线性系统的稳态误差计算.ppt
3-7 线性系统的稳态误差计算,稳态误差是衡量控制系统控制准确性的一种度量，通常称为稳态性能。在控制系统的设计中，是控制系统的一项重要性能指标。,3-6-1 稳态误差及其基本分析方法,一、稳态误差的概念,1.首先系统必须是稳定的，才有谈稳态误差的必要。,系统本身的结构和参数；,输入信号的具体形式（如阶跃、斜坡和抛物线等）在原理上引起的误差，同时在控制上有办法可以补偿的那些原因。,l输入信号作用的性质、位置（如输入量和扰动量）；,2.在各个产品说明书中精度是一个很重要的指标。,3.影响一个系统的精度的原因（我们主要考虑的）。,4.不在考虑范围内的影响系统精度的因素,元件的不灵敏区、零点漂移、元件的老化以及间隙等,一、稳态误差的概念,5.我们研究稳态误差的目的并不是要彻底地消除稳态误差，因为稳态误差总是不可避免的，我们能做的只是如何使稳态误差更小，甚至达到最小，或使稳态误差小于某一允许值。,6.有差系统和无差系统,7.稳态误差分为给定稳态误差和扰动稳态误差。,在阶跃函数作用下具有原理性稳态误差的系统。,无差系统：,有差系统：,在阶跃函数作用下没有原理性稳态误差的系统。,本节主要讨论,原理性稳态误差的计算方法,系统结构-系统类型,输入作用方式,二、误差及稳态误差的定义,对于图示的典型结构，控制系统的误差有两种定义方式：,系统误差：输出量的希望值 和实际值 之差。即,系统稳态误差：当t时的系统误差，用 表示。即,误差的定义相当于从系统输出端来定义的，在系统性能指标中经常使用，但在实际系统中有时无法量测，因而一般只有数学意义;,系统偏差：系统的输入 和主反馈信号 之差。即,系统稳态偏差：当t时的系统偏差，用 表示。即,通常H(s)是测量装置的传递函数，故此时偏差就是给定输入与测量装置的输出量之差。,偏差的定义相当于从系统输入端来定义的，在实际系统中是可以量测的，具有一定的物理意义。,要求输出量 的变化规律与给定输入 的变化规律完全一致，所以给定输入 也就是输出量的希望值，即 此时，上述两种定义统一为：,对单位反馈系统：,可见，两种定义对非单位反馈系统是存在差异的，但两种定义下的误差之间具有确定的关系，即误差可以直接或间接地由偏差来确定。从本质上看，它们都能反映控制系统的控制精度。,对非单位反馈系统：,给定作用 只是希望输出的代表，偏差不等于误差。可以证明两者之间存在一定的关系：,即有：,在下面的讨论中，我们将用偏差 代替误差进行研究。除非特别说明，以后所说的误差就是指偏差；稳态误差就是指稳态偏差。,e(t)通常也称为系统的误差响应，它反映了系统在输入信号和扰动信号作用下整个工作过程中的精度。误差响应中也包含有瞬态分量和稳态分量两个部分，如果所研究的系统是稳定的，那么当时间t趋于无穷大时，瞬态分量趋近于零，剩下的只是稳态分量。,求解误差响应 e(t)与求解系统的输出量 c(t)一样，对于高阶系统是相当困难的。由于我们分析和设计系统时所关心的是系统的稳态误差，因此问题得以简化。,稳定系统的误差终值称为系统的稳态误差。即当时间 t 趋于无穷时，若 e(t)的极限存在，则稳定系统的稳态误差为,实际工程中，一般不采用直接求误差响应的方法计算稳态误差，而是用拉氏变换的终值定理来进行分析。,稳态误差的定义,三、稳态误差的基本分析方法,1.稳态误差的基本分析方法终值定理：,应用终值定理计算稳态误差，即,其应用条件是:误差e(t)的拉氏变换E(s)在 s 平面的右半平面以及虚轴上(原点除外)处处解析，即没有极点。,而,则有,利用终值定理计算稳态误差,其应用条件是：E(s)分母的根(即极点)不在 s 平面的右半平面及除原点之外的虚轴上。,e(t)的极限不存在,三、稳态误差的基本分析方法,e(t)的极限不存在,然而,故有,可见，在利用终值定理计算稳态误差时，必须先考虑是否满足终值定理的应用条件。,而,则有,e(t)的极限存在,2.利用终值定理计算系统的稳态误差：,步骤：,判别系统的稳定性（只有稳定系统，计算其稳态误差才有意义）；,明确误差 e(t)的定义形式，并写出其象函数 E(s)的表达式；,应用终值定理 计算稳定系统的稳态误差ess。,三、稳态误差的基本分析方法,例1 系统结构图如图所示，当输入信号为单位斜坡函数时，求系统在输入信号作用下的稳态误差；调整K值能使稳态误差小于0.1吗？,解：只有稳定的系统计算稳态误差才有意义；所以先判稳,系统特征方程为,由劳斯判据知稳定的条件为：,由稳定的条件知：不能满足 的要求,3-6-2 输入引起的稳态误差及静态误差系数,系统只在输入R(s)作用下，即N(s)=0。此时，系统的结构图可简化为下图所示。,误差传递函数为：,公式条件：,的极点均位于S左半平面（包括坐标原点）,输入形式,结构形式,开环传递函数,给定的稳定系统，当输入信号形式一定时，系统是否存在稳态误差，就取决于开环传递函数所描述的系统结构,系统类型,终值定理，求稳态误差：,Type,系统类型,令系统开环传递函数为,！,系统类型(type)与系统的阶数(order)的区别,n2时，II型以上的系统，实际上很难使之稳定，所以这种类型的系统在控制工程中一般不会碰到（复合系统）,n：为系统中含有的积分环节的个数,K：系统的开环增益。,Tj和i：系统的时间常数。,令,系统稳态误差计算通式则可表示为：,分别讨论阶跃、斜坡和加速度函数的稳态误差情况,当,令,令,Static position error constant,要求对于阶跃作用下不存在稳态误差，则必须选用型及型以上的系统。,阶跃信号输入,可见，由于0型系统中没有积分环节，它对阶跃输入的稳态误差为一定值，误差的大小与系统的开环放大系数K成反比，K越大，K越小，只要K不是无穷大，系统总有误差存在。对实际系统来说，通常是允许存在稳态误差的，但不允许超过规定的指标。为了降低稳态误差，可在稳定条件允许的前提下，增大系统的开环放大系数，若要求系统对阶跃输入的稳态误差为零，则必须选用1型或高于1型的系统。,令,令,斜坡信号输入,静态速度误差系数,Static velocity error constant,上面的计算表明，在单位斜坡输入作用下，0型系统的稳态误差为，而1型系统的稳态误差为一定值，且误差与开环放大系数成反比。为了使稳态误差不超过规定值，可以增大系统的K值。2型或高于2型系统的稳态误差总为零。因此，对于单位斜坡输入，要使系统的稳态误差为一定值或为零，必需1，也即系统必须有足够积分环节。,令,令,加速度信号输入,静态加速度误差系数,Static acceleration error constant,以上计算表明，在单位抛物线输入作用下，0型和1型系统的稳态误差为，2型系统的稳态误差为一定值，且误差与开环放大系数成反比。对3型或高于3型的系统，其稳态误差为零。,小结：,表2 给定信号输入下的给定稳态误差essr,阶跃输入r(t)=1,斜坡输入r(t)=t,抛物线输入r(t)=1/2t2,Kp=K,Kv=0,Ka=0,Kp=,0,Kv=K,Ka=0,Kp=,0,0,Kv=,Ka=K,Kp 稳态位置偏差系数Kv 稳态速度偏差系数 Ka 稳态加速度偏差系数,对角线上出现的稳态偏差具有有限值，对角线以上出现的稳态偏差为，对角线以下出现的稳态偏差为零。,结论：,输入信号形式影响系统的稳态误差。essr与有关，在系统中增加积分器（提高），稳态性能可以改善。开环增益直接影响系统的稳态特性。K越大，稳态误差越小，增大开环增益可以改善闭环系统的稳态特性。应注意到，增大值和K值同时也会使控制系统的稳定性和动态性能变差，必须在控制精度与稳定性之间折衷。,若给定的输入信号不是单位信号时，则将系统对单位信号的稳态误差成比例的增大，就可以得到相应的稳态误差。若给定输入信号是上述典型信号的线性组合，则系统相应的稳态误差就由叠加原理求出。例如，若输入信号为,则系统的总稳态误差为,综上所述，稳态误差系数、和 描述了系统对减小和消除稳态误差的能力，因此，它们是系统稳态特性的一种表示方法。提高开环放大系数K或增加开环传递函数中的积分环节数，都可以达到减小或消除系统稳态误差的目的。但是，这两种方法都受到系统稳定性的限制。因此，对于系统的准确性和稳定性必须统筹兼顾、全面衡量。,此外，由以上讨论可知，当 时，系统相对 的稳态误差为零，当 时，系统相对 的稳态误差为零；当 时，系统相对 的稳态误差为零。因此，当开环系统含有 个串联积分环节时，称系统对给定输入 r(t)是 阶无差系统，而 称为系统的无差度。,例 设图所示系统的输入信号r(t)=10+5t，试分析系统的稳定性并求出其稳态误差。解 由图求得系统的特征方程为,要使系统稳定，必须 K 0,1+0.5K 0,3(1+0.5K)2K 0解之得 K 0，K-2，K 6。所以当0 K 6时，系统是稳定的。由图可知，系统的开环传递函数为,系统的稳态误差系数分别为,所以，系统的稳态误差为,上述结果表明，系统的稳态误差与K成反比，K值越大，稳态误差越小，但K值的增大受到稳定性的限制，当K 6时，系统将不稳定。,3-6-3 扰动输入作用下系统的误差分析,控制系统除了受到给定输入的作用外，通常还受到扰动输入的作用。系统在扰动输入作用下的稳态误差的大小，反映了系统的抗干扰能力。,扰动输入可以作用在系统的不同位置，因此，即使系统对于某种形式的给定输入的稳态误差为零，但对同一形式的扰动输入其稳态误差则不一定为零。下面根据线性系统的叠加原理，以下图所示系统来讨论由扰动输入所产生的稳态误差。按照前面给出的误差信号的定义可得扰动输入引起的误差为：,扰动输入作用下系统的误差传递函数：,系统只在输入N(s)作用下，即R(s)=0。此时，系统的结构图可简化为下图所示。,扰动引起的稳态误差是扰动引起的稳态输出的负值。,此时，系统的稳态误差为：,举例,已知系统如图所示,分析：当系统同时受到给定输入和扰动输入的作用时，其稳定误差为给定稳态误差和扰动稳态误差的叠加。,（1）设给定信号和扰动信号均为阶跃信号，求两个稳态误差。,（2）研究使ess为零时的调节器结构。,解：,令n(t)=0时，求得给定输入作用下的误差传递函数为:,所以给定稳态误差为：,令r(t)=0时，求得扰动输入作用下的误差传递函数为：,所以给定稳态误差为：,由上式计算可以看出，r(t)和n(t)同是阶跃信号，由于在系统中的作用点不同，故它们产生的稳态误差也不相同。此外，由扰动稳态误差的表达式可见，提高系统前向通道中扰动信号作用点之前的环节的放大系数（即K1），可以减小系统的扰动稳态误差。,该系统总的稳态误差为：,为了分析系统中串联的积分环节对稳态误差的影响，我们假设图中：,给定输入和扰动输入保持不变。这时，系统的稳态误差可按上述相同的方法求出，即：,比较以上两次计算的结果可以看出，若要消除系统的给定稳态误差，则系统前向通道中串联的积分环节都起作用。若要消除系统的扰动稳态误差，则在系统前向通道中只有扰动输入作用点之前的积分环节才起作用。因此，若要消除由给定输入和扰动输入同时作用于系统所产生的稳态误差，则串联的积分环节应集中在前向通道中扰动输入作用点之前。,系统总的稳态误差为：,对于非单位反馈系统，当H(s)为常数时，以上分析的有关结论同样适用。前面定义了相对于给定输入的无差度，同样也可以定义相对于扰动输入的无差度。当系统的G1(s)中含有个串联的积分环节时称系统相对于扰动输入是阶无差系统，而称为系统相对于扰动输入的无差度。对本例中的前一种情况，系统对扰动输入的无差度为0，而后一种情况，系统对扰动的无差度是1。显然，当谈及一个系统的无差度时应指明系统对哪一种输入作用而言，否则，可能会得出错误的结论。,系统总的稳态误差为：,3-6-4 减小或消除稳态误差的方法,前面的讨论表明，为了减小系统的稳态误差，可以增加开环传递函数中的串联积分环节的数目或提高系统的开环放大系数。但是，串联的积分环节一般不超过2，而开环放大系数也不能任意增大，否则系统将可能不稳定，为了进一步减小系统稳态误差，可以采用加前馈控制的复合控制方法，即从给定输入或扰动输入处引出一个前馈控制量，加到系统中去，通过适当选择补偿装置和作用点，就可以达到减小或消除稳态误差的目的。,在下图所示系统中，为了消除由r(t)引起的稳态误差，可在原反馈控制的基础上，从给定输入处引出前馈量经补偿装置Gc(s)对系统进行开环控制。此时系统误差信号的拉氏变换式为:,显然，如果选择补偿装置的传递函数为,则系统的给定稳态误差为零。,在下图所示系统中，为了消除由n(t)引起的稳态误差，可在原反馈控制的基础上，从扰动输入引出前馈量经补偿装置Gc(s)加到系统中，若设r(t)=0，则系统的输出C(s)就是系统的误差信号。系统输出的拉氏变换式为:,显然，如果选择补偿装置的传递函数为,则可使输出不受扰动n(t)的影响，故系统的扰动稳态误差为零。,从结构上看，当满足Gc(s)=1/G1(s)时，扰动信号经两条通道到达A点，两个分支信号正好大小相等，符号相反，因而实现了对扰动的全补偿。由于物理上可实现系统的传递函数总是满足分母的阶次大于或等于其分子的阶次，要求构造出分子的阶次大于或等于其分母阶次的补偿装置，这通常是不可能的。此外，由于传递函数的元件参数随着时间的推移也会发生变化，这就使得全补偿条件不可能成立。所以，实际上只能实现近似补偿。可以证明，前馈控制加入前后，系统的特征方程保持不变，因此，系统的稳定性将不会发生变化。,一单位反馈控制系统，若要求：跟踪单位斜坡输入时系统的稳态误差为2。设该系统为三阶，其中一对复数闭环极点为。求满足上述要求的开环传递函数。,根据和的要求，可知系统是型三阶系统，因而令其开环传递函数为,解：,因为,按定义,相应闭环传递函数,例,所求开环传递函数为,系统误差、稳态误差的定义 给定输入值作用下系统的误差分析 系统的型 位置误差系数，速度误差系数，加速度误差系数 扰动输入作用下系统的误差分析 给定输入和扰动作用同时存在系统的误差分析 系统的总稳态误差等于给定误差和扰动误差的迭加（误差点定义在同一点）复合控制系统的误差分析 顺馈控制 前馈控制,小 结,
