充分、完备统计量.ppt

1.2 充分统计量与完备统计量,充分统计量定义:设 是来自总体X具有分布函数 当给定 时，若样本 的条件分布与参数 无关，则称 是 的 充分统计量。,一、充分统计量含义,样本中包含关于总体分布中未知参 数的信息，是因为样本的联合分布与参 数有关。对统计量T，如果已经知道它的 值以后，样本的条件分布就与参数无关。即在统计量T中包含了参数的全部信息。,1.用定义证明T是充分统计量,例1 设 总体 服从两点分布，即 是来自总体 的一个样本，证明样本均值 是参数 的充分统计量证明：由于,当已知 时，样本 的条件概率,例2.设 是来自泊松分布 的一个样本，证明 是 的充分统计量.,证明：由泊松分布性质知,给定T=t 即,的条件分布为,后，,例3 设 是来自正态总体 的样本，证明 是充分统计量.,证明：由条件知 在给定 后，对 任意 有，样本 的条件概 率密度为：,2.因子分解定理,定理(费希尔奈曼准则）设 是来自总体X具有分布函数 则 为 的充分统计量的充要条件是：样本的联合分布密度函数可以分解为,用因子分解定理证明充分统计量,例1 设 总体 服从两点分布，即 是来自总体 的一个样本，证明样本均值 是参数 的充分统计量 证明：由于,例2 设 是来自泊松分布 的一个样本，证明样本均值 是 的充分统计量,证明：,例3 设 是来自正态总体 的样本，证明 是 的充分统计量,证明：样本 的联合分布密度为：,例4 设 是来自正态总体 的一个样本，证明 是 的充分统计量,证明：样本 的联合分布密度为：,定理 设 是单值可逆函数，则 也是 的充分统计量,结论：1 统计量用来推测参数的值;2 充分统计量把可能丢失信息的统计量筛选;3 最优统计量在充分统计量之中;4 一个参数的充分统计量不唯一.问题：在什么情况下，它是唯一的？,二、完备统计量定义 设总体 的分布函数族为 若对任意一个满足 的随机变量，总有则称 为完备的分布函数族,若一统计量T 的分布函数族是完备的，则该统计量为完备统计量.,性质,例 设 是来自总体 服从两点分布 的样本，样本均值 是参数 的充分统计量，验证 也是完备统计量 证明：由于,如果一个统计量既是充分统计量，又是完备统计量，则称为充分完备统计量。定理：设 来自总体 的一个样本，的充分完备统计量,如果无偏估计存在，则 是唯一的最优无偏估计量,定理 设 来自总体 若样本的联合分布可以分解为,则 是 的充分完备统计量。,例5设 是来自正态总体 的一个样本，证明 是 的充分完备统计量,证明：样本 的联合分布密度为：,是 的充分完备统计量。,