《复变函数》第4章.ppt
2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第1页,复 变 函 数（第四版）第四章 级 数,1 复数项级数,2 幂级数,3 泰勒级数,4 洛朗级数,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第2页,1 复数项级数,1.复数列的极限,复级数也是研究解析函数的一个重要工具.,函数的解析性等价于函数能否展成幂级数.,复数列,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第3页,Th1.,证明利用不等式:,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第4页,2.级数概念,(1)定义,级数:,前n项和:,(部分和),否则.发散,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第5页,Th2.,必要条件:,运算性质:,且:,(C 为复常数),（作用：复数项级数的审敛问题转化为 实数项级数的审敛问题）,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第6页,(2)绝对收敛与条件收敛.,结论:i),ii),Th3,模,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第7页,iii),iv),2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第8页,例1.,解:1),下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限.,1),2),而,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第9页,解:2),例2.,解:1),下列级数是否收敛?是否绝对收敛?,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第10页,解:2),(不易分实部,虚部),对正项级数,原级数收敛,且为绝对收敛.,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第11页,解:3),因为,(莱布尼兹型交错级数),原级数收敛.,条件收敛,原级数不绝对收敛.,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第12页,补例:考察,解:1),下列级数的敛散性:,原级数发散.,而,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第13页,解:2),收敛.,(公比|q|1),原级数绝对收敛.,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第14页,解:3),收敛.,原级数绝对收敛.,而,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第15页,补例:判别,解:1),级数,的敛散性.,发散.,故级数不绝对收敛.,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第16页,续上页 解:1),解:2),均收敛,原级数发散.,(莱布尼兹型交错级数),2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第17页,2 幂级数,1.复变函数项级数,部分和,z 在 D 内处处收敛;,和函数,和,即,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第18页,例:,解:,当 z=1 时,级数收敛于 0,当 z=1 时,级数发散;,当|z|1时,显然发散.,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第19页,2.幂级数及其收敛圆,一般式:,取=0.,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第20页,(有与实函类似的结论)(1),(2),阿贝尔定理,z0,x,y,O,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第21页,证,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第22页,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第23页,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第24页,利用阿贝尔定理,可以定出幂级数的收敛范围,对一个幂级数来说,它的收敛情况不外乎三种:i)对所有的正实数都是收敛的.这时,根据阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝对收敛.ii)对所有的正实数除z=0外都是发散的.这时,级数在复平面内除原点外处处发散.iii)既存在使级数收敛的正实数,也存在使级数发散的正实数.设z=a(正实数)时,级数收敛,z=b(正实数)时,级数发散.,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第25页,显然ab,将收敛域染成红色,发散域为蓝色.,O,a,b,Ca,Cb,x,y,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第26页,(3),1o 仅在 z=0 收敛;,2o 在整个 z 平面收敛;,在 1o,2o 两种情形中,称 R 为 0 和,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第27页,总之:R 为收敛半径,则,(收敛圆内部),(收敛圆外部),(收敛圆周上),2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第28页,例:,收敛半径均是1.,1)其一般项 zn 0,无收敛点.,2)在点 z=1 发散,在其它点都收敛.,在收敛圆周|z|=1 上,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第29页,3.收敛半径的求法(1)比值法:,(2)根值法:,例2:,(P113)求下列幂级数的收敛半径,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第30页,解:1),在收敛圆周|z|=1 上,R=1,(p=3时的 p,原级数在收敛圆周上是处处收敛的.,级数),2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第31页,解:2),在收敛圆周|z1|=1 上,解:3),2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第32页,an有界,上极限,下极限,上确界k单调减少,必有极限,下确界k单调上升,必有极限,数列去掉前 k 项以后的有界数列的下确界.,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第33页,另有一求收敛半径的方法:柯西哈达玛法,例:,解:,(Cauchy-Hadanmard),2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第34页,补例:,证:1),2),1)幂级数的收敛半径 R 1,2)若 R=1,则除 z=1外,收敛圆周上处处收敛.,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第35页,而,同理,当=0 时,即 z=1,无法下结论.,从而 原级数收敛(狄里克雷判别法).,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第36页,补例：,解:,用比值审敛法.,不能套求半径公式,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第37页,注:,故 原级数收敛半径,缺项级数的收敛半径时,则其收敛半径,若先求出极限,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第38页,4.幂级数的运算及性质,(1),加,减,乘法.,由绝对收敛性,则在|z|=R 内,两级数可做,即,书中漏写 zn,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第39页,注意:,上两式的意思是|z|R 时,等号成立,而不是说右边级数的收敛半径为 R,(可能大于R).,(见书P115例13),2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第40页,重要的代换(复合运算),例4.,解:,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第41页,从而,设|ba|=R,上式右端的收敛半径 R=|b a|,(方法和结论以后常用),2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第42页,(2),(3),f(z)在收敛圆可逐项求导.,如何解释?,而在收敛圆上至少有一个奇点;,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第43页,(4),2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第44页,3 泰勒级数,我们已知：一个幂级数的和函数在它的收敛,圆的内部是一个解析函数.,问题:任何一个解析函数是否能用幂级数表达?,1.泰勒定理.,设 f(z)在D 内解析,只要圆 k:|z-zo|d,含于D.则 f(z)在 k 内能展成幂级数,泰勒级数,其中系数,泰勒系数.,且展开式唯一.,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第45页,略证:,设 z 为 k 内任一点,按柯西积分公式,在圆周 k 上,有,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第46页,代入,得,此等号须证(要条件),2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第47页,唯一性,注:1o,2o,若另有展式,即,如果 f(z)在zo 解析,那末使 f(z)在zo 的泰勒,展开式成立的圆域的半径R就等于从zo到f(z),的距zo最近一个奇点之间的距离.即R=|-zo|,当 zo=0时,级数称为麦克劳林级数.,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第48页,2.解析函数的等价定义(1),(2),1o f(z)在zo某邻域内可导;2o f(z)=u+iv 的实部u,虚部v在点zo的某邻域 内有连续偏导数,且满足C-R条件.,f(z)在 zo 解析,f(z)在 zo 的某邻域可展成幂级数,f(z)在D内解析,f(z)在D内任一点的某邻域可展成幂级数,至此得函数 f(z)在一点zo解析的四种等价说法:,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第49页,4o,3.几个常用初等函数的泰勒展开式,3o,任一条分段光滑闭曲线,有,f(z)在zo的某邻域内连续且对此邻域内的,f(z)在zo的某邻域内可展开成幂级数.,求导,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第50页,续上页,积分,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第51页,4.展开解析函数 f(z)成幂级数,(1)直接法:,(2)间接法:,的主要方法:,利用已知展式以及幂级数的分析运,算性质和其他数学技巧,求展开式.,其中有:,代换法.,部分分式法:,(最多的是代换,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第52页,续上页,微分方程法:,利用被展开函数与导数的关系,建立微分方程.,逐项积分法:,逐项求导法:,幂级数乘法:,分解为两个已知展开式函数的乘积.,幂级数除法:,待定系数法:,长除法,其他:,如,利用组合,搭配等等.,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第53页,例一.,解:,(用代换法,关键将 f(z)变形为含所需因式的形式,并可利用已知展开式得到需要的幂级数),2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第54页,方法二:,转下页,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第55页,续上页,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第56页,例二.,解:,对方程逐次求导,得,(得一微分方程),2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第57页,由于f(z)只有唯一奇点 z=1,练习:,所以收敛半径为1,f(z)可在|z|1 内展开,其展开式为,用类似方法求,的麦克劳林级数.,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第58页,例三.,解:,故有,是偶函数,所以幂级数只有,偶次幂项,设,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第59页,比较两端同次幂系数，得,解出,法二：,直接用长除法(升幂排列),2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第60页,4 洛朗级数,由上一节知:,双边幂级数:,在圆|zzo|=R 内解析的函数 f(z)可以,展成幂级数,那么在环 R1|zz0|R2 内解析的函数呢?,它也可以展成幂级数,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第61页,定义:,则,收敛,均收敛,(1)的收敛域为,在收敛圆环内的双边幂级数的和函数为一解析函数.,其公共圆环域,(2)的收敛域为,R1|zzo|R2 为,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第62页,1.洛朗定理.,其中,且展开式唯一.,设 f(z)在圆环域R1|z-zo|R2内处处解析,那末,洛朗展开式,这里C为在圆环域内绕 zo的任何一条正向简单闭曲线.,洛朗级数,(即一个在某一圆环域内解析,的函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的.,这个级数就是 f(z)的洛朗级数).,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第63页,注:1o,2o,3o,一般 f(z)在C 内不是处处解析,不能对cn,的表达式应用高阶求导公式.,泰勒级数是洛朗级数的特殊情形.,(此时 R1=0,cn=0),洛朗级数的解析部分,洛朗级数的主要部分,(正则部分),4o,用公式计算cn 很难,一般不用.,(恰恰相反,我们后面要用cn 求积分,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第64页,2.将圆环内解析函数展成洛朗级数的方法,例：,解：直接法,直接法:用公式求 cn.,求导、积分、代换等方法展开.,间接法:利用已知函数的泰勒展式,再利用,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第65页,解：间接法：,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第66页,间接法中常用公式：,例1：,解:,内处处是解析的.试把 f(z)在这些区域内展开成洛朗级数.,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第67页,(结果中不含 z 的负幂项,原因 f(z)在 z=0 处是解析的),2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第68页,解:ii),2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第69页,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第70页,解:iii),2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第71页,注:,此例是同一个函数在不同的圆环中的洛朗展式,这里展式不同与洛朗展式的唯一性并无矛盾.,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第72页,问:,解:,此例若改成在两个孤立奇点 z=1 和 z=2的最大的去心邻域内的洛朗展式如何求?,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第73页,例2:,看教材(P134),注意:,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第74页,补例一:,解:,在 0|zi|1 内,展为洛朗级数.,使 f(z)解析且以 i 为中心的圆环域有,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第75页,而,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第76页,在 1|z i|+内,因为,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第77页,补例二:,解:,转下页,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第78页,(对有理分式函数 f(z).先分解为部分分式,仍是有效的方法),2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第79页,补例三:,解:,1)在1|z|2 内,有,奇点 z=i,z=2,转下页,2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第80页,2)在 0|z 2|内,有,续上页 解 1),2023/5/30,复变函数(第四版)第4章,第81页,解:,补例四:,(习题P14417),内展为洛朗级数.,不能.因为,的邻域内总有zk存在,且,所以不能展成洛朗级数.,
