《导数及其应用》课件(复习课.ppt
第三章 导数及其应用复习小结,本章知识结构,导数,导数概念,导数运算,导数应用,函数的瞬时变化率,运动的瞬时速度,曲线的切线斜率,基本初等函数求导,导数的四则运算法则,简单复合函数的导数,函数单调性研究,函数的极值、最值,曲线的切线,变速运动的速度,最优化问题,曲线的切线,以曲线的切线为例,在一条曲线C:y=f(x)上取一点P(x0,y0),点Q(x0+x,y0+y)是曲线C上与点P临近的一点,做割线PQ,当点Q沿曲线C无限地趋近点P时,割线PQ便无限地趋近于某一极限位置PT,我们就把直线PT叫做曲线C的在点P处的切线。,一知识串讲,(一)导数的概念:,1导数的定义:对函数y=f(x),在点x=x0处给自变量x以增量x,函数y相应有增量y=f(x0+x)f(x0),若极限 存在,则此极限称为f(x)在点x=x0处的导数,记为f(x0),或y|;,2导函数:如果函数y=f(x)在区间(a,b)内每一点都可导,就说y=f(x)在区间(a,b)内可导即对于开区间(a,b)内每一个确定的x0值,都相对应着一个确定的导数f(x0),这样在开区间(a,b)内构成一个新函数,把这一新函数叫做f(x)在(a,b)内的导函数简称导数记作f(x)或y.即f(x)=y=,3导数的几何意义:函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在P(x0,f(x0)处的切线的斜率,即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线斜率为kf(x0)所以曲线 yf(x)在点 P(x0,f(x0)处的切线方程为 yy0=f(x0)(xx0),4导数的物理意义:物体作直线运动时,路程s关于时间t的函数为:s=s(t),那么瞬时速度 v 就是路程 s 对于时间t的导数,即v(t)=s(t).,返回,导数的运算法则:,法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即:,法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即:,法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数,再除以第二个函数的平方.即:,返回,当点Q沿着曲线无限接近点P即x0时,割线PQ如果有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.,设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.,即:,返回,1)如果恒有 f(x)0,那么 y=f(x)在这个区间(a,b)内单调递增;,2)如果恒有 f(x)0,那么 y=f(x)在这个区间(a,b)内单调递减。,一般地,函数yf(x)在某个区间(a,b)内,定理,f(x)0,f(x)0,如果在某个区间内恒有,则 为常数.,返回,2)如果a是f(x)=0的一个根,并且在a 的左侧附近f(x)0,那么是f(a)函数f(x)的一个极小值.,函数的极值,1)如果b是f(x)=0的一个根,并且在b左侧附近f(x)0,在b右侧附近f(x)0,那么f(b)是函数f(x)的一个极大值,注:导数等于零的点不一定是极值点,2)在闭区间a,b上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,则它必有最大值和最小值.,函数的最大(小)值与导数,返回,(五)函数的最大值与最小值:,1定义:最值是一个整体性概念,是指函数在给定区间(或定义域)内所有函数值中最大的值或最小的值,最大数值叫最大值,最小的值叫最小值,通常最大值记为M,最小值记为m.,2存在性:在闭区间a,b上连续函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值 3求最大(小)值的方法:函数f(x)在闭区间a,b上最值求法:求出f(x)在(a,b)内的极值;将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其中较大的一个是最大值,较小的一个是最小值.,两年北京导数题,感想如何?,例1已经曲线C:y=x3-x+2和点A(1,2)。求在点A处的切线方程?,解:f/(x)=3x21,k=f/(1)=2 所求的切线方程为:y2=2(x1),即 y=2x,变式1:求过点A的切线方程?,例1已经曲线C:y=x3-x+2和点(1,2)求在点A处的切线方程?,解:变1:设切点为P(x0,x03x0+2),,切线方程为y(x03x0+2)=(3 x021)(xx0),又切线过点A(1,2),2(x03x0+2)=(3 x021)(1x0)化简得(x01)2(2 x0+1)=0,,当x0=1时,所求的切线方程为:y2=2(x1),即y=2x,解得x0=1或x0=,k=f/(x0)=3 x021,,当x0=时,所求的切线方程为:y2=(x1),即x+4y9=0,变式1:求过点A的切线方程?,例1:已经曲线C:y=x3x+2和点(1,2)求在点A处的切线方程?,变式2:若曲线上一点Q处的切线恰好平行于直 线y=11x1,则P点坐标为 _,切线方程为_,(2,8)或(2,4),y=11x14或y=11x+18,(1)正确理解导数的概念和意义,导数是一个函数的改变量与自变量的改变量的比值的极限,它反映的是函数的变化率,即函数值在x=x0点附近的变化快慢;所以只有与变化率有关的问题都可以用导数来解决;(2)掌握求导数的方法,特别是在求复合函数的导数时,一定要把握层次,把每一层的复合关系都看清楚;(3)利用导数来研究函数。主要是研究函数的增减性、函数的极大(小)值、函数的最大(小)值以及一 些与实际相关的问题。,三 小结:,