现在控制理论第五章状态反馈与状态观测器.ppt
第五章 状态反馈与状态观测器 闭环系统性能与闭环极点位置密切相关。经典控制理论经常利用串联、并联校正装置及调整开环增益使系统具有希望的闭环极点位置；现代控制理论利用状态变量揭示系统内部特性以后，建立了利用状态反馈这一新方式来配置极点，显出更多的优越性。,为利用状态变量进行反馈必须测量状态变量，但不是所有状态变量在物理上都能测量，于是进一步提出用状态观测器给出状态估值的问题。因此，极点配置与状态观测器设计是设计系统的主要内容，它们以能控性、能观测性为条件，能构应用在许多复杂的控制系统，如导弹的大迎角控制。,导弹大迎角控制,第一节 状态反馈与极点配置,(5-1),一、状态反馈系统的动态方程,以单输入-多输出受控对象动态方程为例：,状态反馈系统动态方程为：,将对象状态向量通过待设计的参数矩阵即状态反馈行矩阵，负反馈至系统的参考输入，于是存在,(5-2),式中v为纯量，为 维向量，为 维矩阵，为 维向量，为 维行矩阵，为 维向量，为 维矩阵。为闭环状态阵，为闭环特征多项式。二、用状态反馈使闭环极点配置在任意位置上的充要条件是：受控对象能控 证明：若式(5-1)所示对象可控，定可通过变换化为能控标准形，有,若在变换后的状态空间内引 维状态反馈矩阵：其中 分别为由状态变量 引出的反馈系数，则变换后的状态反馈系统动态方程为：,(5-5),(5-6),(5-7),式中：,该式与仍为能控标准形，故引入状态反馈后，系统能控性不变。特征方程为：显见，任意选择 阵的 个元素，可使特征方程的个系数满足规定要求，能保证特征值（即闭环极点）任意配置。,(5-9),将逆变换 代入式(5-6)，可求出原状态空间内的状态反馈系统状态方程：与式(5-3)相比，式(5-10)所示对象应引入状态反馈阵 为：需指出，当受控对象可控时，若不具有能控标准形形式，并不必象如上证明那样去化为能控标准形，只要直接计算状态反馈系统闭环特征多项式，这时，其系数为的函数，与给定极点的特征多项式系数相比较，便可确定。,(5-10),(5-11),能控的多输入-多输出系统，经如上类似分析可知，实现闭环极点任意配置的状态反馈阵K为 维。若受控对象不稳定，只要有能控性，完全可由状态反馈配置极点使系统稳定。状态变量受控情况下，引入状态反馈表示增加一条反馈通路，它能改变反馈所包围环节的传递特性，即通过改变局部回路的极点来改变闭环极点配置。不能控状态变量与控制量无关，即使引入状态反馈，对闭环极点位置也不会产生任何影响，这是因为传递函数只与系统能控、能观测部分有关的缘故。若不能控状态变量是稳定的状态变量，那么系统还是能稳定的，否则，系统不稳定。,经典控制理论中用调节开环增益或串、并联校正装置配置极点时，其可调参数有限，而状态反馈的待选参数多了，能使系统性能改善得更好，不过实现状态反馈也是相当复杂的，尤其在系统阶次较高时，测量全部状态变量是需要克服的障碍。,三、状态反馈系统的其它特性,单输入-多输出或单输出系统，引入状态反馈后，系统闭环零点没有改变，但该性质不适用于多输入-多输出系统。如式(5-1)所示对象经 变换后传递矩阵 为：,(5-12),而引入状态反馈阵 后的传递函数阵 为：,（5-13）,显见式（5-12）与式(5-13)的分子部分相同。要注意到，闭环零点对系统动态性能影响很大，在规定待配置的极点时，必须充分考虑零点的影响。状态反馈不一定能保持受控对象原有的能观测性。不难想象，当任意配置极点导致零、极点相消时，可将原有的能观测性变为不能观测的；也有能能使原有的不能观测性变为能观测的。若受控对象不含零点，状态反馈自然能保持原有能观测性。选择状态反馈阵元素时，要防止数值过大，以免对动态性能产生不良影响及物理实现不易。配置极点时也并非离虚轴愈远愈好，以免造成频带过宽使抗干扰性降低。,例5-1设受控对象传递函数为：试用状态反馈使闭环极点配置在。,解：传递函数无零、极点对消，故可控。写出能控标准形实现,状态反馈阵,状态反馈系统特征方程：根据两特征方程同次项系数相等的条件，可求出由 引出的反馈系数为：故,例5-2试研究下列受控对象采用状态反馈使闭环极点仅次于位于 的可能性。,解：传递函数存在零、极点对消，若通过选状态变量使系统能控（但不能观测），可以配置极点，计算方法同例5-1（略）。若使系统不可控（但可观测），则不能采用状态反馈配置极点，验证如下。将受控对象写成不可控但可观测的实现。,状态反馈系统闭环状态阵：闭环特征多项式为：,给定闭环极点的闭环特征多项式为：经比较同次项系数给出：与矛盾，故无解，表示不可控系统不能采用状态反馈实现极点配置。,第二节 输出反馈与极点配置分两种情况讨论如下：一、输出至状态微分的反馈 以多输入-单输出受控对象为例，结构图见图5-3。反馈系统动态方程为：将式(5-15)代入式(5-14)有：,(5-14),(5-16),(5-15),式中 为 维向量，为 维向量，为纯量，有相应维数，输出反馈 阵任意为 维列矩阵。用输出至状态微分的反馈阵 任意配置极点的充要条件是：受控对象，能观测。,证明：当受控对象能观测时，定可通过变换化为能观测标准形，有：若在变换后的状态空间内引入输出反馈阵：,则反馈系统状态方程为：,(5-17),(5-18),式中,该式与 仍为能观测标准形，故引入输出至状态微分的反馈后，系统能观测性不变。特征方程为：由于的元素可任意选择，故特征值可任意配置。当系统中存在不能观测状态变量时，对这些变量不能用输出反馈改变其极点位置，但只要这些变量是稳定的，系统是能稳定的。,(5-19),二、输出至输入的反馈,以多输入-单输出受控对象为例，结构图见图5-4。反馈系统动态方程为：将式(5-22)代入式(5-21)有：,(5-21),(5-23),(5-22),式 中为 维向量，为 维矩阵。该式与状态反馈系统动态方程(5-3)相比，若 把年看作某特殊的状态反馈阵，便可按状态反馈情况一样处理；但同结构图变换可知，比例状态反馈变换为输出反馈时，输出反馈中必含有各阶微分项 阵不是常数矩阵，这在实现时会带来技术上的困难。由此推知，阵是常数矩阵时，便不能任意配置极点，且因此使其应用受到限制。输出至输入的反馈不会改变受对象的能控性和能观测性。,第三节 状态观测器,当确定受控对象是可控的，利用状态反馈配置极点时，需用传感器测量出状态变量以便形成反馈，但传感器通常用来测量输出，许多中间状态变量不易测得，于是提出利用输出量和输入量通过状态观测器（又称状态估计器、重构器）来重构状态的问题。,一、状态观测器构成方案,设受控对象动态方程为：,可建造一个与受控对象动态方程相同的模拟系统：,(5-24),但是，的存在必导致负反馈给状态微分处，使 负反馈给微分处，使尽快逼近于零，从而使尽快逼近于零，便可利用 来形成状态反馈了。按以上原理，构成如图5-5所示的状态观测器及其实现状态反馈的结构图。由图可见，状态观测器的输入包含 和，输出为；为观测器输出反馈阵，它把负反馈至观测器状态微分入，是为配置观测器极点，提高其动态性能即尽快使逼近于零而引入的。,二、状态观测器分析设计,可列出观测器动态方程：,(5-25),关键在于分析能否在任何初始条件下，其 尽管不同，但总能满足满足式(5-26)时，状态反馈系统才能正常工作，式（5-25）所示系统才能作为实际的状态观测器，故称式(5-26)为观测器存在条件。为此，我们来研究状态向量误差所应遵循的关系，有,(5-26),(5-27),显见，当 时，自然满足，所引入的反馈并不起作用；当 时，于是，输出反馈起作用了，这时只要的特征值具有负实部，不论初始状态向量误差如何，总会按指数衰减规律满足式(5-26)，衰减速度取决于 的特征值配置。,由上一节关于输出至状态微分的反馈原理已经证明，若受控对象能观测，则输出反馈系统的极点可任意配置，因此，观测器存在条件及适当的 逼近 的速度，均归结为受控对象应具有能观测性，故观测器能估计状态的充要条件是受控对象能观测。,对于受控对象中具有不能观测的状态变量时，要求它们是稳定的，则观测器是能稳定的。,以上分析可见，观测器与受控对象具有相同维数，在复杂程度上相当。观测器由计算机来实现。,关于 阵的选取可用上一节极点配置法进行，应注意的是，只可能使 逼近 的速度尽可能快些，要防止系数选取过大带来的实现困难、饱和效应、噪声加剧等不良影响，通常希望观测器响应速度比状态反馈系统响应速度要快一些。,例5-3已知受控对象传递函数试设计状态观测器，将极点配置在-10、-10。,解：传递函数无零、极点对消，故能观测。若写出能控形实现，则有观测器系统矩阵：观测器特征方程：,给定极点对应特征方程：令两特征方程同次项系数相等得：,第四节 分 离 特 性,用观测器提供状态信息的反馈系统包括观测器、状态反馈系统两个子系统，各 为维，是2 维复合系统。当利用估计状态 代替真实状态 设计状态反馈阵时，是否会改变原状态反馈系统的极点配置？状态反馈部分是否会改变观测器的极点配置，从而影响观测器输出误差也即 的衰减性能？对此需进行分析。整个系统结构图已示于图5-5。,状态反馈部分动态方程：,(5-29),观测器部分动态方程：,(5-31),(5-30),将式(5-29)、式(5-31)写成分块矩阵形式：,(5-32),(5-33),为便于分析，将式(5-29)减式(5-31)得：,(5-34),该式与 无关，看出是不可控的。将式(5-29)匹配 项后可整理为：,(5-35),把式(5-35)、式(5-34)写成分块矩阵形式：,(5-36),(5-37),显见由状态变量变换为，是进行了如下变换：,(5-38),根据式(5-36)、式(5-37)来推导复合系统传递矩阵。我们已知线性变换是不会改变系统传递特性的，于是有：,利用分块矩阵求逆公式,故：,该式表示出复合系统传递矩阵与状态反馈部分传递矩阵完全相同，与观测器部分无关，用观测器给出的估计状态 作为状态反馈，没有影响状态反馈部分的输入-输出特性，观测器极点在复合系统传递矩阵中没有反映。,2n维系统导出n维系统传递矩阵，该事实说明这是由于观测器中()的不可控造成的，该误差不受控制，总要衰减至零。,(5-40),该式表明复合系统特征值由状态反馈部分和观测器部分特征值组合而成，且两部分特征值相互独立，彼此并未受到影响。对状态反馈来说，采用 或 作状态反馈是一样的。,再来分析复合系统的特征值。已知线性变换并不会改变系统特征值。由式(5-36)可得特征方程：,第五节 降维观测器,能给受控对象n个状态变量估值的观测器称全维观测器，但对于q维输出系统，有q个输出变量可直接由传感器测得，若选取该q个输出变量作为状态变量，它们便无需由观测器作出估计，观测器只需估计(n-q)个状态变量，称降维观测器，它是(n-q)维子系统，其结构比较简单，工程实现比较方便。为此，需由受控对象动态方程导出(n-q)维子系统动态方程。,一、建立维子系统动态方程,设能观测受控对象动态方程为：，式中u为维，y为维。要求将状态变量 变换成 以后，分解为 和 两部分，其中 为(n-q)维子系统即待由观测器估计的状态变量，为q维直接同输出y测得的状态变量。以上分解过程表示存在如下线性变换：，式中：,为维矩阵，为维矩阵。是 使非奇异的任意矩阵。,将受控对象动态方程变换为：,(5-41),式中,(5-42),变换目的是把 分离出来，它由输出量传感器测得，为已知量，于是 也分离出来。形如 的输出矩阵正满足了这一要求。因此由,(5-44),展开式(5-43)并考虑式(5-44)有：,其中 可直接测得，故 为已知输入量；,其中 可直接测得，故 为已知输入量；,为可测得的输出量。于是有：,(5-49)(5-50),式(5-49)、式(5-50)是(n-q)维受控对象的维子系统动态方程，其状态向量 为(n-q)维向量，其输出也表为；分别为其输入向量、输出向量；分别为其状态阵和输出阵。由于受控对象能观测，其中部分状态变量自然是能观测的，故式(5-49)、式(5-50)仍具有能控观测性。,为能观测对，按全维观测器的方法构造与式(5-49)、式(5-50)相对应的模拟系统，使观测器输出 与维子系统输出 之差，通过反馈矩阵 负反馈至估计状态微分 处，借以任意配置降维观测器的极点，使尽快接近，从而使 尽快接近。降维观测器实现反馈的结构图见图3-7，图中 为子系统状态反馈阵。,二、维观测器的构成及分析设计,降维观测器动态方程,(5-51),(5-52),将式(5-52）代入式(5-51)，并考虑式(5-47)、式(5-48)有：,(5-53),式中 为降维观测器系统矩阵。,降维观测器极点由下列特征方程决定：,(5-54),(5-55),式中 均为维向量，为 维矩阵，为q维向量。考虑式(5-53)有：,则状态方程变换为：,此时可不利用 而实现降维观测器。,整个系统状态向量的估值 由两部分组成：及。其中，由输出直接测得，含q个状态变量；由维观测器估计给出，含 个状态向量，存在：,(5-59),式中分别为阶、阶单位矩阵，为 维零矩阵。,估计误差向量应满足的微分方程可由式(5-45)减去式(5-53得到：,考虑式(5-48)、式(5-50)，化简为：,(5-60),该式为齐次式，只要适当选择，可任意配置降维观测器极点，使 有满意的衰减速度，尽快使状态估值 逼近。,于是，有q维输出的n阶系统、经线性变换化为式(5-43)、式(5-44)，进而变换为式(5-57)、式(5-58)便可构成实用的 维观测器，称龙伯格观测器，以实现对 维状态变量的估值。维矩阵可用以实现任意极点配置，确保 具有满意的衰减速度。龙伯格观测器结构图见图5-8。,例5-4 设受控对象传递函数，试设计降维观测器，使其极点配置在-10。,解：受控对象能观测。写出能观测形实现：,状态变量 可由输出 测得，待由降维（一维）观测器估计。,该动态方程已具有式(5-43)、式(5-44)所示典型形式，且对应有：,代入降维观测器方程(5-57)、式(5-44)有：,由于 为已知量，故观测极点位于。按极点配置要求，。,故有：,
