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5种方法突破二面角浙江省诸暨中学 311800 邵跃才二面角大小是通过二面角的平面角的大小来反映的，在求解二面角的平面角的大小时，要充分运用线与线、线与面、面与面之间的关系，因而它具有综合性强、灵活性大的特点，那么怎样求二面角的平面角呢？笔者给大家介绍5种常见方法。1定义法定义法即在二面角-l-的棱l上任取一点O，然后在两个半平面内分别作棱的垂线OA、OB，则射线OA、OB所成的角即为所求二面角-l-的平面角.例1 已知三棱锥P-ABC中,APB=BPC=CPA=600，求二面角A-PB-C的余弦值.ABCPMNQ图1解 如图1 ，在二面角的棱PB上任取一点Q，在半平面PBA和PBC内分别作QMPB, QNPB，交PA、PC于M、N，则由二面角的平面角的定义可知，MQN为二面角A-PB-C的平面角，设PQ=a，在RtPQM和RtPQN中可求得QM=QN=，PM=PN=2a，CPA=600，PMN是等边三角形，MN=2a，在MQN中，由余弦定理可得cosMQN=，即所求二面角的余弦值为.2 三垂线定理法C1CABA1B1NQ图2三垂线定理法是求解二面角的最常用方法。当二面角中出现一个半平面内一点到另一半平面的垂线或虽未给出这样的垂线，但由已知条件能够作出这样的垂线时，则由三垂线定理或其逆定理容易作出二面角的平面角。三垂线定理法找二面角的平面角分三步完成“一是找一条垂线；二是作一条垂线；三是证一条垂线”。例2 如图2，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC=900，AB=BB1=1，直线B1C与平面ABC成300角，求二面角B-B1C-A的正弦值。解 平面ABC平面BCC1B1，过A作ANBC，垂足为N，则AN平面BCC1B1（AN即为我们要找的垂线），在平面BCB1内作NQB1C（NQ即为我们要作的垂线），垂足为Q，连QA，则由三垂线定理可知QAB1C（QA即为我们要证的垂线），NQA就是二面角B-B1C-A的平面角，AB=BB1=1，B1C B=300，BC=，AC=，AN=，又ACAB1，AQB1C，AB1=，AC=，AQ=1，从而sinNQA=.例3 如图3,正ABC的边长为，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边上的ACBDE图 3FGADBFEC点，满足，现将ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B。（1）试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；（2）求二面角B-AC-D的大小；解：(1) AB平面DEF。在ABC中，因为E、F分别是AC、BC上的点，且满足，ABEF， AB平面DEF，EF平面DEF， AB平面DEF(2)过D作DGAC于G，联结BG， ADCD，BDCD, ADB是二面角A-CD-B的平面角。ADB=900，即BDAD。BD平面ADC，BGAC。BGD是二面角B-AC-D的平面角。在RtADC中，AD=，DC=，AC=2，。在RtBDG中，tanBGD=,即二面角B-AC-D的大小为.3垂面法垂面法作一个平面与二面角的棱垂直，则该平面与二面角的两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角。例4 如图4，在平面角为600的二面角-l-内有一点P，P到,的垂线长分别为PCDlE图4PC=3cm，PD=5cm， 求CD长； P到棱l的距离为多少？分析 根据题中给出的条件PD，PC，许多同学会选择下面方法：在平面内作CEl， 垂足为E，连DE,PE，由三垂线定理得lPE，又PD，lDE，CED为二面角-l-的平面角，这种方法虽然容易找到平面角，但在求CD及PE长时要先证P、D、E、C四点共面，从而增加了难度，而用垂面法就可避免这一点。 解 （1） 过P、D、C三点作平面交平面、于CE和DE，易证lDE、lCE，即CED就是二面角-l-的平面角，CED=600，CPD=1200，由余弦定理得CD=7（2）l平面PCED， lPE，PE就是点P到棱l的距离，又PCED四点共圆，PCE=900，PE是该圆的直径，由正弦定理得PE=。4射影面积法射影面积法是利用一个半平面内的一个平面图形和它在另一半平面上的射影之间的面积关系来求平面角的大小的一种方法。设原来平面图形的面积为S，其射影面积为S/，二面角的大小为，则cos=.A1D1B1C1EDBCA图5例5 如图5，E为正方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成锐角的余弦值.分析 平面AB1E与底面A1B1C1D1交线即二面角的棱没有给出，要找到二面角的平面角，则必须先作两个平面的交线，这给解题带来一定的难度。考虑到三角形AB1E在平面A1B1C1D1上的射影是三角形A1B1C1，从而求得两个三角形的面积即可求得二面角的大小。解 设正方体棱长为2a，则a2，又结合余弦定理和三角形面积公式求得a2，三角形AB1E在平面A1B1C1D1上的射影是三角形A1B1C1，所求二面角的余弦值为cos=.说明：用“射影面积法”求“无棱”二面角有时显得较为方便。但当计算平面图形的面积较为困难时，对于“无棱”二面角的处理在许多情况下还是采用先找棱的办法或用下面的平面法向量法。5 平面法向量法平面法向量法就是借助于空间直角坐标系，求得二面角的两个半平面的法向量及其夹角，再利用法向量的夹角和二面角的平面角之间的数量关系求得二面角的大小。如图6，设平面、的法向量分别为、，法向量、的夹角为，则，二面角的平面角大小为AOB=或ABOABO图6AzyxDCBS图7例6 如图7，在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，AD/BC，ABC=900，SA面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=。 求侧面SCD与面SBA所成的二面角的大小。解 以A为原点如图建立空间直角坐标系，则S（0，0，1）， A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（，0，0），因为平面SBA的一个法向量为=(1，0，0)，设平面SCD的一个法向量为=(x，y，z)，则平面SCD 设两平面的法向量的夹角为，则，侧面SCD和侧面SBA所成角为arccos.说明：利用平面法向量求二面角的大小时，一是所给图形要具备建立空间直角坐标系的条件，二是对求得的法向量的夹角转化为二面角时要根据图形的直观性来决定。变式训练：1、若二面角-l-的平面角是锐角，点P到平面、和棱l的距离分别为、4和，则二面角的大小为（ ）A45o或30o B15o或75o C30o或60o D15o或60o2、已知球的半径是1，、三点都在球面上，、两点和、两点的球面距离都是，、两点的球面距离是，则二面角的大小是（ ）（A） （B） （C） （D）3、如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点.（）求证：；（）求证：平面；（）求二面角的大小.4、如图，M、N、P分别是正方体的棱AB、BC、DD1上的点. （）若，求证：无论点P在D1D上如何移动，总有BPMN（）若D1PPD=12，且PB平面B1MN，求二面角M-B1N-B的余弦值. 5、如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为3，侧棱， D是CB延长线上一点，且BD=BC, 求二面角B1-AD-B的大小。CB1BOA1DC1zAyxAMBNCDPD1A1B1C1GO1PBEAOCD参考答案：1、 A 2、C3、解：（）由平面可得PAAC，又，所以AC平面PAB，所以（）如图，连BD交AC于点O，连EO，则EO是PDB的中位线，EOPB，PB平面（）如图，取AD的中点F，连EF，FO，则EF是PAD的中位线，EFPA又平面，EF平面.同理FO是ADC的中位线，FOABFOAC由三垂线定理可知ÐEOF是二面角EACD的平面角.又FOABPAEFÐEOF45°而二面角与二面角EACD互补，故所求二面角的大小为135°.4.（I）证法一：连AC、BD，则BDAC， MN/AC，BDMN，又DD1平面ABCD，DD1MN， MN平面BDD1无论点P在DD1上如何移动，总有BP平面BDD1，故总有MNBP.证法二：连结AC、BD，则ACBD.， MN/AC， MNBD，又PD平面ABCD，由三垂线定理得MNPB.（II）解法一：过P作PGC1C交CC1于G，连BG交B1N于O1，PB平面B1MN， PBB1N.又PG平面B1BCC1， BGB1N，BB1NBCG， BN=CG，NC=GC1，BNNC=DPPD1=21.同理BMMA=DPPD1=21.设AB=3a, 则BN=2a，, ，连结MO1，AB平面B1BCC1， MO1B1N，MO1B就是二面角M-B1N-B的平面角， ，即二面角M-B1N-B的余弦值为 解法二：（用射影面积法）B1MN在平面BB1C1C上的射影是B1MN，先求得B1BN和B1MN的面积分别为设二面角B-B1N-M的平面角为， 5、解 如图， 取BC的中点O，连AO，由题意 平面平面，平面，以O为原点，如图所示建立空间直角坐标系，则， ， ， ，由题意 平面ABD， 为平面ABD的法向量。设 平面的一个法向量为 ，则 ， ， ，即 。 取y=1 ， ，由， 得=60o， 故所求二面角的大小为。6