不定积分换元法积分技巧.ppt

第二节 不定积分的换元积分法,一、第一类换元法,二、第二类换元法,三、基本积分表,问题,？,解决方法,利用复合函数，设置中间变量.,过程,令,一、第一类换元法,在一般情况下：,由此可得换元法定理,第一类换元公式（凑微分法）,说明,使用此公式的关键在于将,化为,观察重点不同，所得结论不同.,定理1,例1 求,解（一）,解（二）,解（三）,例2(1)求,解,例2(2)求,解,一般地,例3 求,解,例4(1)求,解,例4(2)求,解,例5 求,解,例6 求,解,同理可得,（使用了三角函数恒等变形）,例7 求,解,例8(1)求,解,例8(2)求,解,例8(3)求,解,例8(4)求,解,求,由例8可知:,例9 求,解,例10(1)求,(2)求,例10(1)求,解,(2)求,解,例11(1)求,(2)求,(3)求,(4)求,例11(1)求,解,例11(2)求,解,例11(3)求,解,(4)求,解,例12 求,原式,解,例13 求,解,例14(1)求,解,例14(2)求,解,例15(1)求,解,例15(1)求,(2)求,解,例15(1)求,(2)求,解,(3)求,例16 求,解,说明,当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.,例17 求,解,例18 求,解（一）,（使用了三角函数恒等变形）,解（二）,类似地可推出,例19 求,解,例20 求,解,（使用了三角函数恒等变形）,例21(1)求,解,例21(2)求,解,例22 求,解,例 求,解,例 求,解,问题,解决方法,改变中间变量的设置方法.,过程,令,（应用“凑微分”即可求出结果）,二、第二类换元法,证,设 为 的原函数,令,则,即有换元公式:,定理2,第二类积分换元公式,例1 求,解,令,例2 求,解,令,例3 求,解,令,例4 求,解,令,例5 求,解,令,再令,例6 求,解,令,再令,说明(1),以上几例所使用的均为三角代换.,三角代换的目的是化掉根式.,一般规律如下：当被积函数中含有,可令,可令,可令,说明(2),积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换.,也可以化掉根式,例 中,令,积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.,说明(3),（三角代换很繁琐）,令,解,例8 求,解,令,说明(4),当分母的阶较高时,可采用倒代换,令,解,例10 求,解,令,（分母的阶较高）,例11 求,解,令,三、,基本积分表,四、小结,两类积分换元法：,（一）凑微分,（二）三角代换、倒代换、根式代换,基本积分表(2),第一类换元积分是把被积函数中的某个函数看做一个新变量.,第二类换元积分是把积分变量看做一个函数.,思考题,求积分,思考题解答,练 习 题,练习题答案,