不定积分的换元法第一篇.ppt

不定积分与定积分的运算,第三节,二、定积分的换元法,三、分部积分法,一、不定积分的换元法,定积分的分部积分法,不定积分的分部积分法,四、积分的其它例子法,2、第二类换元法,1、第一类换元法,一、换元积分法,第四章,第二类换元法,第一类换元法,基本思路,设,可导,则有,1第一换元积分法(凑微分法),直接验证得知,计算方法正确,我们可以把原积分作下列变形后计算：,换和计算：,第一类换元公式（凑微分法）,计算步骤：,定理1,例1.求,解:令,则,则,原式=,注:当,时,例2 求,解,例3.(1)求,解:,令,则,想到公式,练习：求,解,练习,被积函数的分母为二次式，分母为一次时，而分母的 导数正好为一次式，我们将分子凑成如下形式,解,例3(2).求,想到,解:,(直接配元),练习：求,解,例3(3).求,解:,原式=,例4 求,解,练习：,例5 求,解,例6 求,解,类似地,即,例7,解,例8,解,例9,解,规律1：,例10 求,解,规律2：,例11,解,例12 求,解,例13 求,解1,解2,解3,思考与练习,1.下列各题积分方法有何不同?,第一类换元法解决的问题,难求,易求,若所求积分,易求,则得第二类换元积分法.,难求，,问题,解决方法,做变量替换,消去根号.,过程,令,（应用“凑微分”即可求出结果）,二、第二类换元法,困难:含有根号,定理2.设,是单调可导函数,且,具有原函数,证明略.,则有换元公式,例1.求,解:令,则,原式,例1 求,解,令,例1.求,解:,令,则,原式,令,于是,说明(1),以上几例所使用的均为三角代换.,三角代换的目的是化掉根式.,一般规律如下：当被积函数中含有,可令,可令,可令,更一般地,方法：配方化成以上三种形式之一。,例2,例2 求,解,例3 求,解,例4 求,解,令,说明,被积函数含有两个根式时,取根指数的最小公倍数.,令,令,说明(2),以上几例所使用的均为根式代换.,令,例5 求,解,令,例6 求,原式,令,解,说明(3),当分母中因子次数较高时,可采用倒代换,基本积分表,P204,常用基本积分公式的补充(P204),（补充）,必须熟记！,小结:,1.第二类换元法常见类型:,令,令,令,令,令,2.常用基本积分公式的补充(P204),(7)分母中因子次数较高时,可试用倒代换,令,思考.求,提示:,法1,法2,法3,法4,倒代换,作业,P222 习题4.3(A)部分：2(1)(5)(7)(13)(17)(21)(23)(29)(31)(33)(35)(38)；(B)部分：1(1)(3)(7),