《复变函数》第5章.ppt

2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第1页,复 变 函 数（第四版）第五章 留 数,1 孤立奇点,2 留数,3 留数在定积分计算上的应用,*4 对数留数与辐角原理,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第2页,1 孤立奇点,1.定 义,例：,如果函数 f(z)在 zo处不解析,但在 zo的某一去心邻域 0|zzo|处处解析,则称zo为函数 f(z)的孤立奇点.,但,一系列奇点的极限点(聚点),2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第3页,2.孤立奇点的分类和判定法,若 zo为 f(z)的孤立奇点,则必存在 0,使得 f(z)于圆环 0|zzo|内解析,从而可展成洛朗级数.,z0为 f(z)的可去奇点,(不含负幂项),z0为 f(z)的 m级极点,(cm0),2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第4页,例:,z0为 f(z)的本性奇点,()中含无穷多个(zz0)的负幂项,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第5页,z=0 分别是,(1),(2),本性奇点.,zo为 f(z)的可去奇点,相当于实函可去间断点,f(z)在zo点的某去心邻域内有界.,zo为 f(z)的极点,相当于无穷间断点,zo为 f(z)的 m级极点,其中g(z)在z0的邻域内解析,且g(z0)0,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第6页,例:,(3),z=1是三级极点,z=i 是一级极点,z0为 f(z)的本性奇点,z0附近性质复杂,实函不可比,(,对任意复数A,总可以找到一个趋向于zo的数列,当 z 沿这个数列趋于 zo 时，f(z)的值趋于A).,用极限来判别奇点的类型时,若碰到,型,极限,可用洛必达法则求.,维尔斯特拉斯Th,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第7页,3.函数的零点与极点的关系,例:,m为正整数，g(z)在 zo点解析,且 g(zo)0.,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第8页,定理:,证:,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第9页,例1:,解:,指出它的级.,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第10页,一般:,例:,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第11页,4.函数在无穷远点的性态,作变换,规定：,为 f(z)的孤立奇点,在扩充的复平面上,f(z)在 z=的去心邻域 R 0),对 z=的讨论,t=0 的讨论.,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第12页,(1)z=为 f(z)的可去奇点,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第13页,(2)是 f(z)的极点,(3)是 f(z)的本性奇点,是 f(z)的m级极点,是 f(z)的m级极点,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第14页,例(P152):,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第15页,例2:,解:,对 z=2,什么类型的奇点?如果是极点,指出它的级.,而,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第16页,z=2 是 f(z)的可去奇点.,对于 z=,z=不是 f(z)的孤立奇点.,从而,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第17页,总之,判别奇点类型,方法:,奇点,孤立奇点,非孤立奇点,可去奇点,极点,本性奇点,1.定义:展成洛朗级数,2.求极限,3.极点与零点的关系,(不恒等于 0 的解析函数的零点是孤立的),2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第18页,2 留数,1.留数的定义,如果函数 f(z)于简单闭曲线 C 上及其内,部解析,则据柯西定理.有,但是,如果 C 内含有 f(z)的孤立奇点 zo,则,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第19页,将 f(z)作洛朗展开:,则,由此可见:,在 zo 点的邻域,内,c1 是个特别值得注意的数,是,上述逐项积分中唯一残留下来的系数.,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第20页,由上知,2.留数定理,Th1(留数定理):,c1 为 f(z)在 zo 点的留数(residue 残数),设函数 f(z)在区域 D 内除有,限个孤立奇点 z1,z2,zn 外处处解析,C 是,D 内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线.,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第21页,由柯西 Th 极容易得到,因此,以上的留数Th.更确,切地说,留数 Th 是柯西 Th 的一个直接应用.,它把计算封闭曲线积分的整体问题,化为计算,各孤立奇点处的留数的局部问题.即利用留数,计算积分.,有必要专门研究留数的计算.,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第22页,3.留数的计算(有限远奇点)基本算法:,(1),(2),=c1,C 是 zo 某去心邻域内一条简单正向闭曲线.,(当 z0 是 f(z)的本性奇点或孤立奇点类型,不清楚时,只能用这一方法求),zo是 f(z)的可去奇点.,zo是 f(z)的本性奇点.,f(z)展成洛朗级数,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第23页,(3),(),证明:,zo是 f(z)的极点.有下面的计算规则:,如果 zo 是 f(z)的一级极点.则,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第24页,(),如果 zo 为 f(z)的 m 级极点.则,证:,转下页,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第25页,则:,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第26页,(),证:,如果 zo 是 f(z)的一级极点.且,都在 zo 点解析.,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第27页,特别地:,例:,解:方法一.,一级极点,二级极点,z=0 是,的 n+1级极点.,=,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第28页,方法二:,方法三:,在原点的洛朗展式中z 的负一次幂的系数,也即 ez 的展式中 zn 的系数.,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第29页,例1:计算积分,解:,(用规则求),C为正向圆周:|z|=2.,的两个一级极点 z=1均在|z|=2内.,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第30页,(用规则求),直接求积分:,(较规则简单),2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第31页,补例 1:计算积分,解:,(n为正整数),为一级极点.,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第32页,补例2:计算,解：,z=0 为,的三级极点,且在|z|=1 内.,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第33页,P158 例2:计算积分,解：,被积函数四个一级极点1，i 均在C内。,由规则,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第34页,例3:计算积分,解：,z=0为被积函数的一级极点，z=1为二级极点，均在C内。,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第35页,例:,Q(z)的六级零点.,z=0 是 P(z)的三级零点.,z=0 是 f(z)的三级极点.,较繁,注:在用规则 时,有时将 m 取得比实际的级数高可使计算简便.,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第36页,将 m 取作 6.则,利用洛朗展开式求 c1 也较方便.,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第37页,4.关于无穷远点的留数,定义:,C 为,圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线.,即,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第38页,注:,例如:,规则:,若为 f(z)的可去奇点,则,不一定等于0.(这与有限远孤立奇点不同),是它的可去奇点,但,(c1=1),例:,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第39页,定理2：,如果函数 f(z)在扩充复平面内只有,有限个孤立奇点,那么 f(z)在所有奇点,(包括点)的留数的总和必等于零.,=0,(C 包含了所有有限奇点 zk,k=1,2,n),2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第40页,例4.(P162)计算积分,解:,由定理 2及规则:,C为正向,圆周:|z|=2.(上一段例 2),在|z|=2 的外部,除点外,没有其他奇点.,=0,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第41页,例5.计算积分,解:,C 为正向圆周|z|=2.,被积函数的奇点:i,1,3,.其中 i,1 在,|z|=2 内部.,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第42页,而：,原积分,=0,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第43页,例:(作业题11),解:若直接求.,需通过洛朗展式求,涉及幂级数除法.不易求.,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第44页,利用定理 2.,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第45页,利用留数计算积分步骤:,(1),(2),求出被积函数 f(z)在积分路径 C内的有限,个孤立奇点 zk(k=1,2,n),判别奇点类型,计算出奇点处的留数.,当被积函数 f(z)的奇点个数较多或极点,的级数较高时,留数的计算较烦,可改成计,算无穷远点的留数.,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第46页,3 留数在定积分计算上的应用,1.形如,令,留数计算定积分.,关键:,定积分,(添f(x)的路径),沿闭曲线的积分(围线积分),2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第47页,当,因此,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第48页,例1:计算,解:,令,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第49页,而,在|z|=1内被积函数 f(z)有一个二级极点 z=0,一个一级极点 z=p.,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第50页,续上页,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第51页,补例:,解:,先变形.,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第52页,令,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第53页,被积函数的分母有两个根,由留数定理,其中 z1 在|z|=1 内.,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第54页,思考:,解:,(偶函数),(周期函数),2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第55页,2.形如,R(x)是 x 的有理函数,分母的次数至少比分子的次数高两次,同时要求 R(z)在实轴上无奇点.(此时积分一定存在).,取 R(z)为被积函数,取积分线路为以原点为圆心,位于上半平面上以 R 为半径的上半圆周CR与实轴上区间 R,R 构成的正向闭曲线(R(z)的极点均在其内).,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第56页,故,其中,特别,若 R(x)为偶函数,有,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第57页,例2:计算积分,解:,被积函数 R(x)分母的次数比分子的次数大2.,R(z)在实轴上无孤立奇点,积分存在.,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第58页,续上页,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第59页,补例:,解:,被积函数 R(x)为偶函数.,R(z)在上半平面有两个一级极点,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第60页,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第61页,3.形如,处理方法与 2.一样,特别:,1.2.的混合型,这里 R(x)是 x 的有理函数,而分母的次数至少比分子的次数高一次,并且 R(x)在实轴上没有孤立奇点.(此时积分存在),得:,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第62页,例3.,解:,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第63页,4.积分路径上有奇点的积分.,例4.,解:,若被积函数中 R(z)在实轴上有奇点,适当选取路径,使积分路线绕开奇点.,(与例 3 类似),如图选择积分路径,由柯西古萨基本定理,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第64页,令,即,只需求出极限,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第65页,由于,又因.,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第66页,因而,从而有,即:,且在 r 充分小时,综上:,(这个积分在研究阻尼振动中有用),由于,而,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第67页,解法二.取积分路径:,则,另一方面,R,cR,R,r,r,cr,O,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第68页,与解法一类似可得,从而,P185习题14 积分路径,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第69页,例5.证明,证:,如图，,即,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第70页,而,上式为:,或,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第71页,当R时,上式右端的第一个积分为,而第二个积分的绝对值,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第72页,由此可知,当R时第二个积分趋于零,从而有,(菲涅耳 Fresnel 积分,光学中有用),2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第73页,利用留数计算定积分应注意哪些问题?,首先,由于留数是与求封闭曲线C上的复积分相联系的,而定积分的积分区间是实轴或实轴上的线段,定积分的被积函数是实函数,因此必须改造区间和函数以适应留数定义和定理要求.,要拓展定积分的积分区间为简单闭曲线,这可以用代换或添加辅助线路或辅以极限概念来实现.,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第74页,其次,最后,定积分的被积函数必须转变为某个解析函数(或仅有有限个孤立奇点).,要准确求出积分线路C内的奇点,以利于计算留数:对于在实轴上存在孤立奇点的情形,还需要对积分线路进行适当的变化.,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第75页,*4 对数留数与辐角原理,1.对数留数,留数的重要应用之一是计算积分,f(z)关于曲线C的对数留数,ln f(z),f(z)的对数留数,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第76页,留数有如下计算规则:,引理 1).,2).,若 f(z)在 z=zo 的邻域内解析,zo 为,f(z)的 n 级零点,则 zo为,的 1 级,若 z=zo 是 f(z)的 m 级极点,则 z=zo,极点,且有,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第77页,证:1).,于是:,且,若 zo 是 f(z)的 n 级零点,则在 zo 点邻域,内有 f(z)=(z zo)n g(z),g(z)在 zo 点邻域内解析,且 g(zo)0.,由于,在 zo点邻域内解析,故 zo必为,的一级极点,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第78页,2).,于是:,故,若 zo为 f(z)的 m 级极点,则在 zo 的去心,邻域内,有,h(z)在 zo 点邻域内解析,且 h(z0)0.,z=zo 是,的一级极点,且,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第79页,Th1.(对数留数定理),其中:,如果 f(z)在简单闭曲线 C上解析且不为0.,在 C的内部除去有限个极点以外也处处解析,那么:,N 为 f(z)在C内零点的总个数,P为 f(z),在 C内极点的总个数,且 C取正向,在计,算零点与极点的个数时,m 级的零点或,极点算作 m 个零点或极点.,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第80页,证:,例:,由留数定理及前面的引理可得.,利用公式,计算积分.,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第81页,解:1),2),f(z)在|z|4 内有二个一级零点:1,3.无极点。所以 N=2,P=0.,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第82页,2.辐角原理,考虑对数留数,的几何意义.,z:沿 C 正向绕行一周,w=f(z)画出连续,封闭曲线.（教材P174图5-5）,当 z 沿 C 的正向绕行一周 Ln f(z)的改变量,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第83页,对数留数的几何意义是 绕原点的回转次数.,(z沿C正向绕一周时),分子一定 2的整数倍2k，其中k为w 沿围绕原点的圈数，逆时针围绕时取正号。,即:,当 z 沿 C 的正向绕行一周 ln|f(z)|的改变量 i Arg f(z)的改变量,=0,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第84页,于是:,因此公式可计算 f(z)在 C 内零点的个数,这个结果称为辐角原理.,若 f(z)在 C 内解析,P=0,此时,(零点的个数),2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第85页,Th2(辐角原理):,如果 f(z)在简单闭曲线 C,上与 C 内解析,且在 C上不等于零,那么 f(z),在 C 内零点的个数等于,乘以当 z 沿 C,的正向绕行一周 f(z)的辐角的改变量.,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第86页,3.(路西定理),(证明),Rouch,设 f(z)与g(z)在简单闭曲线C上,和C内解析,且在C上满足|f(z)|g(z)|.那,么,在C内 f(z)与 f(z)g(z)的零点个数相同.,|f(z)|g(z)|0,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第87页,令,即,故,那么,w 在以 1 为中心的单位圆内,C 的象曲线不围绕原点,从而,从而结论成立.,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第88页,例1.试证方程,证:,(ao 0),有 n 个根.,那么:,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第89页,取|z|R,R 充分大,可使,在圆,立,显然 f(z)与 g(z)在圆|z|=R 上与圆内,都是解析的.,即,在圆内有相同个,数的零点.,以 f(z)+g(z)在圆内的零点个数也是 n.,根据路西Th,但 f(z)在圆内的零点个数是 n.所,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第90页,又由于,故 原方程有 n 个根.,在圆上和圆外关系|f(z)|g(z)|,成立,有根.,不然,f(z)+g(z)=0,f(z)=g(z),|f(z)|=|g(z)|,矛盾.,因此在圆上和圆外 f(z)+g(z)=0不能,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第91页,补例:求方程,解:1),故,1),2),2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第92页,解:2),故,原方程在,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第93页,补例:证明方程,证:,设,则 f(z),g(z)在|z|1 内均解析.,2023/5/30,复变函数(第四版)第五章,第94页,设根为 z1,在|z|1 内只有一个正实根.,即,即 z1 为实根,且显然不能为负.,