射函数？,B到A可定义多少个满射函数？,B到B可定义多少个双射函数？,解,A到B可定义单射函数个数为,B到A可定义满射函数个数为,B到B可定义双射函数个数为,例 设f是A到B的函数，,g是B到C的函数，,gof是A到C的复合函数，,则,gof是单射函数时，f必须是单射,gof是满射函数时，g必须是满射,gof是双射函数时，f必须是单射,g必须是满射,
