不定积分的概念(IV).ppt

第4章 不定积分,引 言,由求运动速度、,曲线的切线和极值等问题产生,了导数和微分,构成了微积分学的微分学部分;,时由已知速度求路程、,已知切线求曲线以及,等问题,产生了不定积分和定积分,同,构成了微积分学的积分学部分.,的长度、,曲线围成的面积、,曲面围成的体积,求曲线,前面已经介绍已知函数求导数的问题,们要考虑其反问题:,已知导数求其函数,数或微分求原来函数的逆运算称为不定积分.,现在我,这种由导,4.1 原函数与不定积分,原函数的概念,定义,设 是定义在区间 上的函数,若存在函,数 对任何 均有,或,则称函数 为 在区间 上的一个原函数.,例如,因为,故 是 的一个原函数;,因为,故 是 的一个原函数;,因为,故 是 的一个原函数;,一个函数的原函数不是唯一的,原函数的概念,若 为 在区间 上的原函数,也是 在区间 上的原函数.,1.,(C为任意常数).,函数 的全体原函数为,(为任意常数).,2.,注:,函数求导得来的.,则其全体原函数为,区间 上的连续函数一定有原函数.,求函数 的原函数,实质上就是问它是由什么,而一旦求得 的一个原函数,(为任意常数).,不定积分的概念,定义,若存在原函数,为积分符号,由定义知,则,在某区间 上的函数,称 为可积函数,并将 的全体原函数记为,则,称它是函数 在区间 内的不定积分,其中 称,称为被积函数,称为积分变量.,若 为 的原函数,(称为积分常数),不定积分的概念,注:,由定义知,求函数 的不定积分,就是求,的全体原函数,就是求导(或求微积分)运算的逆运算.,故求不定积分的运算实质上,不定积分的几何意义,例1,求下列不定积分,例2,已知曲线,为,且曲线通过点,求此曲线的方程.,微分运算与积分运算的关系,由不定积分的定义知,即,所以,原函数,若 为 在区间 上的,或,则 在区间 内的不定积分为,易见 是 的原函数,或,微分运算与积分运算的关系,所以,又由于 是 的原函数,或,从上可见微分运算与积分运算是互逆的.,两个运算连在一起时,一常数.,完全抵消,抵消后差,基本积分表,(1),(3),(6),(2),(5),(是常数),(4),基本积分表,(7),(9),(10),(11),(8),不定积分的性质,利用微分运算法则和不定积分的定义,算性质:,性质1,两函数代数和的不定积分,分的代数和.,即,证,证毕.,可得下列运,等于它们各自积,注:,此性质可推广到有限多个函数之和的情形.,不定积分的性质,即,证,证毕.,直接积分法,从前面的例题知道,不定积分是非常不方便的.,为解决不定积分的计算,质和积分基本公式,直接求出不定积分的方法,直接积分法.,利用不定积分的定义来计算,问题,这里我们先介绍一种利用不定积分,的运算性,即,直接积分法,例如,计算不定积分,例4,计算不定积分,(1)若,例5,作业,习题4:2.单号题,练习,求不定积分(1)(2),