个方程所确定的隐函数及其导数.ppt

一、一个方程所确定的隐函数及其导数,本节讨论:,1)方程在什么条件下才能确定隐函数.,例如,方程,当 C 0 时,能确定隐函数;,当 C 0 时,不能确定隐函数;,2)在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性,及求导方法问题.,一、一个方程所确定的隐函数及其导数,定理1.设函数,则方程,单值连续函数 y=f(x),并有连续,(隐函数求导公式),定理证明从略，仅就求导公式推导如下：,具有连续的偏导数;,的某邻域内可唯一确定一个,在点,的某一邻域内满足,满足条件,导数,两边对 x 求导,在,的某邻域内,则,解,设F(x,y)x2y21,Fx2x,Fy2y,F(0,1)0,Fy(0,1)20.,则,由隐函数存在定理,方程x2y210在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x).,例1 验证方程x2y210在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x),并求这函数的一阶与二阶导数在x0的值.,例2.已知方程,在点(0,0)某邻域,确定一个单值可导隐函数,解:令,则,求,定理2.,若函数,的某邻域内具有连续偏导数,则方程,在点,并有连续偏导数,定一个单值连续函数 z=f(x,y),定理证明从略,仅就求导公式推导如下:,满足,在点,满足:,某一邻域内可唯一确,两边对 x 求偏导,同样可得,则,例3.设,解法1 利用隐函数求导,再对 x 求导,解法2 利用公式,设,则,两边对 x 求偏导,例4.,设F(x,y)具有连续偏导数,解 利用偏导数公式.,确定的隐函数,则,已知方程,故,二、方程组所确定的隐函数组及其导数,在一定条件下方程组F(x,y,u,v)=0,G(x,y,u,v)=0能确定一对二元函数uu(x,y),vv(x,y).,例如,方程xu-yv=0和yuxv=1可以确定两个二元函数,事实上,能否根据原方程组求uu(x,y),vv(x,y)的偏导数？,隐函数存在定理3,设,在,点,的某一邻域内有对各个变量的连续,偏导数，且,且偏导数所组成的函数行列式,（或称雅可比式）,在点,不等于零，则方程组,的单值连续函数,且有偏导数公式:,的某一邻域内可唯一确定一组满足条件,定理证明略.仅推导偏导数公式如下：,(P34-P35),有隐函数组,则,两边对 x 求导得,设方程组,在点P 的某邻域内,故得,系数行列式,解:,二元线性代数方程组解的公式,同样可得,例5.设,解:,方程组两边对 x 求导，并移项得,求,练习:求,答案:,由题设,故有,例6.设,是由方程,和,所确定的函数,求,解 分别在各方程两端对 x 求导,得,(99考研),作业：p-89 习题9-52,3,6，7,8,10(1);(2),