不定积分换元法.ppt
,二、第二类换元法,第二节,一、第一类换元法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,换元积分法,第四章,第二类换元法,第一类换元法,基本思路,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,可导,则有,一、第一类换元法,定理1.,则有换元,公式,(也称,即,凑微分法),机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1 求,解（一）,解（二）,令,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解（三）,令,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2 求,解,一般地,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3 求,解,例.求,解:,想到公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明：熟悉第一类换元法之后，就没有必要写出中间变量的代换过程,P160,公式(18)SCU,例3.求,想到,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P160,公式(21)SCU,例4.求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,类似,P160,公式(14,15)SCU,例5.求,解:,原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P160,公式(19,20)SCU,常用的几种凑微分形式:,万能凑幂法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.求,解:原式,例8.求,解:原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9.求,解法1,解法2,两法结果一样,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10.求,解法1,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法 2,同样可证,或,(P199 例18),机动 目录 上页 下页 返回 结束,P160,公式(16,17)SCU,例11.求,解:原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例12.求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例13.求,解:,原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考：,例14.求,解:原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,分析:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例15 求,解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,例14 设 求,令,例15.求,解:原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,小结,常用简化技巧:,(1)分项积分:,(2)降低幂次:,(3)统一函数:利用三角公式;配元方法,(4)巧妙换元或配元,万能凑幂法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用积化和差;分式分项;,利用倍角公式,如,ex13,P164,SCU,思考与练习,1.下列各题求积方法有何不同?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.求,提示:,法1,法2,法3,作业 目录 上页 下页 返回 结束,二、第二类换元法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第一类换元法解决的问题,难求,易求,若所求积分,易求,则得第二类换元积分法.,难求，,定理2.设,是单调可导函数,且,具有原函数,证:,令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则有换元公式,例16.求,解:令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例17.求,解:令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P160,公式(22)SCU,例18.求,解:,令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,可以不管具体形式,P160,公式(22)SCU,令,于是,机动 目录 上页 下页 返回 结束,可以不管具体形式,原式,例19.求,解:令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法一：三角代换,解法二：倒代换,小结:,1.第二类换元法常见类型:,令,令,令,或,令,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第四节讲,根式代换,Ex21,P167,SCU,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.常用基本积分公式的补充(P205,P160(SCU),(7)分母中因子次数较高时,可试用倒代换,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,川大教材没有公式(24),解:原式,(P205 公式(20),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例20.求,例21.求,解:,(P206 公式(23),例22.求,解:原式=,(P206 公式(22),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例23.求,解:原式,(P206 公式(22),根式代换；三角代换,例24.求,解:令,得,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三角代换,例25.求,解:原式,令,例16 目录 上页 下页 返回 结束,三角代换,1.已知,求,解:两边求导,得,则,(代回原变量),机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,作业,P2072(5),(10),(15),(20),(25),(30),(35),(40)(44),第三节 目录 上页 下页 返回 结束,备用题 1.求下列积分:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,求不定积分,解：,利用凑微分法,原式=,令,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,分子分母同除以,3.,求不定积分,解:,令,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
