《高等数学》上册(课件全集)第2章导数及微分.ppt
第2章导数及微分,【学习目标】1.了解导数、微分的概念及导数、微分的几何意义，会求曲线的切线和法线方程；2.熟练掌握基本初等函数求导公式及导数四则运算法则；掌握复合函数、隐函数的求导方法；3.了解高阶导数的定义，会求高阶导数；理解二元函数偏导数的概念，会计算简单的二元函数的偏导数；4.掌握基本初等函数的微分公式及微分的四则运算法则，会用微分近似公式进行计算.,2.1导数的概念,1.问题的提出引例1变速直线运动的速度问题.设一质点从点出发作变速直线运动，其运动方程为s=s(t).求质点在任一时刻t0的瞬时速度，如图2-1所示.,我们知道，当质点作匀速直线运动时，其速度v等于经过的路程s与所用时间t之比，即,设变速直线运动的质点在时刻t0 到 t0+t 内所经过的路程为s，即,则在时间段t内的平均速度,显然，时间段t越小，质点运动速度变化越小,可近似看做匀速直线运动,平均速度v就越接近于质点在t0时刻的瞬时速度v(t0)，即当t0，平均速度v的极限，便是质点在t0时刻的瞬时速度，即,2.导数的定义定义设函数y=f(x)在点x0的左右近旁有定义，自变量x在点x0处有改变量x(x0)(也叫自变量的增量)时，相应函数的改变量(也叫函数的增量)为y=f(x0+x)f(x0).当x0时，若比值yx 的极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并称此极限值为函数y=f(x)在点x0处的导数值，记作f(x0)，即,也记作,如果极限 不存在，则称函数y=f(x)在点x0处不可导.,如果函数y=f(x)在区间(a,b)内任意点x处都可导，则称函数y=f(x)在区间(a,b)内可导.,对每一个x(a,b)，都对应着函数y=f(x)的一个导数值，于是得到一个新的函数f(x)，这个新的函数f(x)称为函数y=f(x)的导函数，简称为,导数.记作f(x)，即,显然，函数y=f(x)在点x0处的导数值f(x0)，就是导函数f(x)在点x0的函数值.,由定义知，引例1中，变速直线运动s=s(t)的质点在t0时刻的瞬时速度()()，引例2中曲线y=f(x)在点M(x0,y0)处切线的斜率k=f(x0).,3.导数的几何意义由引例2知道，函数y=f(x)在点x=x0处的导数f(x0)，表示曲线y=f(x)上的点M0(x0,y0)的切线斜率，这就是导数的几何意义.如图-3所示，若切线的倾斜角为，则,如果f(x0)不存在，即斜率k=tan不存在.当曲线y=f(x)在点M0处连续时，曲线y=f(x)在点M0处有垂直于x轴的切线.在工程技术上，经常要用到法线的有关知识，把过切点且与切线垂直的直线称为法线.,根据导数的几何意义，过曲线y=f(x)上点M0(x0,y0)的切线方程为,对应的法线方程为,当f(x0)=0时，切线方程为y=y0，法线方程为x=x0.,.2初等函数的求导法则,1.导数的基本公式前一节由导数的定义，求出了几个简单函数的导数，但对于较复杂的函数，用定义求导往往比较困难.为此，本节介绍导数的基本公式、求导法则和求导方法，借助这些基本公式、法则和方法就可以方便地求出初等函数的导数.所有基本初等函数的导数基本公式如下：,2.和、差、积、商的求导法则若函数u=u(x)和v=v(x)都在点x处可导，那么函数u(x)v(x)，u(x)v(x)，(v(x)0)都在点x处可导，并且,特别地，当u(x)=C(为常数)时，有()().,3.复合函数的导数如果函数u=(x)在点x处可导，y=f(u)在对应点u=(x)处也可导，则复合函数y=f(x)在点x处可导，且,这个法则可以推广到两个以上的中间变量的情形，如果y=y(u)，u=u(v)，v=v(x)，且它们在各对应点处的导数存在，则,上述公式也叫复合函数求导的链式法则.,利用复合函数的链式法则求导时，关键是将所给的复合函数分解成若干个简单的函数，而这些简单函数的导数是可求的.,4.高阶导数定义如果函数y=f(x)的导数f(x)仍可导，那么f(x)叫做函数y=f(x)的二阶导数，记作y，即,也记作,相应地，()为函数()的一阶导数.一般地，函数y=f(x)的n1阶导数的导数称为()的n阶导数，记作,二阶及二阶以上的导数称为高阶导数.,2.3隐函数及偏导数,1.隐函数的导数如果对于x值，通过F(x,y)=0都有确定的y值与之对应，那么由方程F(x,y)=0，也就确定y是x的函数.这种函数关系，隐藏在方程F(x,y)=0之中，所以，把由方程F(x,y)=0所确定的函数称为隐函数.,如果y能从方程F(x,y)=0中解出，那么隐函数成为显函数y=f(x)，它的导数可按前面方法求出.对于y不能从方程F(x,y)=0中解出的隐函数.,2.偏导数函数y=f(x)只含一个自变量时，我们把它叫做一元函数.如果有三个变量x、y、z，对于变量x、y，在各自变化范围内的每一组确定的x、y的值，按照某种对应关系，z都有唯一确定的值与之相对应，那么称z为x、y的二元函数，记作z=f(x,y).,定义设二元函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的附近有定义，当自变量y保持y0不变，而自变量x有改变量x时，函数相应地有关于x的改变量(偏改变量或偏增量),如果极限,存在，则称此极限为函数f(x,y)在点P0(x0,y0)处，对x的偏导数，记作,类似地，可以定义函数f(x,y)在点P0(x0,y0)处对y的偏导数，记作,如果函数z=f(x,y)在某个平面区域D内的每一点(x,y)处，对x的偏导数都存在，那么，这个偏导数就是x,y的函数，称它为z=f(x,y)对自变量x的偏导函数，简称偏导数，记作,类似地，可以定义(，)对自变量y的偏导数，记作,那么，(x0，)、(x0，)就是偏导数(，)、(，)在点(x0，)处的函数值.,按照对自变量求导次序的不同，可得到以下四个二阶偏导数，分别记作,其中 称为(，)的二阶混合偏导数.以此类推，可得三阶、四阶、阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.记号与二阶偏导数类似.,2.4函数的微分,1.函数微分的概念在实际问题中，有时还需要研究函数改变量的近似值.,定义设函数()在点x0处可导，则称(x0)为函数()在点x0处的微分，记作x0，即,可见，微分有如下特点：(1)微分是函数改变量的主要部分，当很小时，可用它近似代替；(2)微分x0(x0)是的线性函数，以导数(x0)为系数，较容易计算.根据微分的定义，得,也就是说，自变量的微分就是自变量的改变量，即,通常，把函数()在处的微分()写成,从而,就是说，函数的导数等于函数微分与自变量微分之商.因此，导数也叫做微商，函数可导也叫做函数可微，反之亦然.,2.微分的基本公式和运算法则由于函数微分等于函数导数与自变量微分之积，因此容易得到如下的微分公式和运算法则.由导数的基本公式，可得微分的基本公式如下：,如果函数()，()在点处都可微，那么、/()在点处也可微，且,3.复合函数的微分当()及()都可导时，由微分定义及复合函数求导法则，可得函数()的微分为()(),由于()所以,这说明，不论是自变量还是中间变量，函数()的微分形式都是,4.微分在近似计算中的应用由前面讨论可知，如果函数()在x0处可微，当很小时，有近似公式,或者,令x0，则,
