《高等数学》第7章空间向量与空间解析几何.ppt

第7章 向量代数与空间解析几何,知识目标,了解二次曲面的标准方程；理解空间直角坐标系、向量的概念；会判断平面与平面、直线与直线以及直线与平面间的关系；掌握向量的线性运算、向量平行和垂直的条件、几种常见的曲面方程；熟练掌握两点间的距离公式、平面与直线的各种方程.,能力目标,通过几何问题代数化，培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和空间想象能力.,德育目标,借助数形结合的思想，将研究问题的不同方法进行联结，提高学生的综合素质与人文素养.,7.1 空间向量及其线性运算,了解空间向量的概念,掌握空间向量的基本定理及其意义,建立空间直角坐标系，以向量为工具,利用空间向量的坐标和相关运算解决空间中的几何问题.,7.1.1 空间直角坐标系,通常把x 轴和y 轴配置在水平面上,而z 轴则是铅垂线.它们的正向通常符合右手法则,即以右手握住z 轴,当右手的四个手指从正向x 轴以90度转向正向y 轴时,大拇指的指向就是z 轴的正方向.,过空间一个定点O,作三条相互垂直的数轴,它们都以O 为原点且一般具有相同的长度单位,这三条轴分别叫做x 轴(横轴)、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴),统称坐标轴.,这样的三条坐标轴就构成了一个空间直角坐标系Oxyz,点O 叫做坐标原点(或原点).,这些坐标面把空间分成八个部分,每一个部分称为一个卦限.x、y、z 轴的正半轴的卦限称为第I卦限.在xOy面的上方,从第I卦限开始，按逆时针方向先后出现的卦限依次称为第、卦限;第、卦限下面的空间部分依次称为第、卦限.,每两个坐标轴确定的平面称为坐标平面,简称为坐标面.x 轴与y 轴所确定的坐标面称为xOy面,类似地,有yOz面,zOx面.,八封限,1.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个封限？A（1，-2，3）B（2，3，-4）C（2，-3，4）D（-2，-2，1）,练 习,2.在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置.A（3，4，0）B（0，4，3）C（3，0，0）D（0，-1，0）,空间中的任意一点P 与唯一一组有序数组x、y、z之间建立起一一对应的关系.,点坐标,这组数就叫做点P 的坐标，并依次称x、y、z为点P 的横坐标、纵坐标和竖坐标,记为P(x,y,z).,(x,y,z),两点间距离,（M1PQ都是直角三角形）,任取空间两点 M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2),它们之间的距离为d=|M1M2|.,过点 M1、M2 各作三个平面分别垂直于三个坐标轴,形成如图的长方体.,（M1QM2 是直角三角形）,两点间距离公式：,特别地，点 M(x,y,z)与原点O(0,0,0)的距离：,2.在y轴上找一点，使它与点A（3，1，0）和点 B（-2，4，1）的距离相等.,练 习,1.利用两点间距离公式求下列两点间距离.（1）A（3，4，0）B（0，4，3）（2）C（3，0，0）D（0，-1，0）,7.1.2 向量的概念,定义7.1 既有大小又有方向的量称为向量(或,矢量);向量的大小称为向量的模.,代数法,表达方式,几何法,用始点为A 终点为B 的有向线段 表示,图示,用带有箭头的小写字母 表示或用黑体字母 表示.,向量的模,(或),(注：模长是标量),两个基本向量,模长为零的向量.,模长为1的向量.,(方向是任意的),零向量,单位向量,记作,记作,(方向未做规定),向量的三种关系,模长相等,方向相反的向量.,相反向量,记作,模长相等,方向相同的两个向量.,相等向量,记作,向量可以在空间中任意平移.,注 与始点、终点位置无关；,图示,图示,注,方向相同或相反的非零向量.,平行向量,记作,平行向量又可称作共线向量.,注,零向量与任何向量都平行.,图示,7.1.3 向量的线性运算,向量的加法运算,向量的减法运算,向量的数乘运算,三角形法则,运算法则,平等四边行法则,图示,图示,加法运算,三角形法则,运算法则,平等四边行法则,图示,图示,减法运算,数乘运算,注 数乘运算后的结果仍是一个向量.,记作,一个向量 与一个实数 的乘积.,例 题,解：,向量的坐标,向量线性运算规律,坐标式,分解式,(为常数),(为常数),练 习,7.2 向量的数量积与向量积,掌握向量的数量积和向量积的定义，能够灵活运用运算规律，并熟训练使用判断向量平行或垂直的条件.,7.2.1 向量的数量积,引例 设一物体在常力F 作用下沿直线从点M1移动 到点M2,以S 表示位移,则力F 所做的功 为,其中 为F 与S 的夹角.,特别地，,时,称 与 垂直；记作：,定义法,坐标法,数量积的运算方法,数量积的性质,数量积的运算律,例 题,解：,向量夹角余弦公式,7.2.2 向量的向量积,向量积,右手系规则图示,向量积模的几何意义,分解式法,坐标法,向量积的运算方法,例 题,解：,向量积的性质,向量积的运算律,向量的混合积,想一想,7.3 平面与直线,平面和直线是几何学中最基本的研究对象,是一些向量空间和几何空间中某些对象的最基本原型,同时它们也是几何分析中“以直代曲”的最基本元素.本章中要求掌握平面和直线的代数表达形式以及点、线、面间的位置关系.,7.3.1 平面的方程,平面的法向量,平面的点法式方程,平面方程的表达式,平面的一般式方程,解：,求过两点M1(2，-1，1)和M2(3，-2，1),且平行于z轴的平面方程。,例 题,解：,求过点M(1，-1，2),且与平面2x-y+3z+7=0平行的平面的一般方程。,例 题,7.3.2 直线方程,直线的点向式和参数方程,直线方程的一般式,直线方程的两点式,直线的对称式方程（或向式方程）：,直线的参数方程：,直线的一般式方程,例题,解：,（两个相交平面的交线来表示）,直线的两点式方程,7.3.3 直线与平面的相互位置关系,两平面的位置关系,两直线间的位置关系,直线与平面的位置关系,两平面的位置关系,三种位置关系相交、平行、重合,两直线间的位置关系,两种位置关系异面、共面,平行,重合,相交,直线与平面的位置关系,三种位置关系相交、平行、直线在平面上,例 题,解：,解：,点到平面距离公式,直线与平面的夹角,例 题,解：,注：上结论可作为公式应用.,两个平面间夹角,注：可类似地定义两条直线之间的夹角.,7.4 常见空间曲面,本章建立了作为点的轨迹的曲线与其方程之间的联系，把研究曲线与曲面的几何问题，归结为研究其方程的代数问题，从而用代数的方法对一些曲线与曲面进行研究创造了条件.通过本章节的学习，将逐步培养学生的空间感，加强运用代数与几何相结合的方法分析问题和解决问题的能力.,7.4.1 曲面的方程,任何曲面都可看成是点的几何轨迹.,注：一般地，三元方程 的图象都是空 间曲面.,7.4.2 常见的二次曲面及其标准方程,柱面,椭球面,双曲面,单叶双曲面,双曲面,双叶双曲面,抛物面,椭圆抛物面,抛物面,双曲抛物面,本章小结,本章主要从空间向量入手，给出空间直角坐标系、向 量的概念、表示方法、线性运算及其数量积与向量积 的运算.进一步建立作为点的轨迹的曲线与其方程之间 的联系，把研究曲线与曲面的几何问题，归结为研究 其方程的代数问题，从而，用代数的方法对一些曲线 与曲面进行研究创造了条件.本章重点是：1.运用坐标 求向量的数量积、向量积、夹角、距离等线性运算；2.求平面与直线方程；3.判断平面与平面、直线与平 面、直线与直线间的位置关系；4.判断空间各种曲面 的形状.本章难点是：1.求异面直线间的距离；2.常用 空间曲面的求法.,