二次型与对称矩阵(新).ppt

Ch5 二次型,如,在平面解析几何中,配方：,是椭圆.,二次曲线的一般方程为:,令,得,其中,不全为零.,如,在空间解析几何中,配方：,是球面.,二次曲面的一般方程为:,其中,不全为零.,定义5.1,(一),5.1 基本概念,含有n个变量,的二次齐次,多项式,其中,称为一个n 元二次型,简称为二次型.,二次型及其矩阵,当,是实数时,称为实二次型.,本章只讨论实二次型.,令,其中,A为对称矩阵.,对称矩阵A称为,二次型,的矩阵,如,它的矩阵为,矩阵A的秩称为,二次型,的秩.,如,此二次型的矩阵为,是对称矩阵.,如,对应的矩阵为,是对称矩阵.,的矩阵为,的矩阵为,二次型,对称矩阵,的矩阵为,反之，,设A是任一对称矩阵,故二次型可以用矩阵的形式表示：,对称矩阵A,二次型,对称矩阵A,二次型,为二次型,为矩阵A对应的二次型,的矩阵,例如对称矩阵,=,=,又如,又如:,A为对称矩阵,A对应的二次型为:,A对应的二次型为:,又如,A对应的二次型为:,给定一个n元二次型,反之,二次型和对称矩阵一一对应.,就可得到唯一,的n阶对称矩阵A,A为该二次型的矩阵,二次型,就可得到唯一,A就是此二次型的矩阵.,A的秩称为该二次型的秩。,的n元二次型,可写为,给定一个n 阶对称矩阵A,例,二次型,对应的矩阵为,对二次型,存在许多矩阵B,C,F,使得,但只存在一个,对称矩阵A,使得,在平面解析几何中,所表示的曲线的性态，,使曲线方程化为,作转轴变换,方程化为：,整理得,此方程只含x,y的平方项,从x,y到x,y的线性替换,（二）线性替换,双曲线.,为了解二次方程,用转轴变换,标准形,矩阵的合同,定义5.2,称为由变量,线性替换(5.3),称为线性替换(5.3),(5.3),和,具有如下关系,的线性替换.,到,可以用矩阵形式表示,的矩阵.,设两组变量,(5.3)称为,此时C-1存在,当C是正交矩阵时,称为线性替换 X=CY 的,称线性变换 X=CY,为正交替换.,或可逆,线性替换.,(5.3),非退化的线性替换.,逆替换.,例如转轴变换,为由变量x,y 到 x,y 的线性替换.,此线性替换是正交替换.,也是正交替换.,是正交矩阵,也是可逆线性替换,Q可逆,其逆变换为,给定二次型,设该二次型,化为:,证,则,对称，,经过线性替换,定理5.1,二次型,(其中A对称),经过可逆线性替换,得到以B为对称矩阵的,二次型,则,且,证,线性替换,可逆，,即矩阵C可逆，,经过k次列变换,再经过k次行变换,其中,为初等矩阵.,定义5.3,定理,如果存在n 阶,使得,则称矩阵A与B合同,原二次型的矩阵,合同。,A与B合同,A与B相似记为,存在可逆矩阵C,存在可逆矩阵P,如果C是正交矩阵,此时,则B与A既相似又合同.,可逆矩阵C,设A,B是两个n 阶矩阵,经过非退化线性替换,与新二次型的矩阵,则,若 B=CTAC,使得,使得,CTAC=B,它具有如下性质:,（1）反身性：,（2）对称性：,（3）传递性：,“合同”是矩阵之间的一种关系,则,则,对任意方阵A，,若,若,有,作业,P196 17（1）（3）P229 1，2,