线性系统的时域分析.ppt

第三章 线性系统的时域分析,本章重点、难点与考点,一、重点：1、二阶系统时间响应及其动态性能指标计算 2、线性系统稳定的充要条件及稳定判据 3、稳态误差计算,二、难点：高阶系统的时间响应表达式的求取,三、考点：1、一阶系统单位阶跃响应、典型输出值 2、二阶系统动态性能分析与性能指标的计算 3、Routh判据判定系统稳定性 4、计算稳态误差,31 线性系统响应指标,1典型输入信号,2时域性能指标,典型时间响应：零初始条件时，典型输入信号作用下系统输出的过渡过程*。,后页,*过渡过程：系统受到外作用时，控制过程不会立即发生，而是有一定的延缓，这就使得被控量恢复到期望值或跟踪输出量有一个时间过程。一般认为c(t)进入（误差带）后过渡过程结束。,例如：单位阶跃输入信号作用下，反馈系统的过渡过程为：,（误差带一般取0.02或0.05）,动态性能指标：,延迟时间 td：指响应从0到第一次达到终值（稳态值）的一半时所需 要的时间；,上升时间 tr：指响应从0到第一次达到终值（稳态值）时所需要的时间；,前页,后页,峰值时间 tp：指响应从0到达第一次峰值（稳态值）时所需要的时间；,调节时间 ts：即过渡过程时间。指响应到达并保持在终值5%（=0.05）或2%（=0.02）内所需要的最短时间。,超调量 Mp：指阶跃响应的最大值超出其稳态值的部分。,振荡次数N：指c(t)穿越c()水平线的次数的一半。,其中 Mp平稳性；N阻尼性。,稳态性能指标：,稳态误差ess：指响应的稳态值与期望值之差。系统控制精度（准确性）或抗扰动能力的一种度量。,32 一阶系统的时域分析,1.一阶系统的数学模型,T c(t)c(t)=r(t)或G(S)=1/(TS+1)-惯性环节,前页,后页,2.一阶系统的单位阶跃响应：,即：r(t)=1(t)或 R（S）=1/S 时的 c(t)。,由于 G(S)=1/(TS+1),即有 C(S)=1/(TS+1)R（S）=1/(TS+1)S=1/S 1/（S+1/T）,故 c(t)=L-1 C（S）=L-1 1/S 1/（S+1/T）=1e t/T(t0),即 c(t)是单调上升的。且 c(0)=c(t)t=0=0,，c()=c(t)t=1,作图如右：,前页,后页,从图中可知:当=0.05时，ts=3T；=0.02时，ts=4T；由此可见 ts 是由T决定的。而 tp=0，Mp=0，N=0,td,tr 均可求得。,结论：时间常数T 决定系统的惯性：T越小，即系统惯性越小，过渡过程越快；T越大，即系统惯性越大，过渡过程越慢。,3 一阶系统的：单位脉冲响应 单位斜坡响应 单位加速度响应 教材P81-83（分析方法同“单位阶跃响应”）,33 二阶系统的时域分析,二阶系统的数学模型,前页,后页,2.二阶系统的闭环极点与单位阶跃响应,二阶系统的闭环极点,由闭环特征式：D（S）=s2+2ns+n2,得：系统的闭环特征方程：s2+2ns+n2=0,对应于 的不同取值，可以得到 S1，S2 在S平面上不同的分布。,二阶系统的单位阶跃响应,当r(t)=1 时 或R(S)=1/S 时，有：,前页,后页,而S1，S2是和n的函数，显然c(t)只与，n有关，即，n决定着c(t)的形式。,1时，（过阻尼）S1，S2 为一对不等的负实数根。,=1时，（临界阻尼）S1，S2 为一对相等的负实数根。,01时，（欠阻尼）S1，S2 为一对具有负实部的共轭复根。,前页,后页,当=0时，（无阻尼，零阻尼）S1，S2 为一对幅值相等的虚根。,当0时，（负阻尼）S1，S2 为一对不等的负实数根。,小结：）二阶系统正常工作的基本条件是 0；而0系统不稳定；）当 1时，其阶跃响应曲线是单调上升的（即非周期性的）；）当01时，其阶跃响应曲线是振荡衰减的（即具周期性）。,前页,后页,（3）欠阻尼即01时二阶系统的单位阶跃响应动态性能分析,设r(t)=1，即R（S）=1/S 则二阶系统在时的单位阶跃响应式为：,则 S1,2=+j d,此时:,所以 c(t)=1 e t cos d t(/d)e t sin d t=1(e t/1-2)sin(d t+),其中 cos=即=arc cos(称为阻尼角),前页,后页,分析：,1）e(t)=r(t)c(t)=(e t/1-2)sin(d t+)为一振荡衰减过 程（指数衰减），振荡频率为 d。图示如下：,2）e(t)及c(t)的衰减速度取决于n的大小；,3）t 时，e()=0 则c()=1；,4）Mp0,N0 即存在超调和振荡；,5）=n（衰减系数）：即S1，S2的实部。亦即闭环极点到虚轴 的距离；,d=n1-2（阻尼振荡频率）：即S1，S2的虚部。亦即闭环极 点到实轴的距离；,n（自然振荡频率）：闭环极点到原点的距离;,=cos（为阻尼角）：n 与负实轴夹角的余弦;,前页,后页,、d、n、及、的关系图示如右:,前页,后页,调节时间 ts：即过渡过程时间。指响应到达并保持在终值5%（=0.05）或2%（=0.02）内所需要的最短时间。具体求法参见教材P107。,在工程上，一般采用下列公式进行估算：当 0.7时：ts=（4.751.7）/n 当00.7时：ts=3/(n)(=0.05)或 ts=4/(n)(=0.02),延迟时间 td：指响应从0到第一次达到终值（稳态值）的一半时所需要的时间；在工程上，一般采用下列公式进行估算：td=（0.71）/n,前页,后页,超调量 Mp：指阶跃响应的最大值超出其稳态值的部分。,前页,后页,(4)当1时，系统有两个不相等的负实根，称为过阻尼状态。两个不相等的负实根为单位阶跃响应,(5)当阻尼比=1时，系统的特征根为两相等的负实根，称为临界阻尼状态。,此时系统在单位阶跃函数作用下，系统的超调量Mp=0，调节时间(对应误差带为5%),图3-18 临界阻尼系统阶跃响应,(6).当阻尼比=0时，系统特征根为一对纯虚根，称为无阻尼状态。系统特征根 单位阶跃响应为,实际设计中，一般取=0.40.8。其中以=0.7时为最佳阻尼。,3 欠阻尼情况下，二阶系统的单位脉冲、斜坡及加速度响应的动态性能分析,4 例题分析 例题1 教材：P101例题3-1、P102例题3-2；3-3,例题2 教材二、P108例题3-1、P109例题3-2；P132例题3-12。,前页,后页,6二阶系统性能的改善,1)改善的目的：获得满意的动态性能与稳态性能，更好的控制效果。,2)改善的办法：（P104107）引入零点。即在前向通路中串入一个PD控制环节；采用测速反馈控制。,3)PD控制与测速反馈控制两种方案比较（见下页附表）,例题分析、教材：P107例题3-4；、教材二：P113例题3-3，P131-134例题3-9、11、13、14,前页,后页,附表：PD控制与测速反馈控制两种方案比较,前页,后页,34 高阶系统的时域分析,1、定义：能用三阶或三阶以上的微分方程描述的控制系统。,2、分析方法：1）定性分析；2）主导极点法；3）计算机分析,3 主导极点与偶极子问题,主导极点：在所有的闭环极点中，那些离虚轴最近、且附近又没有其它零、极点，对系统动态性能影响起主导的决定性作用的闭环极点，称之为主导极点。,主导极点法：利用主导极点代替系统全部闭环极点来估算系统性能的方法，称为主导极点法。,一般要求：5*Re主导极点 Re 非主导极点或零点。,前页,后页,偶极子：当一对闭环零、极点重合或它们之间的距离比较小（它们之间的距离比其本身的模值小一个数量级以上）时便构成偶极子。,4、利用主导极点法系统性能指标 利用主导极点法可以将高阶系统化成低阶（一阶或二阶系统来近似地对高阶系统进行等效分析。,35 线性系统的稳定性,1、稳定的定义：若线性系统在初始扰动影响下，其动态过程能够逐渐衰减并趋于零，即系统能回到原来的平衡工作点，则称系统渐近稳定，简称稳定。否则为不稳定。,2、系统稳定的充要条件（P111中）：系统的所有闭环特征根都具有负实部；或者系统闭环传递函数的极点均严格位于左半S平面。（0）,前页,后页,系统稳定的“充要条件”的两点说明：1）若有部分闭环极点位于虚轴上，而其余极点分布在左半S平面时，系统将处于临界稳定状态（=0）。2）若有一个或一个以上的闭环极点位于右半S平面时，则系统将处于不稳定状态（0）。,3、稳定性的判定 1）三个稳定判据,劳斯（Routh）判据;赫（胡）尔维茨（Hurwith）判据;林纳德-奇帕特（Lienard-Chipard）判据,a 前提：稳定的充分必要条件（特征方程的根）；b 依据：根与系数的关系；c 方法：列（劳斯）表计算。,前页,后页,2)Routh判据判定方法：根据劳斯表中第一列元素的 符号来判定：若劳斯表中第一列元素的符号均严格为正，则系统稳定；若劳斯表中第一列元素的符号出现负号，则系统不稳定；,3）劳斯表的列写 首先，将D（S）=a0 sn+a1 sn-1+an-1 s+an=0 的系数排 成两行：sn a0 a2 a4 a6 sn-1 a1 a3 a5 a7,其次，分步计算（空位置零），列写劳斯表。见下页,最后，根据劳斯表中第一列元素的符号来判定稳定性。,前页,后页,劳斯表,若a0、a1、b1、c1、xn、an都严格为正，则系统稳定；若a0、a1、b1、c1、xn、an中出现负值，则系统不稳定；此时，元素号改变的次数，恰好是具有正实部的闭环特征根个数。,前页,后页,4）劳斯表特殊情况处理,第一列元素出现“0”项（下面一项为）：在原特征方程D（S）=0中乘以一个任意的（S+a）因子，（a0），然后对新的特征方程D（S）（S+a）=0重新列写劳斯表。,劳斯表中出现全0行：以全0行上面那一行的系数建立一个辅助方程F（S）=0，并对其求导一次，再用F（S）=0的系数代替全0行各元素，继续列劳斯表。若系统存在正实部根，则可以由辅助方程F（S）=0求出一部分，其余的正实部根可以由D（S）/F（S）=0求得。,前页,后页,4 应用举例,例题1 教材：P113例3-7、例3-8、例3-9,P114例3-10例题2 教材二：P121例题3-4；P123例题3-5；P124例题3-6 P133-134例题3-153-16；,例题2：已知系统结构图如下，试用劳斯稳定性判据确定能使系统稳定的反馈参数的取值范围。,解：系统的闭环传递函数为,S+1（S）=S3+（1+）S2+S+1,前页,后页,闭环特征方程为：S 3+（1+）S 2+S+1=0,劳斯表为：,根据表中第一列元素大于零的要求，可知 0,例题3：单位反馈系统的开环传递函数如下，试确定能使系统稳定的K的取值范围。,KG（S）=S（0.1S+1）(0.25S+1),前页,后页,解：系统的闭环特征方程为：S（0.1S+1）(0.25S+1)+K=0 即：0.025 S 3+0.35 S 2+S+K=0,S 3 0.025 1 S 2 0.35 K S 1(0.35-0.025K)/0.35 0 S 0 K,列写劳斯表如下：,K0 及K0 故有 0K14,前页,后页,例题4：某控制系统的特征方程为:S 3+（+1）S 2+(+-1)S+-1=0 式中、为待定参数,试确定能使系统稳定的参数、的取值范围。,解：（提示：用劳斯稳定性判据可确定。参数、的取值范围是 0及1）,小结：系统的稳定性只与本身结构参数有关，而与初始条件、外作用无关；系统的稳定性只取决于系统的闭环特征根（极点），而与零点无关。,前页,后页,3.3.6 相对稳定性和稳定裕量,相对稳定性即系统的特征根在s平面的左半平面且与虚轴有一定的距离，称之为稳定裕量。为了能应用上述的代数判据，通常将s平面的虚轴左移一个距离，得新的复平面s1，即令s1=s+或s=s1-得到以s1为变量的新特征方程式D(s1)=0，再利用代数判据判别新特征方程式的稳定性，若新特征方程式的所有根均在s1平面的左半平面，则说明原系统不但稳定，而且所有特征根均位于-的左侧，称为系统的稳定裕量,例 3-5 检验特征方程式 是否有根在s右半平面，以及有几个根在s=-1垂线的右边。解 列劳斯表：由劳斯判据知，系统稳定，所有特征根均在s的左半平面。,令s=s1-1代入D(s)得s1的特征方程式列劳斯表：劳斯表中第一列元素符号改变一次，表示系统有一个根在s1右半平面，也就是有一个根在s=-1垂线的右边(虚轴的左边)，系统的稳定裕量不到1。,返回,36 误差分析与计算,1、误差的概念：在外作用下，系统的实际输出与期望输出之间的偏差。有两种描述方式，即误差E（S）与稳态误差ess,（1）误差E（S）,系统的误差又有两种定义方法，分述如下：,一种是，从输出端定义：E（S）=希望值-实际值,特点：不容易测量。故不便于理论分析。,前页,后页,另一种，是从输入端定义：E（S）=R（S）B（S）,这种的特点是：容易测量，但便于理论分析。（教材以第二种为主）,（2）稳态误差ess,只有稳定系统才讨论稳态误差ess，并可应用极限或终值定理求得。,2 系统的类型及稳态误差的计算,（1）系统的类型,设某高阶系统具有开环传递函数,前页,后页,其中：K开环增益 i，Tj时间常数 开环系统S平面坐标原 点上的极点的重数。,并定义系统：当=0 时-为 0 型系统；当=时-为型系统；当=时-为型系统；当=n 时-为 n 型系统.,前页,后页,（2）给定输入下稳态误差的计算,阶跃信号输入下稳态误差essr与静态位置误差系数KP的计算,设r（t）=A1（t）即 R（S）=A/S 则有:,其中 KP=lim G(S)H(S)-静态位置误差系数 s0,前页,后页,其中 KV=lim SG(S)H(S)-静态速度误差系数 s0,斜坡信号输入下稳态误差essr与静态速度误差系数Kv的计算,设r（t）=Bt即 R（S）=B/S2 则有:,前页,后页,加速度信号输入下稳态误差essr与静态加速度误差系数 Ka 的计算,设r（t）=Ct2/2即 R（S）=C/S3 则有:,其中 Ka=lim S2G(S)H(S)-静态加速度误差系数 s0,前页,后页,小结：见P124 附表3-5 输入信号作用下的稳态误差,（3）多个给定输入下稳态误差的计算,方法：利用线性系统的可叠加性，进行误差叠加，即各个给定信号单独作用时所产生的稳态误差之代数和。(参见P129例题3-7),（4）扰动作用下稳态误差的计算,前页,后页,G2（S）H（S）由于 En（S）=N（S）1+G1（S）G2（S）H（S）,G2（S）H（S）essr=lim S En(S)=lim S N（S）s0 s0 1+G1(S)G2(S)H(S),例题：教材P120，例题3-13,3 系统精度的提高问题,减小或消除系统稳态误差的一些措施：（1）增大系统的开环增益K或增大扰动作用点以前系统前向通道的增益；（2）在系统前向通道或反向通道中引入积分环节；（3）采用复合控制进行校正。（如教材P258265内容及例题6-11、12等）,前页,END,例3-6 原控制系统如图3-23(a)所示，引入速度反馈后的控制系统如图3-23(b)所示，已知在图3-23(b)中，系统单位阶跃响应的超调量Mp%=16.4%，峰值时间tp=1.14s，试确定参数K和Kt，并计算系统在(a)和(b)的单位阶跃响应h(t)。,图3-23 例3-15图,解 对于系统(b)，其闭环传递函数为与典型二阶系统相比较，有（3-55）而已知Mp=16.4%tp=1.14s根据 求得,求得 将 代入(3-55)得 其单位阶跃响应为,对于系统(a)，其闭环传递函数为与典型二阶系统比较有 系统的最大超调量 峰值时间其单位阶跃响应为,返回,3.8 用MATLAB和SIMULINK进行瞬态响应分析,3.8.1 单位脉冲响应 当输入信号为单位脉冲函数(t)时，系统输出为单位脉冲响应，MATLAB中求取脉冲响应的函数为impulse()，其调用格式为 y，x，t=impulse(num，den，t)或 impulse(num，den)式中G(s)=num/den；t为仿真时间；y为时间t的输出响应；x为时间t的状态响应。,例3-7 试求下列系统的单位脉冲响应MATLAB命令为：t=0：0.1：40；num=1；den=1，0.3，1；impulse(num，den，t)；grid；title(Unit-impulse Response of G(s)=1/(s2+0.3s+1)其响应结果如图所示。,例3-8 系统传递函数为求取其单位脉冲响应的MATLAB命令为t=0：0.1：10；num=1；den=1，1，1；y，x，t=impulse(num，den，t)plot(t，y)；grid xlabel(t)；ylable(y)；其响应结果如图所示。,3.8.2 单位阶跃响应,当输入为单位阶跃信号时，系统的输出为单位阶跃响应，在MATLAB中可用step()函数实现，其调用格式为y，x，t=step(num，den，t)或step(num，den),例3-9 求系统传递函数为num=1；den=1，0.5，1；t=0：0.1：10；y，x，t=step(num，den，t)；plot(t，y)；grid；xlabel(Time sec t)；ylabel(y)响应曲线如图3-26所示,图3-26 单位阶跃响应,3.8.3 斜坡响应,在MATLABA中没有斜坡响应命令，因此，需要利用阶跃响应命令来求斜坡响应。根据单位斜坡响应输入是单位阶跃输入的积分。当求传递函数为的斜坡响应时，可先用除得，再利用阶跃响应命令即可求得斜坡响应。,例3-10 已知闭环系统传递函数 对单位斜坡输入 则,系统单位斜坡响应的MATLAB命令：num=1；den=1，0.3，1，0；t=0：0.1：10；c=step(num，den，t)；plot(t，c)；grid；xlabel(t sec)；ylabel(Input and Output)其响应结果如图所示。,3.8.4 任意函数作用下系统的响应,用线性仿真函数lsim来实现，其调用格式为 y，x=lsim(num，den，u，t)式中；y(t)为系统输出响应；x(t)为系统状态响应；u为系统输入信号；t为 仿真时间。,例3-11 反馈系统如图3-28(a)所示，系统输入信号为图3-28(b)所示的三角波，求取系统输出响应。,MATLAB实现指令numg=10，20；deng=1，10，0；num，den=cloop(numg，deng，-1)；v1=0：0.1：2；v2=1.9：-0.1：-2；v3=-1.9：0.1：0；t=0：0.1：8；u=v1，v2，v3；y，x=lsim(num，den，u，t)；plot(t，y，t，u)；xlabel(Time sec)；,3.8.5 Simulink中的时域响应举例,例3-12图3-30的Simulink的仿真框图可演示系统对典型信号的时间响应曲线，图中给出阶跃响应曲线。,返回,例 3-12 系统特征方程为各项系数均大于零。列劳斯表：劳斯表中第一列各元素符号不完全一致，系统不稳定。第一列元素符号改变两次，因此系统有两个右半平面的根。,例 3-23系统特征方程 列劳斯表 劳斯表中第一列元素符号没有改变，系统没有右半平面的根，但由P(s)=0求得 即系统有一对共轭虚根，系统处于临界稳定，从工程角度来看，临界稳定属于不稳定系统。,例 3-13 系统结构图如图3-3所示，试分析参数K1，K2，K3和T对系统稳定性的影响。解 系统的闭环传递函数特征方程为,由于特征方程缺项，由劳斯判据知，不论K1，K2，K3和T取何值系统总是不稳定的，称为结构不稳定系统。欲使系统稳定，必须改变系统的结构。如在原系统的前向通道中引入一比例微分环节，如图3-4所示。变结构后系统的闭环传递函数为特征方程为,列劳斯阵列：系统稳定的充分必要条件为 即对于结构不稳定系统，改变系统结构后，只要适当选配参数就可使系统稳定。,例3-14 系统结构如图3-9所示，求当输入信号r(t)=2t+t2时，系统的稳态误差ess。首先判别系统的稳定性。由开环传递函数知，闭环特征方程为根据劳斯判据知闭环系统稳定。,2-2（1）,2-6,2-7,2-10,（b）,2-13（a）,