《数图》第6章小波变换.ppt

Digital Image Processing,1,数字图像处理基础,Digital Image Processing第六章 小波变换,Digital Image Processing,2,小波（wavelete）变换：上一世纪80年代以来发展起来的一种局部化时频域分析方法，具有傅立叶变换、Gabor变换等所不具备的优良特性：如多尺度分解性、时频联合分析、方向选择、对象的自适应性等。以多尺度分解为核心特性，和人的视觉特性十分相似。主要内容：从傅里叶变换、短时傅里叶变换到小波变换的演变；信号空间理论和多分辨率分析理论；三种基本方式：连续小波变换(CWT)、小波级数展开和离散小波变换(DWT)；将一维小波变换推广到二维；小波变换在图像处理中的几种应用。,Digital Image Processing,3,第1节 从傅立叶变换到小波变换,（1）傅立叶变换的局限1）傅立叶积分变换：对连续非周期函数f(x)(6.1)(6.2)2）傅立叶级数展开：对连续周期为L的函数f(t)(6.3)(6.4)3）离散傅立叶变换：对周期为N的离散序列函数f(n)(6.5)(6.6)傅立叶变换是一种映射，将时域信号映射到频域，形成傅立叶频谱，确立了信号波形f(t)和信号频谱F()之间的严格对应关系，有可能将时域内难以显现的特征在频域中十分清楚地凸显出来。,频域离散化，频域积分换为求和运算，,时域积分换为求和运算，时域离散化，,Digital Image Processing,4,傅立叶变换的不足之处：1）时频分离 傅立叶变换的f(t)与F()间的彼此相对独立，没有将时、频信息组合在一个域：频谱函数F()中任意一个频率分量是全体时域函数f(t)的积分贡献，时域函数f(t)中任意一个时间分量是全体频谱函数F()的积分贡献。在频谱中不容易得到它的时间信息，在时域波形中不容易得到它的频谱信息。2）基函数非紧支 在线性变换中，变换系数，表示f(t)和h(t)的相似程度。在傅立叶变换的基函数为复正弦波曲线，从+到-，非紧支集（not compact）；不能有效地表示局部的、短暂的时变语音信号、图像信号、地震信号等。,Digital Image Processing,5,(2）时频分析 为克服傅立叶时频分析相对独立性的缺陷，在傅立叶变换中加上宽度较窄的“窗函数”，如Hanning窗、Gabor窗等。随着时间窗的移动，频域出现的是这一窗内信号的频率分量，傅立叶频域自然就带上了时间信息，形成了时间和频率的二维表示。,音乐五线谱表示，一个生动的时频变化信号。,Digital Image Processing,6,时频分析示例,（3）Gabor变换 可移动的窗函数g(t-)和信号f(t)相乘，得到加窗后信号的傅立叶频谱。(6.7)窗口函数g(t)有多种选择，如选高斯函数，则为 Gabor变换，信号f(t)的Gabor变换实际上是f(t)g(t-)的傅立叶变换：(6.8)Gabor反变换：(6.9),Digital Image Processing,8,信号的Gabor变换：实际上是f(t)中以为中心、宽度为2t 的局部时间内的频谱特性，窗口宽度2t 决定了Gabor变换的时间分辨率；窗口频宽2决定了Gabor变换的频域分辨率。Gabor变换特性:通过窗函数可以反映信号在任意局部范围内的频域特性。Gabor变换中：信号的时间分辨率和频率分辨率，它是由窗口函数决定的，一旦窗函数选定，其时窗宽度t和频窗宽度就已确定，既不随时间移动改变，也不随频率高低而改变。,Digital Image Processing,9,（4）时宽与频宽 在时频分析中，希望增强时域和频域的局部分析能力，即t 和尽量小。但选定了固定的窗函数后，Gabor分析受到Heisenberg 测不准原理限制：(6.10)固定时窗限制了频窗变窄，在整个时频面上，时窗和频窗的宽度不变。要克服这一限制，做到自适应改变可移动的窗函数的宽度：分析高频信号时，时域变化剧烈，可采用窄时窗，频域窗口较宽，提高频域分辨力；分析低频信号时，时域变化缓慢，可采用宽时窗，频域窗口较宽，提高时域分辨力。这样的思路，实际上就是引起小波变换的最基本的动因。,Digital Image Processing,10,（5）小波变换(Wavelet Transform)用“小波”（小波基）替代傅立叶变换的“大波”（正弦基）。小波基函数种类多，有频率的变化，有位置的变化，适应各种瞬时信号。小波的两个特征，“小”与“波”。“小”具有快衰减性，在时间域上具有紧支集（compact）或近似紧支集；“波”具有波动性，其振幅正负相间的震荡形式，频谱的直流分量为零。通过伸缩和平移运算对信号逐步进行多尺度细化：达到高频处时间细分，低频处时间粗分，自动适应时频信号分析的要求，可聚焦到信号的任意细节，小波变换称为“数学显微镜”。,Digital Image Processing,11,第2节 信号空间,1.距离空间 空间两元素之间距离的定义：设集合X中任意两个元素x与y都对应一个实数，且满足下面3个条件：非负性：对称性：三角不等式：则 为x与y之间的距离，称X是以 为距离的距离空间。距离是标量。常见的几种距离定义如下，它们都符合距离定义的三项要求：1）n 维实数空间R n 中欧氏距离：(6.11),Digital Image Processing,12,2）n 维实数空间R n 中最大绝对距离定义：(6.12)3）连续函数空间Ca,b中的距离定义：(6.13)4）平方可积函数空间中的距离定义：(6.14)5）平方可和离散序列空间 中距离定义：(6.15),以上式中x、y皆为n 维矢量,Digital Image Processing,13,2.线性空间 设X为一非空集合，若在X中规定了线性运算（元素的加法和元素的乘法），且满足相应的加法的结合律及数乘的分配律，则称X为一线性空间。（1）线性赋范空间 在线性空间中定义“长度”（范数，normal）概念，使其可度量：设X为线性空间，若对于任意 有一确定的非负实数 与之对应，且满足：非负性：常数相乘：三角不等式：则称 为 x 的范数，X为线性赋范空间。,Digital Image Processing,14,如在Rn空间，几种常见范数 1范数 2范数 范数 由范数可以诱导距离，令，因此线性赋范空间一定是距离空间。（2）巴拿赫空间（Banach）若空间X中任一柯西(Cauchy)序列都有极限，且此极限都在X中，则该空间是完备的(completed)，完备的线性赋范空间称之为巴拿赫空间。柯西序列 是指当 时，。,(Euclid范数),Digital Image Processing,15,（3）内积空间 在线性赋范空间引入内积（“角度”）概念，定义如下：设X为复数域C上的线性空间，若在Descartes积空间XX中定义一个 实函数，对任意，都有惟一的 与之对应，且满足：非负性：对称性：分配性：则称函数 为X 中的内积，定义了内积的空间X 称之为内积空间。,Digital Image Processing,16,连续函数内积：离散序列内积：在内积空间中，如果定义范数为，则是由内积诱导的范数；如果定义距离为，则此内积空间必为线性 赋范空间。（4）希尔伯特空间（Hilbert）完备的内积空间称之为希尔伯特空间：若内积空间X按范数 完备，则称X为Banach空间。,Digital Image Processing,17,3.正交基和框架（1）正交基 1）函数序列张成的空间 设 为一函数序列，X表示 所有可能的线性组合张成的集合，即（6.16）称X为由函数序列 张成的线性空间，对任意函数，都有（6.17）2）基底（basis）若 是线性无关的，使得对任意，上式中系数 取唯一值，则我们称 为空间X的一个基底。,Digital Image Processing,18,3）完备标准正交基若内积空间X中，对任意，若，则称 为正交的，用 表示。依次类推，若内积空间X中的基底满足，当c=1时，（6.18）则称 为X中的标准（归一化）正交基。进一步：对于X中的标准正交基，若，n=1,2,n，则必有。换言之，X 中不再存在非0元素，它与所有的 正交，则称 为 X 中的完备标准正交基。,Digital Image Processing,19,4）双正交基 有时X中的基底 之间并不满足正交关系，可引入对偶基：（6.19）基底和其对偶基元素之间相互正交，对任意，可用它们展开：（6.20）正交性存在于基 和对偶基 之间双正交基。,Digital Image Processing,20,（2）框架（frame）对一函数序列，如各个元素互不独立，则称之为“框架”；框架展开系数有一个能量限制，必须满足下述定义：设Hilbert空间H中的一个函数序列，若对于任意，存在实数，使得下述不等式成立：（6.21）则称 为框架，A、B为框架的上下界。(6.22)紧框架一般并非正交，当A=B=1时，紧框架退化为标准正交基。,若A=B，为紧框架,函数g(t)的框架展开不是唯一的。,Digital Image Processing,21,第3节 多分辨率分析,多分辨率分析（MRA，Multi-Resolution Analysis）现代信号处理中的一个重要的概念。例如，不同比例的地图就形成了一套典型的多分辨率图形：全国地图，可以分辨地形地貌（山川、湖泊等）的主要特征，但无法分辨细节；城市地图，可以分清局部细节（街道、广场和公园等），但无法看到大特征。再如，照相机镜头不同拉伸（zoom）时形成的一套多分辨率照片：当镜头拉远时，我们看到的大场面，能够分辨大的特征，但看不清细节；当镜头拉近时，能够看清细节，但看不清大特征。小波基函数：a1时，时域变宽，便于表现大特征；a1时，时域变窄，便于分析细节。导致了信号多分辨率分析的最基本思路。,Digital Image Processing,22,1.尺度函数和尺度空间 若 函数 的整数平移序列 满足 则 为尺度函数（scaling function）。张成零尺度空间V0：(6.23)对任意，可由V0空间的尺度函数的线性组合表示：,Digital Image Processing,23,尺度函数既平移又伸缩：（6.24）张成Vj 尺度空间：（6.25）对任意，可由Vj空间的尺度函数的线性组合表示（6.26）由此，尺度函数在不同尺度下其平移序列构成了一系列的尺度空间：,24,尺度j 增大，j=2，尺度函数的定义域变大，实际的平移间隔（由2 j 决定）变大，它们的线性组合式（6.26）不适宜表示函数的细微（小于该尺度）变化，因此其张成的尺度空间只能包括大跨度的缓变信号。尺度j 减小，j=0，尺度函数的定义域变小，实际的平移间隔变小，它们的线性组合式便能表示函数的更细微（小尺度范围）的变化，张成的尺度空间所包含的函数增多（包括小尺度信号和大尺度的缓变信号）。随着尺度j 的减小，尺度空间变大。,Digital Image Processing,25,2.多分辨率分析（MRA，Multy Resolution Analysis）由不同的尺度函数和尺度空间可以组成一个多分辨率分析，满足下述性质的 上的一系列闭子空间。1)一致单调性：（6.27）反映不同尺度空间之间的包含关系。2)渐进完全性：（6.28）3)伸缩规则性：（不同尺度间）若，则（6.29）,Digital Image Processing,26,4)平移不变性（同一尺度内）：若，则（6.30）5)尺度函数存在性：存在尺度函数，使得 成为 的一个线性无关基。（6.31）MRA分析：所有闭子空间都是由同一尺度函数伸缩、平移系列张成的尺度空间。,Riesz基,Digital Image Processing,27,3.小波分析（1）小波函数和小波空间 MRA的一系列尺度空间是由一个尺度函数在不同的尺度下张成的，不同的尺度空间互相包含，基函数在不同尺度间不具有正交性，在同一尺度下具有正交性。定义尺度空间的补空间：（6.32）,Digital Image Processing,28,任意 与 是相互正交的（空间不相交），记为。由（6.27）（6.28）式可知：（6.33）因此，构成了 的一系列正交的子空间，由（6.33）可得：，（6.34）由尺度函数伸缩规则可得：如果，则（6.35）设 为 的正交基，则 为 的正交基。的整个集合必然构成了 空间的一组正交基。是由同一母函数伸缩、平移得到的正交小波基（小波函数）。,小波空间,Digital Image Processing,29,（2）正交小波分解 多分辨率分析：对于任意函数，可以将它分解为细节部分和大尺度逼近部分，然后将大尺度逼近部分进一步分解，如此重复可以得到任意尺度（分辨率）上的 大尺度逼近部分和细节部分。,30,【例6.3】一连续信号f(t)在尺度空间的投影为信号的细节fs(t)，在小波空间的投影为信号的细节fd(t)。,Digital Image Processing,31,j尺度下的概貌信号 其中，尺度展开系数为：（6.36）j尺度下的细节信号 其中，小波展开系数为：（6.37）若将 按以下空间组合展开：（6.38）,Digital Image Processing,32,其中J为任意设定的尺度，则形成小波综合公式：（6.39）（6.40）记dj,k为f(t)的离散小波变换WTf(j,k)，离散小波变换综合公式（逆变换）为（6.41）离散正交小波变换同多分辨率分析的思想是一致的。,Digital Image Processing,33,4.小波函数的构造 尺度函数张成尺度空间一定条件MRA相邻尺度空间之差小波空间。要构造离散小波变换，需要确定尺度函数和小波函数。（1）尺度函数和小波函数的正交性 1）尺度函数在同一尺度 下正交：不同尺度之间不正交。（6.42）2）小波函数在所有空间正交：（6.43）3）同一尺度下小波函数同尺度函数正交：（6.44）,Digital Image Processing,34,（2）二尺度方程 由MRA可知，V0空间的任一函数可用V1空间的尺度函数线性展开：其中展开系数h0(n)、h1(n)分别为：（6.47）（6.45）和（6.46）为二尺度方程：描述相邻二尺度空间基函数之间的关系。,Digital Image Processing,35,频域的二尺度方程：,Digital Image Processing,36,（3）尺度向量和小波向量 二尺度关系存在于任意相邻尺度 j 和 j-1 之间，即：（6.50）（6.51）展开系数h0和h1是由尺度函数和小波函数决定的，与具体的尺度j无关。称滤波系数 h0为尺度向量，h1为小波向量，具有以下特性：，（6.52）,Digital Image Processing,37,（4）构造小波函数 1）尺度函数尺度向量小波向量小波函数；2）尺度向量尺度函数小波向量小波函数。,Digital Image Processing,38,第4节 连续小波变换,1.连续小波变换（1）小波基函数 是实函数，其傅立叶谱为，若满足。则符合“小波”基函数的两个特点：迅速收敛到零，能量有限；无直流分量，幅度正负振荡，频谱为带通型。只要满足上述条件，小波基可以任意选择，经伸缩和平移产生小波基函数：（6.53）a为伸缩（Scaling）因子，当a1时，波形拉宽，当0a1时，波形缩窄。b为平移因子，标度波形在水平方向平移的位置。平移因子b的存在，使得在小波变换以后在变换域中也保留了时间标注。,Digital Image Processing,39,【例6.4】Marr小波基函数，又称墨西哥草帽函数，实际上是高斯函数的二阶导数。,Digital Image Processing,40,（2）一维连续小波变换（CWT）一维CWT：（6.54）a 表示伸缩，1/a相当于频率的概念，b 表示平移，相当于时间的概念。一维的函数经小波变换以后，变为二维的小波系数函数，是a、b的函数。一维连续小波反变换（ICWT）：（6.55）式中 相当于频率的增量。在小波变换中，正反变换核相同。,Digital Image Processing,41,（3）二维连续小波变换 2D-CWT：（6.56）2D-ICWT：二维基本小波，bx、by分别表示在x方向和y方向的位移。,Digital Image Processing,42,（4）连续小波变换的性质 1）线性叠加 若，则（6.57）2）时移不变 若f(x)的CWT为，则f(x-x0)的CWT为（6.58）3）尺度转换 若f(x)的CWT为，则 的小波变换为（6.59）4）内积定理（Moyal 定理）若f1(x)和g(x)的CWT分别为 和，则两个函数的内积为（6.60）,Digital Image Processing,43,2.金字塔分解 在小波变换和三个方面技术：金字塔分解，带通滤波器组，子带滤波。拉普拉斯金字塔图像分析：将MM原图像(V0层)首先分解为(M/2M/2)的V1层图像，V1层图像分解为(M/4M/4)的V2层图像，一直分解到最后一层（一个像素）。金字塔分解实际上就是图像的多分辨率分析，每一层图像都表示某一个分辨率：越小（高层）的图像分辨率越粗，细节成分越少，表征图像的大特征；越大（低层）的图像分辨率越细，细节成分越多，表征图像的小特征。金字塔方式分解在下采样之前，采用G-LPF对图像进行滤波，限制滤波后图像带宽。一幅图像的金字塔分解的结果为f0+f1+f2+，分解后总的容量为：,Digital Image Processing,44,金字塔分解示意图,Digital Image Processing,45,二级分解/综合方法：和小波变换的多尺度分解/综合方法的思路一致，导致了一种小波变换的快速算法。,Digital Image Processing,46,3.滤波器族（1）小波变换的带通等效 小波基函数 共轭翻转函数（6.61）CWT（6.62）小波变换 小波基函数*共轭翻转函数“小波变换”变成了“带通滤波组”。a=1，2，n 时滤波器组合在一起形成了小波变换。,Digital Image Processing,47,（2）二维滤波器组（2-D filter banks）2D-CWT可用一组二维带通滤波器组来替代，滤波器组的所有的输出组成了的二维小波变换的结果，2D-CWT的结果是三维函数，存在冗余度，主要价值在图像的分解和分析。,Digital Image Processing,48,4.子带滤波 子带滤波最初用于音频，后来发展应用到图像处理领域。信号频谱低带+高带 分别处理 处理后信号频谱低带ed+高带ed。分别针对信号不同频带的特点进行处理，比对整体信号进行处理有效。分解以后的子带还可以进一步再分解，如此进行下去，就是小波分解方法。（1）子带分解和综合,49,x(i)的2抽取信号 x(i)的2插值信号（6.63）（6.64）可得：（6.65）（6.66）输入和输出的关系（参照图6.15）：（6.67）,Digital Image Processing,50,要使F(z)=Y(z)，方法之一是（6.67）式中以下2条件同时成立：第2项：，保证没有频谱混叠；第1项：，保证重建信号为F(z)。正交镜像滤波器（QMF，Quadrature Mirror Filter），在0sN区间满足：,Digital Image Processing,51,（2）从子带滤波到小波变换 Mallat定义了一种采用双子带编码的快速小波变换算法（FWT），如上图，又称为“鱼骨算法”（herring bone algorithm）。,Digital Image Processing,52,第5节 离散小波变换,1.参数的离散化（1）离散小波变换（DWT，Discret Wavelet Transform）对小波连续变换的参数a、b离散化，如 a=a0j，b=ka0jb0。离散化小波函数：（6.68）离散小波变换为：（6.69）离散小波反变换为：（6.70）,Digital Image Processing,53,（2）二进小波（Dyadic Wavelet）设a0=2，则a=2j，设b0=1，则b=2 jk，形成二进制平移和伸缩。二进小波函数：（6.71）二进小波变换：（6.72）二进小波反变换：（6.73）,54,二进小波基函数的示例,Digital Image Processing,55,（3）正交二进小波 如果二进小波函数 满足：（6.74）则称为正交小波集。如果任一函数 f(x)，可由正交小波基的线性组合表示，也可称作小波级数：（6.75）,f(x)的小波系数,Digital Image Processing,56,（3）正交小波基几例 1）Haar正交小波基:（6.76）2）Meyer正交小波基，其傅里叶变换为：（6.77）3）二阶Marr正交小波基:（6.78）4）Morlet复正交小波基:（6.79）频谱（6.80）,57,2.二维多分辨率分析 用一维张量乘积构造的二维尺度空间，各维变量是相互独立的。二维j 尺度空间为：（6.81）如果 是 Vj 的标准正交基，则 是 的标准正交基。,Digital Image Processing,58,由 构成的张量积二维MRA：1）2）（6.84）3）（6.85）4）,Digital Image Processing,59,3.二维离散小波变换 二维尺度向量 二维尺度函数 可分离 一维尺度函数 小波函数 4个基本小波:由此可建立二维二进小波函数集：（6.87）,Digital Image Processing,60,（1）二维小波正变换 NN的图像f1(x,y)，N=2 i，二维离散小波变换的第一层分解（j=1）如下：（6.88）（6.89）（6.90）（6.91）当j=2时，可以一直分解下去。具体运算时，在行和列两个方向上的间隔抽样后依次做下去。,Digital Image Processing,61,【例6.6】图像的三层小波分解实际过程如图6.20所示。,Digital Image Processing,62,图6.20 图像小波分解的示例,Digital Image Processing,63,64,（2）二维小波逆变换 二维小波逆变换（IDWT）过程和正变换相反，其中一层的计算如图6.21所示。,Digital Image Processing,65,4.双正交小波变换 可以证明：除了Haar小波外，不存在实的、规范正交的小波函数，同时具有紧支性以及对称、反对称性。在小波变换中，看重小波函数的紧支性和对称性，宁可适当牺牲正交性，往往采用双正交小波替代正交小波。小波正变换用小波基 反变换用对偶基 小波分解，小波重建 小波分解，小波重建,两者之间双正交,66,（1）一维双正交小波变换 一维双正交小波变换，4个离散滤波器，滤波器需满足下述条件：（6.92）（6.93）用4个滤波器实现f(x)双正交小波变换中的一次分解与重建的过程。,Digital Image Processing,67,（2）二维双正交小波变换 将一维双正交变换的方法直接推广到二维：正变换采用的4个二维小波基函数 反变换采用的4个二维对偶基函数,Digital Image Processing,68,第6节 小波的选取及应用,1.小波的选取 小波基函数的选择：小波变换不是固定基函数的变换，不一定是正交变换，不强求是“单”正交基；只要符合一定的条件就可以用作小波变换的基函数，其选择具有很大的灵活性；并非所有的小波基都适合于图像处理，不同的基函数对处理的效果有很大影响。选择考虑：考虑待处理信号本身的特点：图像，视频，考虑到应用的场合：压缩，去噪，恢复，融合，检测，,Digital Image Processing,69,（1）正交性 小波变换：原始图像与小波基函数、尺度函数的内积运算。如Mallat算法，小波基际上就是正交或双正交镜像滤波器(QMF)。规范正交小波基，图像多尺度分解得到的各子带数据分别落在相互正交的子 空间，此特性有利于小波分解系数的精确重构。但大部分正交小波基是不是紧支的，不利于滤波计算，因此，在图像处理中常选用双正交小波基：双正交只要求两个小波系之间正交，要求放宽，范围加大，不增加计算负担。如Mallat方法，双正交是指：低通分析滤波器 和 高通重建滤波器 正交，低通重建滤波器 和 高通分析滤波器 正交。,Digital Image Processing,70,（2）紧支集 紧支集：小波基函数(t)在有限区域外皆为0；急降：当t时，(t)快速衰减或具有指数规律衰减。紧支性的好处：紧支宽度越窄或衰减越快，小波的局部化特性越好；紧支小波分解可以用FIR滤波器实现，运算精度较高。非紧支撑小波在运算时必须截短。但：一个函数不可能在时域和频域都是紧支的，最多在一个域是紧支的，另一个域是急衰的。一般希望小波基能够在时域上具有紧支性。,Digital Image Processing,71,（3）对称性 人类视觉系统对图像的边缘比较敏感，希望滤波器是紧支、对称或反对称；非对称滤波器的非线性相位特性易导致图像边缘的错位；大多数的实际图像处理要求滤波器具备线性相位特性。对称的滤波器：结构具有运算简单、便于边界处理的优点。但紧支集的小波一般不具有对称性：除Harr小波外，一切具有紧支集的规范正交小波基函数及其尺度函数 都不可能是对称或反对称的。因此，往往只能放松对正交性的要求，采用双正交小波基来保持线性相位。,Digital Image Processing,72,（4）正则性（regularization）正则性：函数光滑程度，函数频域能量集中程度的一种度量。函数的正则性的定义：设01，若对于任意 t、R有(6.94)其中c是一个与t、无关的常数。若(t)的N阶导数满足上式，且r=N+，则称(t)的正则性阶数为r。正则性阶数r越大，意味着(t)越光滑，其频域的能量越集中。小波基的正则性要求和紧支集要求相冲突：支撑集越大，正则性（光滑度）越好；但小波基的局部化特性越差。,Digital Image Processing,73,（5）消失矩（vanishing moments）对于大部分正交小波基，正则性越高就意味着具有更高的消失矩。(t)的k阶矩:kZ=0，1，n-1(6.95)如果(t)的前N阶矩都等于零，则称(t)的消失矩为N。当N=0，有，表明(t)是一个迅速衰减且均值为0的小波。消失矩的大小决定了用小波逼近光滑函数的收敛程度：图像越是光滑，消失矩越是高，导致小波系数越是小。消失矩表明了小波变换后能量的集中程度：消失越矩大的小波基，分解后图像的能量就越集中，压缩的空间就越大。结论：所选的小波基必须具有足够高的消失矩。,Digital Image Processing,74,小结：在图像处理中，并不存在对任何图像处理都能适用的“最优”小波；各项要求之间往往相互矛盾，只能根据具体的应用要求来合理选择小波基。1）小波基的对称性，具有对称性的双正交小波一般具有较好的性能，应尽量选用。2）小波基的紧支性，可以考虑非对称、紧支、双正交小波；3）小波基的正则性，正则性较高对于光滑图像（自然图像）有着较好的处理效果。4）Harr小波，如果图像数据跳变成分多，也可选择计算简单的Harr小波。,Digital Image Processing,75,2.小波变换的提升算法(lifting)传统算法：基于卷积的离散小波变换计算量大，对存储空间的要求高，如Mallat的分解方法中 2：1 的下采样意味着卷积计算中有一半是无意义的。提升算法：不依赖于DFT，在空间域内完成了对双正交小波滤波器的构造。所有能够用Mallat算法实现的小波都可以用提升算法来实现；可实现整数到整数的小波变换，以利于计算机运算。基本思想：通过一个基本小波，逐步构建出一个性能更加良好的新小波。基本方法：使用基本多项式插补来获取信号的高频分量（di 系数），通过构建尺度函数来获取信号的低频分量（fi 系数）。,Digital Image Processing,76,提升算法的三个步骤：分裂（split），预测（predict），更新（update）。1）分裂：f0按像素的奇偶号被分裂成两部分：偶数标号的f0e 和奇数标号的f0o，要求它们具有尽可能大的局部相关性。2）预测：用预测函数P，由偶数值来预测奇数值：(6.93)预测函数P可以是一种插值运算，如由奇偶数点插出奇数点。计算奇数点和奇数预测点之差，形成图像的第一层小波分量d1：(6.94),Digital Image Processing,77,3）更新：寻找第一层小波的概貌部分f1，对于某一个量度标准Q()，使得：Q(f1)=Q(f0)。如，两者均值相等，或能量相等。构造更新操作U，用已经计算出来的小波值d1来更新 f0e，得到满足上式的f1。(6.95)更新的本质就是找到奇偶数据之间的共性图像小波的低频成分。小波第一层分解：通过分裂、预测、更新，由原图像 f0 产生小波低频分量 f1 和小波高频分量 d1；第二层小波分解：通过分裂、预测、更新，由第一层分解得到的概貌图像 f1 产生小波低频分量 f2 和小波高频分量 d2；经过反复n次，完成n层小波分解。,Digital Image Processing,78,3.小波变换的应用（1）图像去噪和增强 小波去噪：利用小波变换的时频局部化特性，有效地消除图像中的噪声。传统的去噪滤波：信号和噪声的频带重叠，信号同噪声难以分开。小波变换非线性滤波：信号和噪声的频谱重叠，但频谱的幅度是不同的。小波系数的模极大值：信号突变处产生的小波系数，模极大值随着尺度的增加而逐渐增加，噪声产生的小波系数，由于噪声的广泛分布，其模极大值一般幅度较小，且随着尺度的增加而逐渐减小。据此，设置一阈值，对那些模极大值逐渐减小的小波系数进行消除、缩小。,Digital Image Processing,79,小波增强：首先，用小波变换，将图像分解为大小位置和方向不同的分量；然后，对感兴趣的分量进行处理，如对其中的高频分量进行加强处理；最后，再进行小波反变换完成图像增强的任务。,Digital Image Processing,80,（2）图像边缘检测 常规边缘检测：在空域利用图像边缘点处的灰度阶跃变化进行边缘检测，当图像边缘灰度变化较弱有，或存在噪声干扰时，检测效果受限。小波域边缘检测：小波系数模的极大值点对应于信号的突变点，可通过检测系数模极大值点来确定图像的边缘。图像边缘和噪声在不同尺度上的小波系数具有不同的特性，在大尺度上，边缘比较稳定，对噪声不敏感，但定位精度较差；在小尺度上，边缘细节信息丰富，定位精度较高，但对噪声比较敏感。因此，在多尺度边缘提取中，对各尺度上的边缘图像进行综合，以得到精确的单像素宽的边缘。提高边缘检测的定位精度与抗噪性能。,Digital Image Processing,81,（3）图像融合 图像融合：将不同方法获取的同一场景的图像数据进行空间配准，采用融合算法将各个图像的优点有机地结合起来，产生新图像，以提高对图像的信息分析和提取能力。目前，基于小波变换的图像融合技术是研究的主流。例如，低分辨率多光谱图像和高分辨率全色图像的融合：充分利用多光谱图像的光谱信息与全色图像的细节信息，使融合后的多光谱图像具有较高的空间细节表现能力，较好地保持原始多光谱图像的光谱特性。,Digital Image Processing,82,图6.24用图(b)所示的高空间分辨率的全色图像的细节分量替代图(a)低空间分辨率的多光谱图像的细节小波分量，然后对多光谱图像的小波系数进行小波逆变换，得到融合的多光谱图像，如图(c)所示。,(a)多光谱图像(b)高分辨率图像(c)融合后的图像 图6.24 图像融合一例,Digital Image Processing,83,（4）数字水印 小波域水印：利用小波变换具有时频局部性和多分辨率特性，小波水印的嵌入和提取都是在小波域中进行的。关键：小波的类型、水印的选取、水印嵌入的强度和位置等，都会影响水印系统的鲁棒性和视觉可见性。小波域水印方法的优点：小波多分辨率分析与人眼视觉特性一致，据此选择适当的水印嵌入位置和强度。可在压缩域中直接嵌入水印，使得JPGE-2000等有损压缩下水印难以被去除。,Digital Image Processing,84,（5）图像压缩 小波图像压缩：小波变换能够将信号能量集中在少数小波系数上，通过量化可压缩图像数据，高压缩比图像质量较好。常见压缩方法：双正交小波变换、小波域纹理模型方法、小波变换零树压缩、小波变换提升算法等。基于小波图像压缩的优点：小波变换对整幅图像进行变换，重构图像可以免除分块编码所固有的方块效应；小波变换更加符合人的视觉特性，量化、编码产生的人为噪声较小；小波变换具有时间频定位能力，可分离图像中平稳与非平稳成分，实现高效编码；小波变换的尺度由大到小变化，可方便地实现分级编码、逐渐显示功能。在图像压缩标准JPEG-2000、MPEG-4 中，小波变换已成为一项主要技术。,