《高等数学》(同济六版)教学课件★第2章.导数与微分.ppt

第二章,微积分学的创始人:,德国数学家 Leibniz,微分学,导数,描述函数变化快慢,微分,描述函数变化程度,都是描述物质运动的工具,(从微观上研究函数),导数与微分,导数思想最早由法国,数学家 Ferma 在研究,极值问题中提出.,英国数学家 Newton,一、引例,二、导数的定义,三、导数的几何意义,四、函数的可导性与连续性的关系,五、单侧导数,第一节,导数的概念,第二章,一、引例,1.变速直线运动的速度,设描述质点运动位置的函数为,则 到 的平均速度为,而在 时刻的瞬时速度为,自由落体运动,2.曲线的切线斜率,曲线,在 M 点处的切线,割线 M N 的极限位置 M T,(当 时),割线 M N 的斜率,切线 MT 的斜率,两个问题的共性:,瞬时速度,切线斜率,所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.,类似问题还有:,加速度,角速度,线密度,电流强度,是速度增量与时间增量之比的极限,是转角增量与时间增量之比的极限,是质量增量与长度增量之比的极限,是电量增量与时间增量之比的极限,变化率问题,二、导数的定义,定义1.设函数,在点,存在,并称此极限为,记作:,即,则称函数,若,的某邻域内有定义,运动质点的位置函数,在 时刻的瞬时速度,曲线,在 M 点处的切线斜率,不存在,就说函数在点 不可导.,若,也称,在,若函数在开区间 I 内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.,记作:,注意:,就称函数在 I 内可导.,的导数为无穷大.,若极限,例1.求函数,(C 为常数)的导数.,解:,即,例2.求函数,解:,说明：,对一般幂函数,(为常数),例如，,（以后将证明）,例3.求函数,的导数.,解:,则,即,类似可证得,例4.求函数,的导数.,解:,即,原式,是否可按下述方法作:,例5.证明函数,在 x=0 不可导.,证:,不存在,例6.设,存在,求极限,解:原式,三、导数的几何意义,若,曲线过,上升;,若,曲线过,下降;,若,切线与 x 轴平行,称为驻点;,若,切线与 x 轴垂直.,切线方程:,法线方程:,例7.问曲线,哪一点有铅直切线?哪一点处,的切线与直线,平行?写出其切线方程.,解:,令,得,对应,则在点(1,1),(1,1)处与直线,平行的切线方程分别为,即,故在原点(0,0)有铅直切线,四、函数的可导性与连续性的关系,定理1.,证:,设,在点 x 处可导,存在,因此必有,其中,故,所以函数,在点 x 连续.,注意:函数在点 x 连续，但在该点未必可导.,反例:,在 x=0 处连续,但不可导.,即,在点,的某个右 邻域内,五、单侧导数,若极限,则称此极限值为,在 处的右 导数,记作,即,(左),(左),例如,在 x=0 处有,定义2.设函数,有定义,存在,定理2.函数,在点,且,存在,简写为,定理3.函数,(左),(左),若函数,与,都存在,则称,显然:,在闭区间 a,b 上可导,在开区间 内可导,在闭区间 上可导.,可导的充分必要条件,是,且,内容小结,1.导数的实质:,3.导数的几何意义:,4.可导必连续,但连续不一定可导;,5.已学求导公式:,6.判断可导性,不连续,一定不可导.,直接用导数定义;,看左右导数是否存在且相等.,2.,增量比的极限;,切线的斜率;,思考与练习,1.函数 在某点 处的导数,区别:,是函数,是数值;,联系:,注意:,有什么区别与联系?,？,与导函数,2.设,存在,则,3.已知,则,4.若,时,恒有,问,是否在,可导?,解:由题设,由夹逼准则,故,在,可导,且,5.设,问 a 取何值时,在,都存在,并求出,解:显然该函数在 x=0 连续.,故,时,此时,在,都存在,作业,P86 2,5,6,7,11,16(2),18,20,第二节,牛顿(1642 1727),伟大的英国数学家,物理学家,天文,学家和自然科学家.,他在数学上的卓越,贡献是创立了微积分.,1665年他提出正,流数(微分)术,次年又提出反流数(积分)术,并于1671,年完成流数术与无穷级数一书(1736年出版).,他,还著有自然哲学的数学原理和广义算术等.,莱布尼茨(1646 1716),德国数学家,哲学家.,他和牛顿同为,微积分的创始人,他在学艺杂志,上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿,所用微积分符号也远远优于牛顿.,他还设计了作乘法的计算机,系统地阐述二进制计,数法,并把它与中国的八卦联系起来.,备用题,解:因为,1.设,存在,且,求,所以,在,处连续,且,存在，,证明:,在,处可导.,证：因为,存在，,则有,所以,即,在,处可导.,2.设,故,第二节,二、反函数的求导法则,三、复合函数求导法则,四、初等函数的求导问题,一、四则运算求导法则,函数的求导法则,第二章,解决求导问题的思路:,(构造性定义),求导法则,其他基本初等函数求导公式,证明中利用了两个重要极限,初等函数求导问题,本节内容,一、四则运算求导法则,定理1.,的和、,差、,积、,商(除分母,为 0的点外)都在点 x 可导,且,下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和,例题.,此法则可推广到任意有限项的情形.,证:设,则,故结论成立.,例如,(2),证:设,则有,故结论成立.,推论:,(C为常数),例1.,解:,(3),证:设,则有,故结论成立.,推论:,(C为常数),例2.求证,证:,类似可证:,二、反函数的求导法则,定理2.,y 的某邻域内单调可导,证:,在 x 处给增量,由反函数的单调性知,且由反函数的连续性知,因此,例3.求反三角函数及指数函数的导数.,解:1)设,则,类似可求得,利用,则,2)设,则,小结:,推论3),在点 x 可导,三、复合函数求导法则,定理3.,在点,可导,复合函数,且,在点 x 可导,证:,在点 u 可导,故,（当 时),故有,例如,关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.,推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.,例4.求下列导数:,解:(1),(2),(3),说明:类似可得,例5.设,求,解:,思考:若,存在,如何求,的导数?,例6.设,解:,记,则,(反双曲正弦),其他反双曲函数的导数看参考书自推.,的反函数,双曲正弦,四、初等函数的求导问题,1.常数和基本初等函数的导数(P95),2.有限次四则运算的求导法则,(C为常数),3.复合函数求导法则,4.初等函数在定义区间内可导,由定义证,说明:最基本的公式,其他公式,用求导法则推出.,且导数仍为初等函数,例7.,求,解:,例8.,设,解:,求,先化简后求导,例9.,求,解:,关键:搞清复合函数结构 由外向内逐层求导,例10.设,求,解:,内容小结,求导公式及求导法则(见P95 P96),注意:1),2)搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.,1.,思考与练习,对吗?,2.设,其中,在,因,故,正确解法:,时,下列做法是否正确?,在求,处连续,由于 f(a)=0，故,3.求下列函数的导数,解:(1),(2),或,4.设,求,解:方法1 利用导数定义.,方法2 利用求导公式.,作业,P 97 2(2),(8),(10);3(2),(3);4;6(6),(8);7(3),(7),(10);8(4),(5),(8),(10);10;11(3),(8),(10);*12(4),(8);14,第三节,备用题 1.设,解：,2.设,解:,求,二、高阶导数的运算法则,第三节,一、高阶导数的概念,高阶导数,第二章,一、高阶导数的概念,速度,即,加速度,即,引例：变速直线运动,定义.,若函数,的导数,可导,或,即,或,类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为 n 阶导数,或,的二阶导数,记作,的导数为,依次类推,分别记作,则称,设,求,解:,依次类推,例1.,思考:设,问,可得,例2.设,求,解:,特别有:,解:,规定 0!=1,思考:,例3.设,求,例4.设,求,解:,一般地,类似可证:,例5.设,解:,例6.设,求使,存在的最高,分析:,但是,不存在.,2,又,阶数,规律,二、高阶导数的运算法则,都有 n 阶导数,则,(C为常数),莱布尼茨(Leibniz)公式,规律,规律,用数学归纳法可证,例7.,求,解:设,则,代入莱布尼茨公式,得,例8.设,求,解:,即,用莱布尼茨公式求 n 阶导数,令,得,由,得,即,由,得,内容小结,(1)逐阶求导法,(2)利用归纳法,(3)间接法 利用已知的高阶导数公式,(4)利用莱布尼茨公式,高阶导数的求法,如下列公式,思考与练习,1.如何求下列函数的 n 阶导数?,解:,解:,(3),提示:令,解:,各项均含因子(x 2),2.(填空题)(1)设,则,提示:,(2)已知,任意阶可导,且,时,提示:,则当,3.试从,导出,解：,同样可求,(见 P103 题4),作业P103 1(9),(12);3;4(2);6;9;10(2);*11(2),(3),第四节,解:,设,求,其中 f 二阶可导.,备用题,第四节,一、隐函数的导数,二、由参数方程确定的函数的导数,三、相关变化率,隐函数和参数方程求导,相关变化率,第二章,一、隐函数的导数,若由方程,可确定 y 是 x 的函数,由,表示的函数,称为显函数.,例如,可确定显函数,可确定 y 是 x 的函数,但此隐函数不能显化.,函数为隐函数.,则称此,隐函数求导方法:,两边对 x 求导(注意 y=y(x),(含导数 的方程),例1.求由方程,在 x=0 处的导数,解:方程两边对 x 求导,得,因 x=0 时 y=0,故,确定的隐函数,例2.求椭圆,在点,处的切线方程.,解:椭圆方程两边对 x 求导,故切线方程为,即,例3.求,的导数.,解:两边取对数,化为隐式,两边对 x 求导,1)对幂指函数,可用对数,说明:,注意:,求导法求导:,2)有些显函数用对数求导法求导很方便.,例如,两边取对数,两边对 x 求导,又如,对 x 求导,两边取对数,二、由参数方程确定的函数的导数,若参数方程,可确定一个 y 与 x 之间的函数,可导,且,则,时,有,时,有,(此时看成 x 是 y 的函数),关系,若上述参数方程中,二阶可导,且,则由它确定的函数,可求二阶导数.,利用新的参数方程,可得,记,?,例4.设,且,求,已知,解:,练习:书P112 题8(1),解:,注意:,例5.抛射体运动轨迹的参数方程为,求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向.,解:先求速度大小:,速度的水平分量为,垂直分量为,故抛射体速度大小,再求速度方向,(即轨迹的切线方向):,设 为切线倾角,则,抛射体轨迹的参数方程,速度的水平分量,垂直分量,在刚射出(即 t=0)时,倾角为,达到最高点的时刻,高度,落地时刻,抛射最远距离,速度的方向,例6.设由方程,确定函数,求,解:方程组两边对 t 求导,得,故,三、相关变化率,为两可导函数,之间有联系,之间也有联系,称为相关变化率,相关变化率问题解法:,找出相关变量的关系式,对 t 求导,得相关变化率之间的关系式,求出未知的相关变化率,例7.一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,其速率为,当气球高度为 500 m 时,观察员,视线的仰角增加率是多少?,解:设气球上升 t 分后其高度为h,仰角为,则,两边对 t 求导,已知,h=500m 时,思考题:当气球升至500 m 时停住,有一观测者以,100 mmin 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m,时,仰角的增加率是多少?,提示:,对 t 求导,已知,求,试求当容器内水,例8.有一底半径为 R cm,高为 h cm 的圆锥容器,今以 自顶部向容器内注水,位等于锥高的一半时水面上升的速度.,解:设时刻 t 容器内水面高度为 x,水的,两边对 t 求导,而,故,体积为 V,则,内容小结,1.隐函数求导法则,直接对方程两边求导,2.对数求导法:,适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数,3.参数方程求导法,极坐标方程求导,4.相关变化率问题,列出依赖于 t 的相关变量关系式,对 t 求导,相关变化率之间的关系式,转化,求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式,思考与练习,1.求螺线,在对应于,的点处的切线方程.,解:化为参数方程,当,时对应点,斜率,切线方程为,点击图中任意处动画播放暂停,2.设,求,提示:分别用对数微分法求,答案:,3.设,由方程,确定,解:,方程两边对 x 求导,得,再求导,得,当,时,故由 得,再代入 得,求,作业,P111 1(1),(4);2;3(3),(4);4(2),(4);5(2);6;7(2);8(2),(4);9(2);10;12,第五节,求其反函数的导数.,解:,方法1,方法2,等式两边同时对 求导,备用题,1.设,求,解：方程组两边同时对 t 求导,得,2.设,二、微分运算法则,三、微分在近似计算中的应用,*四、微分在估计误差中的应用,第五节,一、微分的概念,函数的微分,第二章,一、微分的概念,引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?,设薄片边长为 x,面积为 A,则,面积的增量为,关于x 的线性主部,故,当 x 在,取,变到,边长由,其,的微分,定义:若函数,在点 的增量可表示为,(A 为不依赖于x 的常数),则称函数,而 称为,记作,即,定理:函数,在点 可微的充要条件是,即,在点,可微,定理:函数,证:“必要性”,已知,在点 可微,则,故,在点 可导,且,在点 可微的充要条件是,在点 处可导,且,即,定理:函数,在点 可微的充要条件是,在点 处可导,且,即,“充分性”,已知,即,在点 可导,则,说明:,时,所以,时,很小时,有近似公式,与,是等价无穷小,当,故当,微分的几何意义,当 很小时,则有,从而,导数也叫作微商,切线纵坐标的增量,自变量的微分,记作,记,例如,基本初等函数的微分公式(见 P116表),又如,二、微分运算法则,设 u(x),v(x)均可微,则,(C 为常数),分别可微,的微分为,微分形式不变,5.复合函数的微分,则复合函数,例1.,求,解:,例2.设,求,解:利用一阶微分形式不变性,有,例3.在下列括号中填入适当的函数使等式成立:,说明:上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.,注意,数学中的反问题往往出现多值性.,注意:,注,数学中的反问题往往出现多值性,例如,三、微分在近似计算中的应用,当,很小时,使用原则:,得近似等式:,特别当,很小时,常用近似公式:,很小),证明:,令,得,的近似值.,解:设,取,则,例4.求,的近似值.,解:,例5.计算,例6.有一批半径为1cm 的球,为了提高球面的光洁度,解:已知球体体积为,镀铜体积为 V 在,时体积的增量,因此每只球需用铜约为,(g),用铜多少克.,估计一下,每只球需,要镀上一层铜,厚度定为 0.01cm,*四、微分在估计误差中的应用,某量的精确值为 A,其近似值为 a,称为a 的绝对误差,称为a 的相对误差,若,称为测量 A 的绝对误差限,称为测量 A 的相对误差限,误差传递公式:,已知测量误差限为,按公式,计算 y 值时的误差,故 y 的绝对误差限约为,相对误差限约为,若直接测量某量得 x,例7.设测得圆钢截面的直径,测量D 的,绝对误差限,欲利用公式,圆钢截面积,解:计算 A 的绝对误差限约为,A 的相对误差限约为,试估计面积的误差.,计算,(mm2),内容小结,1.微分概念,微分的定义及几何意义,可微,可导,2.微分运算法则,微分形式不变性:,(u 是自变量或中间变量),3.微分的应用,近似计算,估计误差,思考与练习,1.设函数,的图形如下,试在图中标出的点,处的,及,并说明其正负.,2.,5.设,由方程,确定,解:,方程两边求微分,得,当,时,由上式得,求,则,作业,P123 1;3(4),(7),(8),(9),(10);4;5;8(1);9(2);*12,习题课,1.已知,求,解：因为,所以,备用题,已知,求,解:方程两边求微分,得,2.,习题课,习题课,一、导数和微分的概念及应用,二、导数和微分的求法,导数与微分,第二章,一、导数和微分的概念及应用,导数:,当,时,为右导数,当,时,为左导数,微分:,关系:,可导,可微,(思考 P125 题1),应用:,(1)利用导数定义解决的问题,(3)微分在近似计算与误差估计中的应用,(2)用导数定义求极限,1)推出三个最基本的导数公式及求导法则,其他求导公式都可由它们及求导法则推出;,2)求分段函数在分界点处的导数,及某些特殊,函数在特殊点处的导数;,3)由导数定义证明一些命题.,例1.设,存在,求,解:,原式=,例2.,若,且,存在,求,解:,原式=,且,联想到凑导数的定义式,例3.设,在,处连续,且,求,解:,思考:书P125 题2;3,例4.设,试确定常数a,b,解:,得,即,使 f(x)处处可导,并求,是否为连续函数?,判别:,设,解:,又,例5.,处的连续性及可导性.,二、导数和微分的求法,1.正确使用导数及微分公式和法则,2.熟练掌握求导方法和技巧,(1)求分段函数的导数,注意讨论界点处左右导数是否存在和相等,(2)隐函数求导法,对数微分法,(3)参数方程求导法,极坐标方程求导,(4)复合函数求导法,(可利用微分形式不变性),(5)高阶导数的求法,逐次求导归纳;,间接求导法;,利用莱布尼茨公式.,导出,例6.设,其中,可微,解:,例7.,且,存在,问怎样,选择,可使下述函数在,处有二阶导数,解:由题设,存在,因此,1)利用,在,连续,即,得,2)利用,而,得,3)利用,而,得,作业,P125 5;6(1);7;8(3),(4),(5);9(2);11;12(2);13;15;18,