具有耦合电感的电路分析与应用.docx

一、基本要求1. 掌握含耦合电感元件正弦交流电路的分析计算方法。包括将互感电压用电流控制电 压源代替，作等效电路分析法；含空心变压器.电路应用反映阻抗概念作等效回路分析法； 以及耦合电感的去耦等效电路分析法。3. 明确理想变压器的性质、电路符号和表征参数，掌握理想变压器两侧端口间的电压 方程和电流方程，二及阻扰变换特性。了解全耦合变压器的概念。4. 掌握含理想变压器的正弦交流电路的分析计算方法。特别是关于理想变压器阻抚变 换性质的应用。2. 明确耦合电感元件的性质、电路符号和表征参数。掌握同名端的概念。能正确列写 出耦合电感元件两侧端口的伏安关系，特别是根据端口电压电流参考方向和同名端的位置 正确确定在VAR方程中互感电压的极性。了解耦合电感元件的储能特性。二、学习指导耦合电感元件和理想变压器，是两种重要的电路元件，含互感正弦交流电路的分析计 算是本课程的重要内容.本章的教学内容可分为如下三部分：1. 耦合电感元件的互感电压与同名端；2. 含耦合电感元件正弦交流电路的分析方法；3. 理想变压器及含理想变压器电路的分析方法。着重讨论耦合电感元件的互感电压、同名端的概念，端口伏安关系的列写方法，含耦 合电感元件正弦交流电路的分析方法，以及理想变压器元件的性质和变换电压、电流、阻 抗的作用。现就教学内容中的几个问题分迷如下、（一）关于耦合电感元件的互感电压与同名端的概念耦合电感元件一种双端口（或多端口）磁耦合的理想电路元件，电路符号如图7-1所示.u1+OOi +图7-1耦合的理想电路元件自感系数L1, L2和互感系M三个参数乘表征，带“.”号的端钮称为“同名端”。所谓同 名端，是指耦合电感元件各绕组绕向对应相同的端钮。由此可见，耦合电感元件，若一侧绕组电流方向指向同名端输入绕组时，另一侧绕组 互感电压在同名端为正极性。也就是说，电流输入端钮和互感电压正极性端钮为同名端同 名端的定义，可以简洁表述为：电流与互感电压参考方向对同名端一致。（二）关于耦合电感元件两侧端口的伏安关系1. 耦合电感元件两侧端口的伏安关系由于电路中的电流和电压是同频率的正弦量。因此，耦合电感元件任一绕组通过电流 时，便产生交变磁通，通过本绕组并耦合到另一绕组。于是，本绕组感应产生自感电压 L =当，L = & 在另一绕组感应产生互感电压M&,M-1在图7-1所示的端口电1 dt 2 dtdt dt压电流参考方向下，两侧端口的伏安关系分别为w didiu = L i + M 2-didiu = L t + M -t-由上两式可见，耦合电感元件端口的伏安关系是微分方程，它包含自感电压感电 压。互感电压反映了 L1和,L2两个电感元件的耦合性质。由于耦合电感元件的伏安关系 是微分方程，故它是一种动态元件，储能元件。2. 耦合电感元件VAR方程中自感电压和互感电压的极性列写耦合电感元件端口 VAR方程中，确定自感电压和互感电压的极性，即正、负号， 是重要的问题。自感电压的极性，取决于该侧端口电压与电流的参考方向，与同名端无关。若端口电压电流是关联参考方向，则自感电压为正值；若端口电压电流为非关联参 考考方向，则自感电压为负值。至于互感电压的极性，则取决于同名端和端口电压与电流的参考方向。也就是说， 互电压在端口 VAR方程中的正、负号，由两层关系来确定，即(1) 根据一侧绕组的同名端和电流的参考方向，确定另一侧绕组同名端互感电压的极 若电流指向同名端流入绕组时，则另一侧绕组同名端互感电压为正极性，反之，为负极 性。(2) 再根据耦合电感元件端口电压的参考方向和该绕组同名端的位置、确定端口 VAR 中互感电压的极性。若端口电压参考方向的正极性端与该绕组同名端一致，且互感一电 压同名端，为正时，则端口 VAR中互感电压为正一；若端口电压参考方向正极性端与该 绕组同名端不一致，且互感电压同名端为正时，则端口 VAR中互感电压为负。确定耦合 电感元件互感电压端口. VAR中的极性，是本章学习中的一个难点，应予深刻理解和掌 握。3. 耦合电感元件端口 VAR的相量形式在含耦合电感元件正弦交流电路的分析中，需应用相量法写出它端口 VAR的相量形 式。如图7-3(a)所示耦合电感元件端口的VAR为-oui+o-o-+C L< 2I.(a)-ou2 + o(b)图7-3耦合电感元件举例史 di diu = Li + M 2-11 dt dtdi diU = L -2 - M -tr-则它们的相量形式为U = jL I + jMi11 12, ,U 2 = jsL2i 2 jMi 又如图7-3(b)所示耦合电感元件端口的VAR为w didi=L 1 + M2-1 dtdtdi di=L 2 M2-2 dt dt则它们的相量形式为=j3L i + jMiU 2 = jrnL2 i 2 jMi 1（三）关于含耦合电感元件正弦交流电路的分析方法含耦合电感元件正弦交流电路的分析，与一般复杂正弦交流电路的分析方法相同。不过，特点是在列写电路方程时，必须考虑互感电压，分析方法涉及互感电压的处理。一般有三种方式。1. 把互感电压看作电流控制电压源作等效电路法把耦合电感元件的互感电压用电流控制电压源代替，作等效电路。作等效电路时一，应根据耦合电感元件电流的参考方向和同名端的位置，确定互感电压在回路中的极性。正弦交流电路分析中，将含电流控制电压源等效电路变换为相量模型后，应用相量法按一般的正弦交流电路进行分析计算。2. 含空心变压器电路应用反映阻抗概念的等效回路法所谓空心变压器，就是线性耦合电感元件。含空心变压器电路，就是如图7-4（a）所示，电源经线性耦合电感元件接入负载的双回路电路，。这一类含互感电路，为了简化分析计算，通常引入“反映阻抗”概念，将双回电路变换为等效的单回路来进行计算。为了计算电源侧一次回路的电流电压，作出如图7-4 (b)所示的一次等效回路。回路中Z是原电路一次回路的总阻抗，Z则是原电路二次回路的总阻抗。Z= 莫2称为1122ref Z22反映阻抗，它反映了二次回路对一次回路的影响。按一次等效回路，便可计算出一次回路中的电流(b)(。)Zref(c)Zref图7-4含空心变压器电路及其一次、二次等效回路I = % + Z1 Z ref11为了分析计算二次回路的电流电压，可以作出如图7-4 (c)所示的二次等效回路， . . “ 、 . _ 一 一 回路中的电源电压就是互感电压 肿MI它的参考万向与一次回路中的电流的参考万向 和耦合电感元件同名端的位置有关。按二次等效回路，二便可计算出二次回路中的电流 为加MI1Z22加MUI =s2Z 22( Z11 + Z f)3. 去耦等效电路法对于耦合电感元件两个互感支路有公共节点的电路，可以将含耦合电感元件变换为 无耦等效电路来进行分析计算。这种方法是将耦合电感元件用它的“去耦等效电路”来 代替，故称为去耦等效电路法，或称为互感化无法。去耦等效电路有两种基本形式。如 图7-5(a)所示耦合电感元件的去耦等效电路为如图7-5(b)所示的T形电路，又如图7-6(a)所示的耦合电感元件的去耦等效电路为如图7-6 (b)所示的T形电路。这两种去耦等效电路的区别，在于由耦合电感元件两绕组的同名端位置的不同而引起的。对于去报等效电路，从概念上应明确如下几点:(1)作去耦等效电路只适用子线性耦合电感元件。如果是非线性耦合电去耦等效电路不能用。+ i1O+u20L - M0(b)u2(a)图7-5耦合电感元件及其去耦等效电路之一OO+L + MOu(b)O +u2L + M(a)图7-6耦合电感元件及其去耦等效电路之二(2) 耦合电感元件两个互感支路应有公共节点。(3) 去耦等效电路只是对元件端口外部电路等效，而内部不等效.因此，它只能用来分析 计算耦合电感元件端口外部电路的电流电压。(4) 在去耦等效电路的参数中出现-M，它本身没有实际的物理意义，而只是等效电路中参 数的量值具有代数的含义，意味着电路的KVI.方程中可能出现负电压项。(四) 关于理想变压器及其特性1. 理想变压器元件理想变压器是一种理想化的电路元件，是实际变压器的理想化模型，是无损耗、全耦合双端口(或多端口)的磁辐合元件。它的结构原理图如图7-7 (a)所示，在铁心上绕有匝数为N1,N2 一次和二次两个绕组，电路符号如图7-7 (b)所示，表征参数是唯一,N的匝数比：n =N1其理想化的条件如下：(1) 理想变压器没有功率损耗。包括绕组导线的电阻为零和铁心也没有损耗；(2) 全耦合，即没有漏磁通。其耦合系数铁心的磁导率|J =8；(3) 一次与二次绕组的自感L1, L2均为无限大。但是，它们的比值却是常量。符合以上三个理想化条件的磁耦合元件，称为理想变压器。它就是自感匕，和匕为无限大 和耦合系数K=1极限情况时的耦合电感元件。2. 理想变压器两侧端口的电压关系F.% +。uU 2&1'。图7-7理想变压器及其电路符号在图7-7所示理想变压器电压电流参考方向下，由于全耦合，没有漏磁通，所以，I；和i分别产生磁通中中 而铁心中的综合磁通=0 +0，穿过绕组N，和N，这时N 和21212121N2的磁链分别为W = N 中,w = N 中根据电磁感应定律，两绕组端口的电压分别为dw»T d "1=Z ="顷dwdOu = 2 = N 2 dt 2 dt上两式之比，便得出理想变压器两侧端口电压之间关系重要的电压方程为u N 11 1u 2 N 2 N用相量形式表示为U 1苛=n2由电压方程表明，理想变压器两侧端口电压之比是一常数，说明理想变压器其有 变换电压的作用。应该指出的是，上述电压方程，是在图7-7所示电压电流参考方向和同名端位置条件下得出的，且我们定义匝数比n 源，（当然也可以定义，n 源.本课程是按 N1N 2n = N 定义的）。如果绕组同名端位置或电流、电压参考方向改变，方程中的常数项的 N1正负号亦作相应改变。3. 理想变压器两侧绕组电流的关系因为铁心中的磁动势F = Ni + N i根据磁路的欧姆定律，有m 1 12 2F = N i + N i = R 中m 1122 m由于铁心的磁导率R T3，则磁阻Rm = 0.因此，上式便可以写为N" + N 2 i2 0故得出理想变压器两侧绕组电流之间的关系，重要的电流方程为L N1 =_ni2N 2一I用相量形式表示为I1 = _ n2上式所示电流方程，是在如图7-7所示电流参考方向和同名端位置条件下得出的。如果改变同名端的位置或电流的参考方向，电流方程中常数项n的正负号亦作相应的改变。电流方程表明，理想变压器具有变换电流的作用。4. 理想变压器的阻抗变换特性由上述可知，表征理想变压器的唯一参数是匝数比n所以，理想变压器在电路中实 质上是一个变量器，可以用来改变电压或改变电流，只要改变匝数比n的数值，就可以 得到。同时，在不同的n值时，两侧电压和电流的量值关系就会改变，从而起到改变阻 抗的作用。因此，理想变压器具有重要的阻抗变换的性质。(1)如图7-8(a)所示，在理想变压器二次端接阻抗Z2则变换到(或称”折合到”)一次侧的阻抗为Z 2。由两侧间的电压和电流方程可以得出1 Z In2 I2U u n 1 =, ,I nI12由此可见，理想变压器将二次侧阻抗变换到一次侧的阻扰是原来阻抗的4倍。n 222Z = Z2n 2 2(2)如图7-9(a)所示，在理想变压器一次端接阻抗2，则变换到二次侧阻抗为Z 1.由 两侧间的电压和电流方程可以得出nU由此可见，理想变压器将一次侧阻抗变换到二次的阻抗，是原来阻抗的n 2倍。5. 理想变压器的几个基本性质(1)由于表征理想变压器唯一的参数n，是一个与时间r无关的常数。所以，理想变 压器电压和电流方程，都是线性代数方程。因此，它是线性非时变元件，在电路中是一个变量I(a)I-o+U2oZ'图8-9理想变压器将一次阻"，变换为二次阻抗Z i图示器，具有变电压、变电流和变阻抗的作用.（2）从理想变压器的电压和电流方程可知，"，与"是线性关系，而与i ,i无关i与i也121212是线性关系，而与U1，U2无关。这反映了三个理想化条件“理想变压器两绕组的自感匕,、为无限大，而它们的比值却是一个常数”的必然结果。因为，当理想变压器二次侧端口一开路时，即，2=°，在一次侧端口外加电压U，并假定一次绕组的自感系数为L1，则有T di u L 1由电流方程可知，当i =0时，则必然i =0。这时U又是个有限值，这就要求，L E 所2111以，理想变压器两绕组的自感系数L 1和L2均为无限大。关于这一题，我们还可以这样 来解释：根据环形铁心螺管线圈的电感公式式中：N是绕组匝数，A,l分别是铁心的横截面积和磁路的平均长度。由于理想变压器铁心的磁导率R T3故可以得出如下结果:这表明理想变压器绕组的自感系数L1和L2是无限大。不禁要问，既然午%和均为无限大。为什么它们的比值却为常量呢?因为，磁通4顶4 2分别与电叫和提正比，即q =aNJ142 = N 2 i2式中，a是比例系数.且因%N2绕组的自感磁链分别为V = N=aN 2 iV = N=aN 2 i按定义有V = L l比较上两组关系式便可以得出L i1 =a N 2 i1L2 i2 =a N 2 i2将上两式相比，便可得出L N 2= 2 = n 2L N 2i i由此可见，理想变压器一次与二次绕组的.自感系数L2与L1，之比为一常量，等于匝数 比n的平方。(3) 根据理想变压器的电压方程和电流方程，图8-7(b)所示理想变压器任何时刻吸收的功率为零，即p = u i + u i1 12 2.-1、八=u i + nu ()=01 11 nii且储能为=j1 pd& =00表明理想压器不消耗功率，也不储存能量、因此，它是一种无记忆作用的非动态元件。(五) 关于全耦合变压器的慨念实际变压器的耦合系数k V1，自感系数LL2并非是无限大。故一个理想变压器不 能精确摸拟实际的铁心变压器。为了得出含理想变压器元件成的实际变压器模型，引出 全耦合变压器的概念。所谓全耦合变压器，就是只满足理想变压器无损耗和全耦合(即耦合系数k = 1)条件，而自感%,L2和互感M均为有限值时的耦合电感元件。如图8-10(a)所示，其一次 侧端口的VAR方程为=L 巴 + MdL1 dt dtu di M diL=L1 d+Tit11由于耦合系数k = 1,即则代入上式得出didtu<LL di%dtM 寸#%,1J 1: n._-o* L»-= 厂-ou% rLLuu0LLu112211221n 、i000.0(a)(b)图7-10全耦合变压器模型(a) k=1的耦合电感元件(b) 全耦合变压器模型将止式从0 t积分，且i1 (0) = 0, i2 = 0,可的L (t) = L # u1 (& )d& - 'L 2 i2 (t)1 01上式中i = -!-f u (6 )d0 L ii 0表示二次侧开路时变压器原边的空载电流。代入上式得出i = i - ni上式中项用理想变压器电流方程折合到二次回路电流七=-ni2代入，得出 i0 + i 1由于i =-ni是一匝数比为，的理想变压器的电流方程。因此，i'与i关系可以用一 1212个理想变压器来表示。于是，便得出如图8-10(b).所示含理想变压器构成的全耦合变压 器模型。由此可见，全耦合变压器，虽然匕= 能成立。但是，X = N 关系不能成立 u 2 N 2i 2N 2（六）关于含理想变压器正弦交流电路的分析方法含有理想变压器的正弦交流电路，一般对可按如下两种基本方法进行分析计算 1.用受控源表示电压和电流方程法根据理想变压器的电压方程和电流方程，将其一侧端口看作电压控制电压源，另一侧端口看作电流控制电流源，作出等效电路，然后按一般电路分析方话法进行分析法。2.应用理想变压器变量器作用分析法应用理想变压器的电压、电流和阻抗变换性质，将理想变压器一侧电路的参数变换到 另一侧，作出等效电路，然后按电路一般分析方法进行计算。本章学习内容的重点是，耦合电感元件的同名端、互感电压和端口 VAR 一方程的列 写，含互感电路的分析方法，以及理想变压器的电压、电流和阻抗变换的性质。三、解题指导（一）例题分析例7-1）含耦合电感元件正弦交流电路的分析计算。如图7-ll（a）所示电路，已知耦合电感元件的参数匕=2.5H, L2 = 5H,M = 2.83H。求电流 i2-o+o-(a)图7-11例7-1电路图解：解题思路本题是含耦合电感元件正弦交流电路的分析计算，电路中耦合电感元件两互感支路有公共节点，故可以应用两种方法进行计算。方法之一，是互感电压用电流控制电压源 表，作出等效向量模型后，用网孔分析法进行计算在作等效相量模型时，应注意电流的 参考方向和同名端的位置，正确确定互感电压的极性。方法之二，是将耦合电感元件去 耦等效电路代替，变换为相量模型后应用网孔分析法进行计算。作去耦等效T形电路时， 耦合电感元件两绕组同名端的位置与图7-11(a)相同故去耦等效电路如图7-11 (b)所 示。解题方法方法之一：将互感电压用电流控制电压源表示的等效电路分析法(1) 因正弦交流电源角频率® = 2rad /s电感L1,L2和电容C用它的阻抗表示，互感电压 用电流控制电压源表示并变换为相量形式，得出如图7-11 (b)所示互感电压用电流 控制电压源表示的相量模型。电源电压相量用振幅相量。(2) 用网孔法解题。根据图7-11 (b)电路模型，列网孔方程为网孔I： (3 + j)I j5.661 - (3 j4)I = 50Z00122(3 + j) I (3 + j1.66) I = 5012网孔 II： (3 j 4) I + (8 + j 6) I j 5.661 = 0121(3 + j1.66) I + (8 + j 6) I = 012由i = 8.62sin(2t 24.79。) A2方法之二：去耦等效电路法。(1) 将电路中耦合电感元件，用去耦T形等效电路代替，得出如图7-11(c)所示等效电 路。其中 M = 0.33H, L2 M = 2.17 H.(2)(3)将图7-11(c)电路变换为如图8-11(d)所示的相量模型。根据图7-11 (d)相量模型，列网孔方程为网孔I：(3 j 0.66 + j 5.66 j 4) I (3 + j5.66 j 4) I = 50Z0012(3 + j) I (3 + j1.66) I = 5012网孔II：(3 + j 5.66 j 4) I + (3 + 5 + j 4.34 j 4 + j 5.66) I = 012(3 + j1.66) I + (8 + j 6)= 0(4) 解网孔方程组，与方法之一相同，故按上述步骤可解出结果。例7-2含空心变压器正弦交流电路的分析计算。如图7-12所示电路，已知图7-12 例7-2图u = 30sin5&, R1 = 3Q, L1 = 1H, L2 = 2 H, M 1 = 0.8 H, R2 = 3Q, C = 0.05 F ,Z、= 3 + j 2Q.求电流i1,七。解题思路)本题是含是含空心变压器正弦交流电路的分析计算。应用反映阻抗的概念， 作出一次等效回路和二次等效回路的方法进行计算。分析计算的步骤为：(1) 计算出 Z 11, Z 22 和Z;. . (2) 作出一次等效回路的相量模型，计算出I ;1- 二 . .(3) 作出二次等效回路相量模型，算出12,应注意耦合电感元件电流参考方向与同名端的，位置，正确确定二次回路互感电压j« MI的极性。1(4) 按 I，I 变换i ,i。121 2解题方法)(1)计算Z 11, Z 22和3寸Z = R + j®L = 3 + j 5 X1 = 3 + j 5QZ22 = R2 + jsL2 + Zl - j1/ ®C=3 + j5 x 2 + (3 + j 2) - j1/5 x 0.05=6 + j8 = 10Z53.130Q(2)作一次等效回路相量模型如图8-4 (b)所示。则I = U / Z + Z1 S 1122=30Z00 /(3 + 5 j) + (0.95 - j1.28)30/00/5.43/43.210 = 5.52/ 43.210 A.- 一. 一. 一 . (3) 作二次等效回路相量模型，如图7-4(c)所示，但互感电压为- 7®MI则1加 MI5 x 0.8 x 5.52Z- 43.21。I = 1 =2 Z10Z53.13。222.208/173.66。或直接计算得出加MUsZ 22( Z11 + Ze ).5 x 0.8 x 30/0。J (10/53.13。)(5.43/43.21。)= 2.208/173.66。(4) 根据I和I得出12i = 5.53sin(5 43.21。A)1i； = 2.208sin(5l +173.66) A. 本题解题分析计算中，U是最大值相量。S例7-3)含理想变压器耦合正弦交流电路的分析计算.如图7-13(a)所示电路，求电 流 i1，i2.解：解题思路)本题是含理想压器正弦交流电路的分析计算，可以应用两种方法解 题。方法之一是根据理想变压器的电流方程和电压方程，一侧用电流控制电流表示，另- 侧用电压控制电压表示，作出向量模型后，分别列两回路的KVL方程来解出；方法之二是 利用理想变压器变量器的性质，作出将一侧电路元件参数变换到另一侧电路后的相量模 型，按网孔分析法来求解。分析计算时，受控源按独立电源处理。解题方法)方法之一：理想变压器两侧分别按电流控制电流源和电压控制电压源代替，等效电路法。作出等效电路相量模型，如图7-13(b)所示。其中电感元件的感抗为jXL = j103 X 4x 10-3 = j4。电容元件的容抗为jX = -jl/103 X125X 10-6 =_j8Q c理想变压器的匝数比n=2则电流和电压方程分别为I ' = 2122U = 2U21.、+*¥C./10Z00 VUj%2iJ图7-13例7-3电路图一 :故一次回路中电流控制电流源电流为21，2 一二次回路中一电压控制电压源电压为2U。1(2)列写回路KVL方程，分别为 3I + j4(I - 21 ) = 10112 ,(3 + j4)I - j81 = 1012-2U + 41 - j81 = 0112-2 x j4(I - 21 ) + 41 - j8I1212(4 - j8)I +j8I2=0一次回路:二次回路:故得出A 80/90。I = 1 =1A64.5/60.25。、. .、 . 二 .3)由于电源电压相量是最大值相量，故根据I和I得出12i = 1.24sin(1031 + 29.75。) 1i2 = 1.387sin(103 + 56.5。)方法之二：应用理想变压器变换电压、电流和阻抗作用，作等效电路法。(1) 作出将二次回路元件参数变换到一次回路等效电路的相量模型，如图8-13(c)所示 其中容抗：1/n 2(叫)=1/25 = _j 2Q气受控电压源：1/n(41) = 1/2(41) = 2I i2变换到一次回路：12 = nI2 = 212应用网孔法解题。列网孔方程为网孔 I： (3 + j4)11 - j412 = 10Z0。, _ _ . _网孔II：-j41 + 21 + (j4 - j2)I' =0 112(2 - j4)I + j21' = 012故得出一次回路的电流为 A 20/90。I = 1 =1 A16.12/60.25。 A44.92/116.751 = =2 A16.12/60.25。二次回路的电流则为I =11' =1 (2.775/56.5。)= 1.387/56.5。A2 n 2 2(3)最后得出i = 1.24sin(1031 + 29.75。)A1i = 1.387sin(1031 + 56.5 °) A2例7-4)电路匹配的计算。一不等效电压源电压为"，=12sin500&和内阻为72Q的 放大器，要接一个电阻为8Q。的扬声器负载。问(1)电路匹配时，负载经理想变压器输 入电源，则理想变压器的匝数比n为多少？(2)电路未匹配时和匹配后，负载所获得的功 率各为多少瓦？解：解题思路)在电子技术中，往往利用理想变压器的阻抗变换性质，进行电路的匹配，满 足接入电源的负载电阻等子电源内阻的条件，使负载获得最大的功率。如图7-14(a)所示负载电阻R经理想变压器接入内阻R的电压源气将R变换到电源侧回路的电阻为rl=n rl由于V RS为了使负载获得最大功率，应按Rl= Rs的条件实现电路的匹配，这时理想变压器匝数比n应选为.-Rl = RRLRs(b)图7-14例7-4电路(a)匹配电路(b)未匹配电路Rn = ' LrR丫 S这时负载吸收的功率为PL.max(U=V SR、+ Rl)2 R I = U1L R'L=rs 4R解题方法)(1)电路实现匹配时，理想变压器的匝数比为:81n = = 72 3N 2 = nN1(2) 电路匹配时负载吸收的最大功率为(旦)2P = 4 =巨=0.25WLmax4R4 x 72负载所<3)若如图7-14 (b)所示，负载Rl直接接于放大器的输出端钮，没有进行匹配时， 吸收的功率为(旦)2P = ( US)2 R = 巨 x 8 = 0.09WLRS + Rll (72 + 8)2显然负载经理想变压器接入放大器，电路实现匹配时所获得的功率远大于未匹配时的数 值。例7-5)已知一耦合电感的参数为L1=6H, L2=4H, M=3H，试计算此耦合电感中两线圈串联或并联后形式的二端网络的等效电感值。解：只解答两线圈串联的情况：(2)若串联的耦合电感元件两线圈是非同名端联接时，如教材8-14 (a)所示。则端口的VAR方程为()T dik) T dit)dit) h dik)u = 1 dT + 2 dT + dT +dTdi(t) 了 di(t)=(L1 + L2 + 2 M )- = L等效电感为 L = L1 + L2 + 2 M = 6 + 4 + 2 x 3 = 16 H(2)若串联的耦合电感元件两线圈是同名端相连接时，如教材图8-15 (a)所示。则端口的VAR方程为,、丁 dQ 了 di<t) ,dG) ,di(t)ut )= L + L M M1 dt 2 dt dt dt=(L + L - 2 M 迥=L 也12 dt dt等效电感为 L = L + L 2M = 6 + 4 2 x 3 = 4 HaR 2例7-6)求图7-15所示电路的输入阻抗。工作角频率为。图7-15 例7-6去耦等效电路解：将图7-15电路中耦合电感元件去耦等效电路，如图7-15所示。则输入阻抗为Z=j& + M )+ 加吃+ M 史一沁M)i i(R2 - j®M) + jw(L2 + M)/) 2 M(L + M )+ j(L + M)RR2 + j-L2j.(L + M)R + jL )+32ML + j.(L + M)R +(W* =122222=j骸 + M )+ 2221j3(L + L + 2M)R -2LL -2ML +2M2 -LL )+2ML122122122JL乙乙JL 乙乙JL 乙二R2 + j3L22M2 -LL)+ j3(L + L + 2M)R =12122-R2 + j3L2例7-7).求图题7-17所示二端网络的戴维南等效电路。j5。6Q图7-17第7题电路解：(1)求开路电压U oc先计算闭合回路中的电流为6Z006 ,I = A6 + 6 + j10 12 + j10 故开路电压为U = 61 + j51 =(6 + j5)I = 6 + j X 6 = 3/0"oc12 + j10(2) 求等效内阻抗Z 0将电压源置零，端口外接电压源电压才，输入电流%电路模型如图8-17所示。列网. . . . . 孔方程，绕行方向与网孔电流I和/方向相同。则网孔方程为 1(12 + j10)" + 61 + j 51 = 0(12 + j10)I + (6 + j 5) I = 0161 + (6 + J10) I + j 51 = U11(6 + + j 5) I + (6 + J10) I = U1由式得出-(6 + j 5)I1 I =I112+ j102代入式得出U = (6 + j5- 21 +(6 + j10=(3 + j7.5)I本章小结(1) 耦合电感是研究两个相邻线圈的电磁感应现象，它用三个参数表征：自感系数L1、L 2和互感系数M。带“”号的端钮为同名端。同名端是指如果电流从一个线圈 的“-”端流入，那么，在另一个线圈中，感应的电压在“-”端为正极性。也就是说， 流入的电流和互感电压的参考方向对同名端一致。(2) 耦合电感电压与电流的关系式在时域电路中u = L吐土M叽11 dt dt=l 吃 + m2 dtdidt列写耦合电感的伏安关系式时，自感电压的极性由同侧的电压、电流参考方向确定， 与同名端无关。若同侧电压、电流为关联参考方向，则自感电压为正值，反之为负值。互感电压前的正、负号要由两层关系决定，首先要根据一侧电流的方向以及同名端确 定另一侧同名端的互感电压极性，再与端钮所设的电压参考方向相比较，如果互感电压极 性与端钮所设电压极性一致，互感电压前取正号，反之取负号。(3) 含耦合电感电路的计算含耦合电感电路的计算方法有两种：一是直接列写方程法，二是去耦等效法。直接列写方程法是列写独立回路的KVL方程组联立求解的方法。列写方程时，要注 意互感电压项“+”或“一”的选取。当有耦合电感的两线圈具有一个公共节点时，可应用去耦等效法将含耦合电感的电路 变换为无耦合的等效电路。去耦等效电路有两种基本形式。应注意去耦等效电路只对端口 外部电路等效，而内部不等效。因此它只能用来分析计算耦合电感元件端口的电压、电流。分析在正弦交流下耦合电感的电路与分析复杂正弦电路相同，只是在列写方程时，要 考虑互感电压。具有互感线圈的串联与并联等效电感的推导，就是一个实际举例。(4) 空芯变压器是以耦合电感作为它的电路模型，为了简化分析计算，引入反映阻抗 法，将原、副边两个回路变换为两个单回路电路，使计算非常简便。(5) 理想变压器两线圈的电压u、"参考方向为从同名端指向非同名端，电流i > i212参考方向为各自从两同名端流入时，有定义式u = nu ， i = i12 i n 2当电压、电流参考方向或同名端位置与上述规定不同时，以上二式的符号应做相应调 整。分析计算含理想变压器电路时，应将其定义式直接列入电路方程中，联立求解。