《高等数学》北大第二版6-3多元函数的连续性.ppt

1.多元函数的连续性,6-3 多元函数的连续性,定义,设 在点 的一个邻域内有定义,若 则称 在 点连续.,多元函数的连续性与一元函数的连续性类似,与函数的极限密切相关.,用 严格定义连续性.,若 在区域内有定义且在内每一点都连续，则称 在区域内连续.,上述不等式,可以换成,而所定义的连续性是彼此等价的.,例1 函数,证,而,故有,证毕.,例2 设,解,故,k 值不同极限不同!,在(0,0)点不连续.,2.关于二元函数连续性的几个定理,定理1,设 与 在点 处连续，,若,定理(复合函数的连续性),设 在点 附近内有定义,且在连续，,又设 在点 的附近有定义,且在点连续，则复合函数,定理 3 二元初等函数在其定义域内是连续的.,二元初等函数,如果它是从自变量x与y出发进行,有限次加减乘除或复合以一元初等函数的结果.,类似地可定义多元初等函数.,映射的连续性,如果在区域中每一点都连续，则称 在中连续,定义,例3 考虑映射,一元连续函数在闭区间上的性质,推广到多元函数中应是连续函数在有界闭区域上的性质.,有界闭区域上连续函数的性质,在 的边界点 连续,有,即,首先定义f在边界点 的连续性.,定理（有界性定理）,设函数在有界闭区域 上连续，则在 上有界,换句话说，当P落在集合,定理 最大(小)值定理,设函数在有界闭区域 上连续，则在 上达到最大值和最小值,定理（介值定理）,设函数在闭区域 上连续，并假定与m分别是在 上的最大值和最小值，,则对于任意的,一定有一点,使得,多元函数间断点,多元函数的间断点可以构成一些,直线、曲线、曲面等,也可以是,某些点的集合.,情形比较复杂,例如 函数,其定义域为,而f(x,y)在C上没有定义，当然f(x,y)在C上各点都不连续，所以园周上各点都是该函数的间断点.,内容小结,1.区域,邻域:,区域,连通的开集,2.多元函数概念,n 元函数,常用,二元函数,(图形一般为空间曲面),三元函数,有,3.多元函数的极限,4.多元函数的连续性,1)函数,2)闭域上的多元连续函数的性质:,有界定理;,最值定理;,介值定理,3)一切多元初等函数在定义区域内连续,