二次曲线的一般理论.ppt
第五章 二次曲线的一般理论,主要内容二次曲线与直线的相关位置二次曲线的渐近方向、中心、渐近线二次曲线的切线二次曲线的直径二次曲线的主直径与主方向二次曲线方程的化简与分类用不变量化简二次曲线的方程,教学目的：了解复平面的特征；掌握二次曲线的渐近方向、中心、渐近线、切线、直径、主方向和主直径概念及求法；弄清移轴变换和转轴变换对二次曲线方程系数的影响规律，以及这两种坐标变换在化简二次曲线方程中所起的作用；能判别二元二次方程所表示的曲线的类型，熟练地化简二次曲线方程，并写出相应变换关系式，作出其图形。教学重点：二次曲线由渐近方向、中心、标准方程得出的不同分类方法；二次曲线方程的化简、分类与作图。教学难点：移轴变换和转轴变换对二次曲线方程系数的影响规律及其在化简二次曲线方程中所起的作用。,第五章教学要求,5.1 二次曲线与直线的相关位置,教学目标：了解复平面的特征；熟记二次曲线方程中的有关记号；掌握二次曲线与直线的相关位置及判别方法。教学重点：二次曲线方程中的有关记号及二次曲线与直线的相关位置。教学难点：二次曲线与直线位置的判别方法。,二次曲线的一般理论前言,在平面上，由二元二次方程,所表示的曲线，叫做二次曲线。在这一章里，我们将讨论二次曲线的几何性质，以及二次曲线的化简，最后对二次曲线进行分类。,一 平面上的复元素,今在复平面上引入下列复元素,复向量：,复直线：,在直角系下,一次方程ax+by+c=0(a,b为复数)所表示的图形,称为复直线;若a,b,c与三实数对应成比例,则称其为实直线,否则称其为虚直线。注意:实直线可以有虚点。,注：实直线上有无穷多个复点，但虚直线上只有一个实点。,定比分点：,共轭复元素：,三 为了方便起见，特引进一些记号：,二次曲线与直线的相关位置,讨论二次曲线,与直线,的交点，可以采用把直线方程代入曲线方程然后讨论关于t 的方程。,对或可分以下几种情况来讨论：,解:,将直线,化为参数形式,得:,为(1,0),所以直线在二次曲线上，即直线上所有点均为交点。,因为:,5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线,教学目标：理解二次曲线的渐近方向、中心、渐近线概念；掌握二次曲线的渐近方向、中心、渐近线的求法；能根据渐近方向和中心对二次曲线进行分类。教学重点：二次曲线的渐近方向、中心、渐近线概念及求法。教学难点：根据渐近方向和中心对二次曲线进行分类。,5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线,1.二次曲线的渐近方向,定义5.2.1 满足条件(X,Y)=0的方向X:Y叫做二次曲线的渐近方向，否则叫做非渐近方向。,事实上，,为渐近方向,可见，对椭圆,，,对双曲线,它有二不同实渐近方向；,它有二相同的实渐近方向；,，,，,它有二共轭复渐近方向；,对抛物线,对双曲线,它也有二不同实渐近方向；,，,定义5.2.2 没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型的,有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物线型的,有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型的。,即:椭圆型:I20；抛物型:I20；双曲型:I20,2.二次曲线的中心与渐近线,定义5.2.3 如果点C是二次曲线的通过它的所有弦的中点(C是二次曲线的对称中心)，那么点C叫做二次曲线的中心。,定理5.2.1 点C(x0,y0)是二次曲线(1)的中心，其充要条件是：,定理5.2.1 点C(x0,y0)是二次曲线(1)的中心，其充要条件是：,的根，而,定理5.2.1 点C(x0,y0)是二次曲线(1)的中心，其充要条件是：,推论 坐标原点是二次曲线的中心，其充要条件是曲线方程里不含x与y的一次项.,二次曲线(1)的的中心坐标由下方程组决定：,如果I20，则(5.22)有唯一解，即为唯一中心坐标,如果I20，分两种情况：,定义 有唯一中心的二次曲线叫中心二次曲线,没有中心的二次曲线叫无心二次曲线,有一条中心直线的二次曲线叫线心二次曲线,无心二次曲线和线心二次曲线统称为非中心二次曲线。,二次曲线分类：,渐近线求法1：求出中心，再求出渐近方向即可得到渐近线的参数方程。,定义 通过二次曲线的中心，而且以渐近方向为方向的直线叫做二次曲线的渐近线。,它的渐近线即为中心直线。,定理 二次曲线的渐近线与这二次曲线或者没有交点，或者整条直线在这二次曲线上成为二次曲线的组成部分。,则l与曲线不相交，,例1 试证明如果二次曲线 a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0有渐近线，那么它的两渐近线方程是(x-x0,y-y0)a11(x-x0)2+2a12(x-x0)(y-y0)+a22(y-y0)2=0,式中(x0,y0)为二次曲线的中心。,证明：设(x,y)为渐近线上任意一点，则曲线的渐近方向为：,X:Y=(x-x0):(y-y0),所以(x-x0,y-y0)=0,即：a11(x-x0)2+2a12(x-x0)(y-y0)+a22(y-y0)2=0,例2 求二次曲线 x2-3xy+2y2+x-3y+4=0 的渐近线。,解法一：由,解得中心为C(-5,-3),由(X,Y)=X 2-3XY+2Y 2=0解得渐近方向为:,X1:Y1=2:1,X2:Y2=1:1,所以渐近线方程为:,即x-2y-1=0,x-y+2=0,解法二：同解法一求得中心为C(-5,-3)，,由上题得渐近线为：,(x+5,y+3)a11(x+5)2+2a12(x+5)(y+3)+a22(y+3)2=0,或(x+5)-2(y+3)(x+5)-(y+3)=0，,即x-2y-1=0,x-y+2=0,
