不定积分的概念和性质(IV).ppt

不定积分的概念与性质,一、原函数与不定积分的概念,二、基本积分表,三、不定积分的性质及直接积分法,定义1 设函数 f(x)与 F(x)在区间I上有定义，若,则称F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数,原函数举例,因为(sin x)cos x,所以sin x是cos x的一个原函数.,一、原函数与不定积分的概念,F(x)f(x),xI,提问：（1）什么条件下，一个函数的原函数存在？,（2）如果 f(x)有原函数，一共有多少个？,几点说明：,1原函数存在定理：连续函数一定有原函数.2若F(x)=f(x)，则对任意常数C，F(x)+C 都是f(x)的原函数.如(sin x)cos x,则(sin x+C)cos x.所以原函数的个数有无穷多个且 任意两个原函数之间相差一个常数！证明：(G(x)F(x)=G(x)F(x)=f(x)f(x)=0 所 以 G(x)F(x)=C(C为常数),定义2 f(x)在区间I上全体原函数成为 f(x)在 I上的不定积分.记作,其中f(x)叫被积函数，f(x)dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，记号“”叫做积分号.,根据定义,如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,那么F(x)C就是f(x)的不定积分,即,结论：求f(x)的不定积分只要求它的一个原函数F(x)再加任意常数C.,如果F(x)是f(x)的一个原函数,则,例1 求,解：,如果F(x)是f(x)的一个原函数,则,例2,解：,合并得：,不定积分的几何意义,2x的积分曲线,若F(x)是f(x)的一个原函数，则称F(x)的图形为f(x)的一条积分曲线，,F(x)+c的图形是由F(x)的图形沿 y 轴平移c(任意的）所得积分曲线组成的曲线轴.,如图f(x)=2x的积分曲线图,函数f(x)的不定积分在几何上表示f(x)的全部积分曲线所组成的平行曲线族,结论：,二、基本积分表,解,例4,解,求,性质1,1,性质2(线性性质),2,(k为常数 k0）,三、不定积分的性质,1*,2*,例5,求,解,练习,例6,求,解,例7,求,解,例8,求不定积分,解,注：以上几例被积函数都需进行恒等变形才能使用基本积分表计算.,直接积分法,可用基本积分表计算，或经适当恒等变形后用基本积分表计算的方法,练习,(小结）本堂课主要内容,一、原函数与不定积分的概念,二、基本积分表,三、不定积分的性质及直接积分法,